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La central petrolera y la torre. Máximos y mínimos. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Problema. Una central petrolera de embarque marina tiene una torre de carga a los barcos situada aguas afuera de 10 (km) de distancia de una playa rectilínea, la central de tanques y bombeo está situada a 20 (km) a lo largo de la playa del punto más próximo a la torre. Se desea construir un oleoducto de transporte de petróleo desde la central de la playa hasta la torre en el mar. El costo de construcción e instalación de la tubería de transporte es de $120 000 por metro en el mar y de $80 000 por metro en tierra. Calcular a que distancia de la central se debe colocar el cambio de dirección (o si este no existe) de la tubería de la línea central torre.

Figura 4.8.1 Representación gráfica del problema.

Solución. Se observa en la figura que se puede obtener un triángulo rectángulo

Figura 4.8.2 Representación de distancias de la torre, la playa y la central petrolera en forma de triángulo rectángulo.

Paso 1. El costo total (supuesto cambio de dirección) es la suma de los dos costos: C_1 el costo de la construcción e instalación de la tubería en tierra y C_2 el costo de la construcción e instalación de la tubería en el mar; siendo el costo general igual al producto de distancia por precio unitario. Es decir

\mathrm{Costo} = C_1 + C_2

C = C_1 + C_2

Para C_1 (que representa el costo de la contrucción e instalación de la tubería en tierra)

\displaystyle C_1 = (20 - x)(km) \ (80 000) ($/metro)

Realizando la conversión de metros a kilómetros en el segundo término, se tiene que

\displaystyle C_1 = (20 - x)(km) \ (80 000) ($/metro) \displaystyle \left(\frac{1000 \ m}{1 \ km} \right)

\displaystyle C_1 = (20-x)(km) \ (80 000 000) ($/km)

\displaystyle C_1 = (8 \times 10^7)(20 - x) ($)

Para C_2 (el costo de la construcción e instalación de la tubería en el mar)

\displaystyle C_2 = \left(\sqrt{x^2+100} \right)(km) \ (120 000) ($/metro)$

Realizando la conversión de metros a kilómetros en el segundo término, se tiene que

\displaystyle C_2 = \left(\sqrt{x^2+100} \right)(km) \ (120 000) ($/metro) \displaystyle \left(\frac{1000 \ m}{1 \ km} \right)

\displaystyle C_2 = \left(\sqrt{x^2+100} \right)(km) \ (120 000 000) ($/km)

\displaystyle C_2 = (12\times 10^7) \sqrt{x^2+100} ($)

Sumando ambos costos

C = C_1 + C_2

\displaystyle C = (8\times 10^7)(20 - x) + (12\times 10^7) \sqrt{x^2+100}

Paso 2. Derivando esta función con respecto al “x

\displaystyle \frac{dC}{dx} = \frac{d}{dx} \left[(8\times 10^7)(20 - x) + (12 \times 10^7) \sqrt{x^2+100} \right]

\displaystyle \frac{dC}{dx} = (8\times 10^7) \left[\frac{d}{dx} (20 - x) \right] + (12 \times 10^7) \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x^2+100} \right)

\displaystyle \frac{dC}{dx} = (8 \times 10^7)(-1) + (12 \times 10^7)  \left( \frac{1}{2 \sqrt{x^2+100}} \right) (2x)

\displaystyle \frac{dC}{dx} = -(8 \times 10^7) + (12 \times 10^7) \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+100}} \right)

Paso 3. Si \displaystyle \frac{dC}{dx} = 0

\displaystyle \frac{dC}{dx} = -(8 \times 10^7) + (12 \times 10^7) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+100}} \right)

\displaystyle 0 = -(8 \times 10^7) + (12 \times 10^7) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+100}} \right)

\displaystyle (8 \times 10^7) = (12 \times 10^7) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+100}} \right)

\displaystyle (8 \times 10^7) \sqrt{x^2+100} = (12 \times 10^7)x

\displaystyle \left(\sqrt{8 \times 10^7} \right)^2 \sqrt{x^2+100} = (12 \times 10^7)x

\displaystyle \sqrt{(8 \times 10^7)^2} \sqrt{x^2+100} = (12 \times 10^7)x

\displaystyle \sqrt{(8 \times 10^7)^2 \dot (x^2+100)} = (12 \times 10^7) x

\displaystyle (8 \times 10^7)^2 (x^2+100) = \left[(12 \times 10^7)x \right]^2

\displaystyle (8 \times 10^7)^2 (x^2 + 100) = (12\times 10^7)^2 x^2

\displaystyle (8 \times 10^7)^2 x^2 + (100) (8 \times 10^7)^2 = (12 \times 10^7)^2 x^2

\displaystyle (8 \times 10^7)^2 x^2 - (12 \times 10^7)^2 x^2 = -(100) (8 \times 10^7)^2

\displaystyle (64 \times 10^14) x^2 - (144 \times 10^{14}) x^2 = - (100)(64 \times 10^{14})

\displaystyle -(80 \times 10^{14}) x^2 = -(100)(64 \times 10^{14})

\displaystyle x^2 = \frac{-(100)(64 \times 10^{14})}{-(80 \times 10^{14})} = 100 \left( \frac{-64 \times 10^{14}}{-80 \times 10^{14}} \right)

\displaystyle x^2 = 100 \left(\frac{4}{5} \right) = 80

\displaystyle \therefore x = \sqrt{80}

Se concluye que el cambio de dirección de la tubería debe instalarse a \displaystyle \sqrt{80} \ (km) de la central.

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