La ventana. Máximos y mínimos. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Problema. Una ventana rectangular coronada por un semicírculo, tiene un perímetro dado. Determinar las dimensiones que dejan pasar el máximo de luz.

*Figura 4.5.1 Representación gráfica del problema.*

Solución.

Paso 1. Se supondrán que las transparencias de los vidrios son iguales. Luego, la cantidad de luz que atraviesa la ventana depende del área de la misma, así que, sólo bastará calcular el área máxima.

Área de la ventana = (Área del rectángulo) + (Área del semicírculo)

$\displaystyle A = (xy) + \left[\frac{1}{2} \pi \left(\frac{x^2}{4} \right) \right]$

$\displaystyle A = xy + \frac{1}{8} \pi x^2$

Paso 2. Si se conoce el perímetro, entonces

Perímetro de la ventana = (Perímetro del rectángulo) + (Perímetro del semicírculo)

$\displaystyle P = (x + 2y) + \left[\pi \left( \frac{x}{2} \right) \right]$

$\displaystyle P = x + 2y + \frac{1}{2} \pi x$

Despejando “ $y$ ” en la ecuación del perímetro

$\displaystyle P = x + 2y + \frac{1}{2} \pi x$

$\displaystyle 2y = P - x - \frac{1}{2} \pi x$

$\displaystyle y = \frac{P - x - \frac{1}{2} \pi x}{2}$

Paso 3. Sustituyendo esta última ecuación con la ecuación del área

$\displaystyle A = xy + \frac{1}{8} \pi x^2$

$\displaystyle A = x \left(\frac{P - x - \frac{1}{2} \pi x}{2} \right) + \frac{1}{8} \pi x^2$

$\displaystyle A = \frac{Px - x^2 - \frac{1}{2} \pi x^2}{2} + \frac{1}{8} \pi x^2$

$\displaystyle A = \frac{Px}{2} - \frac{x^2}{2} - \frac{1}{4} \pi x^2 + \frac{1}{8} \pi x^2$

$\displaystyle A = \frac{Px}{2} - \frac{x^2}{2} - \frac{1}{8} \pi x^2$

Paso 4. Derivando el área con respecto a “ $x$ ” en ambos miembros

$\displaystyle \frac{dA}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\frac{Px}{2} - \frac{x^2}{2} - \frac{1}{8} \pi x^2 \right)$

$\displaystyle \frac{dA}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\frac{Px}{2} \right) - \frac{d}{dx} \left(\frac{x^2}{2} \right) - \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{8} \pi x^2 \right)$

$\displaystyle \frac{dA}{dx} = \left(\frac{P}{2} \right) \frac{d}{dx} (x) - \left(\frac{1}{2} \right) \frac{d}{dx} (x^2) - \left(\frac{1}{8} \pi \right) \frac{d}{dx} (x^2)$

$\displaystyle \frac{dA}{dx} = \frac{P}{2}(1) - \frac{1}{2} (2x) - \frac{1}{8} \pi (2x)$

$\displaystyle \frac{dA}{dx} = \frac{P}{2} - x - \frac{1}{4} \pi x$

Paso 5. Si $\displaystyle \frac{dA}{dx} = 0$

$\displaystyle \frac{dA}{dx} = \frac{P}{2} - x -\frac{1}{4} \pi x$

$\displaystyle 0 = \frac{P}{2} - x - \frac{1}{4} \pi x$

$\displaystyle x + \frac{1}{4} \pi x = \frac{P}{2}$

$\displaystyle \left(1 + \frac{1}{4} \pi \right) x = \frac{P}{2}$

$\displaystyle x = \frac{\frac{P}{2}}{1 + \frac{1}{4} \pi} = \frac{\frac{P}{2}}{\frac{(4+\pi)}{4}} = \frac{4P}{2(4+\pi)}$

$\displaystyle \therefore x = \frac{2P}{(4+\pi)}$

Sustituyendo el valor de “ $x$ ” en la ecuación de “ $y$ ” despejada

$\displaystyle y = \frac{P - x - \frac{1}{2} \pi x}{2}$

$\displaystyle y = \frac{P - \frac{2P}{4+\pi} - \frac{1}{2} \pi \left[\frac{2P}{(4+\pi)}\right]}{2}$

$\displaystyle y = \frac{P - \frac{2P}{(4+\pi)} - \frac{\pi P}{(4+\pi)}}{2} = \frac{P+[-\frac{2P}{(4+\pi)} - \frac{\pi P}{(4+\pi)}]}{2}$

$\displaystyle y = \frac{P+\left[\frac{- 2P - \pi P}{(4+\pi)}\right]}{2} = \frac{\frac{P(4+\pi)}{(4+\pi)} - \left[ \frac{-2P - \pi P}{(4+\pi)} \right]}{2}$

$\displaystyle y = \frac{\frac{P(4+\pi) - 2P - \pi P}{(4+\pi)}}{2} = \frac{\frac{4P+\pi P - 2P - \pi P}{(4 + \pi)}}{2}$

$\displaystyle y = \frac{\frac{2P}{(4+\pi)}}{2} = \frac{2P}{2(4+\pi)}$

$\displaystyle \therefore y = \frac{P}{(4+\pi)}$

Al comparar con el resultado de “ $x$ ”, se muestra que

$\displaystyle x = \frac{2P}{(4+\pi)}$ , $\displaystyle y = \frac{P}{(4+\pi)}$

Se observa que

$\therefore x = 2y$

Paso 6. Para finalizar, calculando la segunda derivada de la función con respecto a “ $x$ ”

$\displaystyle \frac{d}{dx} \left(\frac{dA}{dx} \right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{P}{2} - x - \frac{1}{4} \pi x \right)$

$\displaystyle \frac{d^2 A}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{P}{2} \right) - \frac{d}{dx} (x) - \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{4} \pi x \right)$

$\displaystyle \frac{d^2 A}{dx^2} = 0 - 1 - \frac{1}{4} \pi$

$\displaystyle \frac{d^2 A}{dx^2} = - 1 - \frac{1}{4} \pi$

Como $\displaystyle \frac{d^2 A}{dx^2} < 0$ , se trata de un máximo. Finalmente, el área máxima que permite pasar la mayor cantidad de luz se cumple cuando el ancho del rectángulo es el doble de la altura.