aplicaciones de cálculo diferencial, blog

El voltante, la biela y el pistón. Razón de cambio. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Problema. Una máquina de vapor transforma en un volante y una biela movimiento circular en movimiento longitudinal. El volante gira a razón de 60 (rpm). El radio del volante es de 27.94 (cm) y la biela mide 152.4 (cm). Hallar a qué velocidad se mueve el pistón cuando el radio del volante está perpendicular a la biela.

Figura 3.12.1 Representación gráfica del volante, la biela y el pistón.

Solución. El caso del volante y la biela, se observa que

Figura 3.12.2 Análisis del voltante, la biela y el pistón.

Donde “x” representa el desplazamiento longitudinal de la biela va en función con el ángulo de radio del volante y con la horizontal.

Entre el pistón y la biela, se tienen las siguientes expresiones

OD=OC+CD

Si CD=x

OD=OC+x

Despejando x

OD-OC=x

x=OD-OC

Entre los triángulos generados por la biela y el volante

Figura 3.12.3 Triángulos generados.

En el caso de la longitud de ambos triángulos es

OB=OA+AB

Para obtener el equivalente del segmento OA

\displaystyle \cos{\theta} = \frac{OA}{r}

\displaystyle OA = r \cos{\theta}

Y el equivalente del segmento AB es

\displaystyle \cos{\beta} = \frac{AB}{\ell} AB = \ell \cos{\beta}

Sustituyendo en la longitud inferior formado por ambos triángulos

OB = OA + AB

OB = r \cos{\theta} + \ell \cos{\beta}

Ahora, cuando el radio del volante y la horizontal formen un ángulo de 0°, se muestra el siguiente caso

Figura 3.12.7

Esto quiere decir que los segmentos OA, AB, BC y CD serán reemplazados por los valores de las longitudes del radio del volante y la biela. Así que, para este caso, el segmento OD será

OD = r + \ell

Después, el segmento OC es

OC = OB + BC

Sustituyendo la equivalencia del segmento OB

OC = OB + BC

OC = r \cos{\theta} + \ell \cos{\beta} + BC

Sustituyendo todos estos datos en la ecuación del desplazamiento longitudinal

x = OD - OC

x = r + \ell - r \cos{\theta} - \ell \cos{\beta} + BC

Para determinar el segmento BC, se analiza lo siguiente

Figura 3.12.8

Para esta situación, se observa que entre los puntos B y C, son sólo una referencia geométrica para obtener los valores de cada parámetro y comprender ciertos momentos entre la biela, el volante y el pistón. Observando, se dice que el segmento BC se descartará en el análisis, es decir, BC=0.

x = r + \ell - r \cos{\theta} - \ell \cos{\beta} + BC

x = r + \ell - r \cos{\theta} - \ell \cos{\beta}

Un último punto importante a analizar es la relación entre los ángulos β y θ.

Tomando nuevamente los triángulos rectángulos. Aplicando trigonometría, no se debe tomar en cuenta los segmentos OA ni AB. Entonces

\sin{\theta} = \frac{h}{r}

Despejando h

fh = r \sin{\theta}

Y

\displaystyle \sin{\beta} = \frac{h}{\ell}

Despejando h

h = \ell \sin{\beta}

Aplicando el método de igualación

h = r \sin{\theta}

\ell \sin{\beta} = r \sin{\theta}

Despejando “sen β”

\displaystyle \sin{\beta} = \frac{r \sin{\theta}}{\ell}

Recordando la siguiente identidad trigonométrica

\displaystyle \cos{\beta} = \sqrt{1 - \sin^2{\beta}}

Realizando la sustitución

\displaystyle \cos{\beta} = \sqrt{1 - \sin^2{\beta}}

\displaystyle \cos{\beta} = \sqrt{1 - (\frac{r \sin{\theta}}{\ell})^2}

\displaystyle \cos{\beta} = \sqrt{1 - (\frac{r^2 \sin^2{\theta}}{\ell^2})}

\displaystyle \cos{\beta} = \sqrt{\frac{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}}{\ell^2}}

\displaystyle \cos{\beta} = \frac{\sqrt{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}}}{\ell}

Retornando a la ecuación del desplazamiento longitudinal y sustituyendo una vez más

x = r + \ell - r \cos{\theta} - \ell \cos{\beta}

\displaystyle x = r + \ell - r \cos{\theta} - \ell(\frac{\sqrt{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}}}{\ell})

\displaystyle x = r + \ell - r \cos{\theta} - \sqrt{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}}

Esta ecuación es la ecuación estática. Continuando, se deriva en ambos miembros con respecto a “t”.

\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left(r + \ell - r \cos{\theta} - \sqrt{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}} \right)

\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (r) + \frac{d}{dt} (\ell) - \frac{d}{dt} (r \cos{\theta}) - \frac{d}{dt} (\sqrt{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}})

\displaystyle \frac{dx}{dt} = 0 + 0 - r \frac{d}{dt} (\cos{\theta}) - \frac{d}{dt} (\sqrt{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}})

\displaystyle \frac{dx}{dt} = -r(-\sin{\theta}) \frac{d\theta}{dt} - \frac{1}{2\sqrt{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}}} \frac{d}{dt} (\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta})

\displaystyle \frac{dx}{dt} = (r \sin{\theta}) \frac{d\theta}{dt} - \frac{1}{2\sqrt{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}}} \left[\frac{d}{dt} (\ell^2) - r^2 \frac{d}{dt} (\sin^2{\theta}) \right]

\displaystyle \frac{dx}{dt} = (r \sin{\theta}) \frac{d\theta}{dt} - \frac{1}{2\sqrt{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}}} \left[0 - r^2 (2 \sin{\theta}) \cos{\theta} \frac{d\theta}{dt} \right]

\displaystyle \frac{dx}{dt} = (r \sin{\theta}) \frac{d\theta}{dt} - \frac{1}{2\sqrt{\ell^2-r^2 \sin^2{\theta}}} \left[-2r^2 \sin{\theta} \cos{\theta} \frac{d\theta}{dt} \right]

\displaystyle \frac{dx}{dt} = (r \sin{\theta}) \frac{d\theta}{dt} + \frac{r^2 \sin{\theta} \cos{\theta}}{\sqrt{\ell^2 - r^2 sin^2{\theta}}} \frac{d\theta}{dt}

Por lo que, este resultado, es la ecuación cinemática.

Se realiza una conversión de (rpm) a (rad/min) en la velocidad de giro del volante.

\displaystyle \frac{d\theta}{dt} = 60 \ (rpm) = 60 \ (rev/min)

\displaystyle \frac{d\theta}{dt} = (60 \ rev/min) (\frac{2\pi \ rad}{1 \ rev})

\displaystyle \frac{d\theta}{dt} = 120 \pi \ (rad/min)

Para llegar al resultado final, se toman los siguientes valores: \displaystyle \frac{d\theta}{dt} = 120\pi, r=27.94, \ell=152.4 y \theta = 90°

\displaystyle \frac{dx}{dt} = (r \sin{\theta}) \frac{d\theta}{dt} + \frac{r^2 \sin{\theta} \cos{\theta}}{\sqrt{\ell^2 - r^2 \sin^2{\theta}}} \frac{d\theta}{dt}

\displaystyle \frac{dx}{dt} = (27.94 \sin{90})(120\pi) + \left[\frac{(27.94)^2  \sin{90} \cos{90}}{\sqrt{((152.4)^2-(27.94)^2 (\sin{90})^2})} \right](120\pi)

\displaystyle \frac{dx}{dt} = 3352.8 \pi \ (cm/min)

\displaystyle \frac{dx}{dt} = 10,533.156 \ (cm/min)

Por lo tanto, el pistón se mueve a razón de 10,533.156 (cm/min).

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