El voltante, la biela y el pistón. Razón de cambio. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Problema. Una máquina de vapor transforma en un volante y una biela movimiento circular en movimiento longitudinal. El volante gira a razón de 60 (rpm). El radio del volante es de 27.94 (cm) y la biela mide 152.4 (cm). Hallar a qué velocidad se mueve el pistón cuando el radio del volante está perpendicular a la biela.

*Figura 3.12.1 Representación gráfica del volante, la biela y el pistón.*

Solución. El caso del volante y la biela, se observa que

*Figura 3.12.2 Análisis del voltante, la biela y el pistón.*

Donde “ $x$ ” representa el desplazamiento longitudinal de la biela va en función con el ángulo de radio del volante y con la horizontal.

Entre el pistón y la biela, se tienen las siguientes expresiones

$OD=OC+CD$

Si $CD=x$

$OD=OC+x$

Despejando $x$

$OD-OC=x$

$x=OD-OC$

Entre los triángulos generados por la biela y el volante

En el caso de la longitud de ambos triángulos es

$OB=OA+AB$

Para obtener el equivalente del segmento $OA$

$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{OA}{r}$

$\displaystyle OA = r \cos{\theta}$

Y el equivalente del segmento $AB$ es

$\displaystyle \cos{\beta} = \frac{AB}{\ell} AB = \ell \cos{\beta}$

Figura 3.12.4
Figura 3.12.5
Figura 3.12.6

Sustituyendo en la longitud inferior formado por ambos triángulos

$OB = OA + AB$

$OB = r \cos{\theta} + \ell \cos{\beta}$

Ahora, cuando el radio del volante y la horizontal formen un ángulo de 0°, se muestra el siguiente caso

Esto quiere decir que los segmentos $OA$ , $AB$ , $BC$ y $CD$ serán reemplazados por los valores de las longitudes del radio del volante y la biela. Así que, para este caso, el segmento $OD$ será

$OD = r + \ell$

Después, el segmento $OC$ es

$OC = OB + BC$

Sustituyendo la equivalencia del segmento $OB$

$OC = OB + BC$

$OC = r \cos{\theta} + \ell \cos{\beta} + BC$

Sustituyendo todos estos datos en la ecuación del desplazamiento longitudinal

$x = OD - OC$

$x = r + \ell - r \cos{\theta} - \ell \cos{\beta} + BC$

Para determinar el segmento $BC$ , se analiza lo siguiente

Para esta situación, se observa que entre los puntos B y C, son sólo una referencia geométrica para obtener los valores de cada parámetro y comprender ciertos momentos entre la biela, el volante y el pistón. Observando, se dice que el segmento BC se descartará en el análisis, es decir, $BC=0$ .

$x = r + \ell - r \cos{\theta} - \ell \cos{\beta} + BC$

$x = r + \ell - r \cos{\theta} - \ell \cos{\beta}$

Un último punto importante a analizar es la relación entre los ángulos β y θ.

Tomando nuevamente los triángulos rectángulos. Aplicando trigonometría, no se debe tomar en cuenta los segmentos $OA$ ni $AB$ . Entonces

$\sin{\theta} = \frac{h}{r}$

Despejando $h$

f $h = r \sin{\theta}$

Figura 3.12.8
Figura 3.12.9

$\displaystyle \sin{\beta} = \frac{h}{\ell}$

Despejando $h$

$h = \ell \sin{\beta}$

Aplicando el método de igualación

$h = r \sin{\theta}$

$\ell \sin{\beta} = r \sin{\theta}$

Despejando “sen β”

$\displaystyle \sin{\beta} = \frac{r \sin{\theta}}{\ell}$

Recordando la siguiente identidad trigonométrica

$\displaystyle \cos{\beta} = \sqrt{1 - \sin^2{\beta}}$

Realizando la sustitución

$\displaystyle \cos{\beta} = \sqrt{1 - \sin^2{\beta}}$

$\displaystyle \cos{\beta} = \sqrt{1 - (\frac{r \sin{\theta}}{\ell})^2}$

$\displaystyle \cos{\beta} = \sqrt{1 - (\frac{r^2 \sin^2{\theta}}{\ell^2})}$

$\displaystyle \cos{\beta} = \sqrt{\frac{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}}{\ell^2}}$

$\displaystyle \cos{\beta} = \frac{\sqrt{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}}}{\ell}$

Retornando a la ecuación del desplazamiento longitudinal y sustituyendo una vez más

$x = r + \ell - r \cos{\theta} - \ell \cos{\beta}$

$\displaystyle x = r + \ell - r \cos{\theta} - \ell(\frac{\sqrt{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}}}{\ell})$

$\displaystyle x = r + \ell - r \cos{\theta} - \sqrt{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}}$

Esta ecuación es la ecuación estática. Continuando, se deriva en ambos miembros con respecto a “ $t$ ”.

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left(r + \ell - r \cos{\theta} - \sqrt{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}} \right)$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (r) + \frac{d}{dt} (\ell) - \frac{d}{dt} (r \cos{\theta}) - \frac{d}{dt} (\sqrt{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}})$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = 0 + 0 - r \frac{d}{dt} (\cos{\theta}) - \frac{d}{dt} (\sqrt{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}})$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = -r(-\sin{\theta}) \frac{d\theta}{dt} - \frac{1}{2\sqrt{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}}} \frac{d}{dt} (\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta})$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = (r \sin{\theta}) \frac{d\theta}{dt} - \frac{1}{2\sqrt{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}}} \left[\frac{d}{dt} (\ell^2) - r^2 \frac{d}{dt} (\sin^2{\theta}) \right]$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = (r \sin{\theta}) \frac{d\theta}{dt} - \frac{1}{2\sqrt{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}}} \left[0 - r^2 (2 \sin{\theta}) \cos{\theta} \frac{d\theta}{dt} \right]$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = (r \sin{\theta}) \frac{d\theta}{dt} - \frac{1}{2\sqrt{\ell^2-r^2 \sin^2{\theta}}} \left[-2r^2 \sin{\theta} \cos{\theta} \frac{d\theta}{dt} \right]$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = (r \sin{\theta}) \frac{d\theta}{dt} + \frac{r^2 \sin{\theta} \cos{\theta}}{\sqrt{\ell^2 - r^2 sin^2{\theta}}} \frac{d\theta}{dt}$

Por lo que, este resultado, es la ecuación cinemática.

Se realiza una conversión de (rpm) a (rad/min) en la velocidad de giro del volante.

$\displaystyle \frac{d\theta}{dt} = 60 \ (rpm) = 60 \ (rev/min)$

$\displaystyle \frac{d\theta}{dt} = (60 \ rev/min) (\frac{2\pi \ rad}{1 \ rev})$

$\displaystyle \frac{d\theta}{dt} = 120 \pi \ (rad/min)$

Para llegar al resultado final, se toman los siguientes valores: $\displaystyle \frac{d\theta}{dt} = 120\pi$ , $r=27.94$ , $\ell=152.4$ y $\theta = 90$ °

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = (r \sin{\theta}) \frac{d\theta}{dt} + \frac{r^2 \sin{\theta} \cos{\theta}}{\sqrt{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}}} \frac{d\theta}{dt}$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = (27.94 \sin{90})(120\pi) + \left[\frac{(27.94)^2 \sin{90} \cos{90}}{\sqrt{((152.4)^2-(27.94)^2 (\sin{90})^2})} \right](120\pi)$