La central petrolera y la torre. Máximos y mínimos. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Problema. Una central petrolera de embarque marina tiene una torre de carga a los barcos situada aguas afuera de 10 (km) de distancia de una playa rectilínea, la central de tanques y bombeo está situada a 20 (km) a lo largo de la playa del punto más próximo a la torre. Se desea construir un oleoducto de transporte de petróleo desde la central de la playa hasta la torre en el mar. El costo de construcción e instalación de la tubería de transporte es de $120 000 por metro en el mar y de $80 000 por metro en tierra. Calcular a que distancia de la central se debe colocar el cambio de dirección (o si este no existe) de la tubería de la línea central torre.

*Figura 4.8.1 Representación gráfica del problema.*

Solución. Se observa en la figura que se puede obtener un triángulo rectángulo

*Figura 4.8.2 Representación de distancias de la torre, la playa y la central petrolera en forma de triángulo rectángulo.*

Paso 1. El costo total (supuesto cambio de dirección) es la suma de los dos costos: $C_1$ el costo de la construcción e instalación de la tubería en tierra y $C_2$ el costo de la construcción e instalación de la tubería en el mar; siendo el costo general igual al producto de distancia por precio unitario. Es decir

$\mathrm{Costo} = C_1 + C_2$

$C = C_1 + C_2$

Para $C_1$ (que representa el costo de la contrucción e instalación de la tubería en tierra)

$\displaystyle C_1 = (20 - x)(km) \ (80 000)$ ($/metro)

Realizando la conversión de metros a kilómetros en el segundo término, se tiene que

$\displaystyle C_1 = (20 - x)(km) \ (80 000)$ ($/metro) $\displaystyle \left(\frac{1000 \ m}{1 \ km} \right)$

$\displaystyle C_1 = (20-x)(km) \ (80 000 000)$ ($/km)

$\displaystyle C_1 = (8 \times 10^7)(20 - x)$ ($)

Para $C_2$ (el costo de la construcción e instalación de la tubería en el mar)

$\displaystyle C_2 = \left(\sqrt{x^2+100} \right)(km) \ (120 000)$ ($/metro)$

Realizando la conversión de metros a kilómetros en el segundo término, se tiene que

$\displaystyle C_2 = \left(\sqrt{x^2+100} \right)(km) \ (120 000)$ ($/metro) $\displaystyle \left(\frac{1000 \ m}{1 \ km} \right)$

$\displaystyle C_2 = \left(\sqrt{x^2+100} \right)(km) \ (120 000 000)$ ($/km)

$\displaystyle C_2 = (12\times 10^7) \sqrt{x^2+100}$ ($)

Sumando ambos costos

$C = C_1 + C_2$

$\displaystyle C = (8\times 10^7)(20 - x) + (12\times 10^7) \sqrt{x^2+100}$

Paso 2. Derivando esta función con respecto al “ $x$ ”

$\displaystyle \frac{dC}{dx} = \frac{d}{dx} \left[(8\times 10^7)(20 - x) + (12 \times 10^7) \sqrt{x^2+100} \right]$

$\displaystyle \frac{dC}{dx} = (8\times 10^7) \left[\frac{d}{dx} (20 - x) \right] + (12 \times 10^7) \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x^2+100} \right)$

$\displaystyle \frac{dC}{dx} = (8 \times 10^7)(-1) + (12 \times 10^7) \left( \frac{1}{2 \sqrt{x^2+100}} \right) (2x)$

$\displaystyle \frac{dC}{dx} = -(8 \times 10^7) + (12 \times 10^7) \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+100}} \right)$

Paso 3. Si $\displaystyle \frac{dC}{dx} = 0$

$\displaystyle \frac{dC}{dx} = -(8 \times 10^7) + (12 \times 10^7) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+100}} \right)$

$\displaystyle 0 = -(8 \times 10^7) + (12 \times 10^7) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+100}} \right)$

$\displaystyle (8 \times 10^7) = (12 \times 10^7) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+100}} \right)$

$\displaystyle (8 \times 10^7) \sqrt{x^2+100} = (12 \times 10^7)x$

$\displaystyle \left(\sqrt{8 \times 10^7} \right)^2 \sqrt{x^2+100} = (12 \times 10^7)x$

$\displaystyle \sqrt{(8 \times 10^7)^2} \sqrt{x^2+100} = (12 \times 10^7)x$

$\displaystyle \sqrt{(8 \times 10^7)^2 \dot (x^2+100)} = (12 \times 10^7) x$

$\displaystyle (8 \times 10^7)^2 (x^2+100) = \left[(12 \times 10^7)x \right]^2$

$\displaystyle (8 \times 10^7)^2 (x^2 + 100) = (12\times 10^7)^2 x^2$

$\displaystyle (8 \times 10^7)^2 x^2 + (100) (8 \times 10^7)^2 = (12 \times 10^7)^2 x^2$

$\displaystyle (8 \times 10^7)^2 x^2 - (12 \times 10^7)^2 x^2 = -(100) (8 \times 10^7)^2$

$\displaystyle (64 \times 10^14) x^2 - (144 \times 10^{14}) x^2 = - (100)(64 \times 10^{14})$

$\displaystyle -(80 \times 10^{14}) x^2 = -(100)(64 \times 10^{14})$

$\displaystyle x^2 = \frac{-(100)(64 \times 10^{14})}{-(80 \times 10^{14})} = 100 \left( \frac{-64 \times 10^{14}}{-80 \times 10^{14}} \right)$

$\displaystyle x^2 = 100 \left(\frac{4}{5} \right) = 80$

$\displaystyle \therefore x = \sqrt{80}$

Se concluye que el cambio de dirección de la tubería debe instalarse a $\displaystyle \sqrt{80} \ (km)$ de la central.

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Publicado por Cesar Reyes

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