máquinas eléctricas

Transformadores. Problema 4. Máquinas eléctricas.

Problema. Cuando los turistas de Estados Unidos y Canadá van de visita a Europa, se encuentran con un sistema de distribución de potencia diferente. Los voltajes en las tomas de pared son de 120 (V rms) a 60 (Hz) en América del Norte, mientras que en Europa son de 240 (V) a 50 (Hz). Muchos turistas cargan con pequeños transformadores reductores/elevadores para poder utilizar sus aparatos en los países que visitan. Un transformador típico podría ser dimensionado a 1 kVA y 115/240 (V); con 500 vueltas de alambre en el lado de 115 (V) y 1000 vueltas de alambre en el lado de 240 (V). La curva de magnetización se muestra en la siguiente figura.

Figura 2.4.1 Curva de magnetización del problema.

a) Suponga que este transformador está conectado a una fuente de potencia de 120 (V) y 60 (Hz) y no tiene ninguna carga conectada en el lado de 240 (V). Dibuje la corriente de carga de magnetización que fluirá en el transformador. ¿Cuál es la amplitud rms de la corriente de magnetización? ¿Qué porcentaje de la corriente a plena carga es la corriente de magnetización?

b) Ahora suponga que este transformador se conecta a una fuente de potencia de 240 (V) y 50 (Hz) y no tiene ninguna carga conectada al lado de 120 (V). Dibuje la corriente de magnetización que fluirá el transformador. ¿Cuál es la amplitud rms de la corriente de magnetización? ¿Qué porcentaje de la corriente a plena carga es la corriente de magnetización?

c) ¿En qué caso la corriente de magnetización constituye un porcentaje más alto de la corriente a plena carga? ¿Por qué?

Solución. Para resolver este problema se utilizará el software MATLAB 2018 para generar un archivo en formato «.m», con el fin de representar la curva de magnetización y poder utilizarlo en las soluciones de este problema. A continuación se muestran los valores que se relacionan con la curva de magnetización del problema que se han almacenado en formato «.dat»

 % Esta es la curva de magnetización mostrado en este problema 
% La primera columna es la corriente de magnetización en amperes,
% y la segunda columna es el flujo resultante en weber. Los datos
% serán cargados dentro de una matriz N x 2
% llamado"curva_magnetización1.m"
% con la primera columna que contiene Im y la segunda columna
% contiene el flujo. La función "interp1" de MATLAB puede ser
%utilizado para descubrir un valor de esta curva.
-4.4000000e+002 -1.0993500e-003
-4.2000000e+002 -1.0946400e-003
-4.0000000e+002 -1.0879100e-003
-3.8000000e+002 -1.0754300e-003
-3.6000000e+002 -1.0606000e-003
-3.4000000e+002 -1.0438300e-003
-3.2000000e+002 -1.0227700e-003
-3.0000000e+002 -9.9936200e-004
-2.8000000e+002 -9.7127700e-004
-2.6000000e+002 -9.3851100e-004
-2.4000000e+002 -9.0028400e-004
-2.3000000e+002 -8.8200000e-004
-2.2000000e+002 -8.5737600e-004
-2.0000000e+002 -8.0744700e-004
-1.8000000e+002 -7.4971600e-004
-1.6000000e+002 -6.8496500e-004
-1.4000000e+002 -6.0968100e-004
-1.2000000e+002 -5.2776600e-004
-1.0000000e+002 -4.4546100e-004
-8.0000000e+001 -3.5730500e-004
-6.0000000e+001 -2.6719900e-004
-4.0000000e+001 -1.7943300e-004
-2.0000000e+001 -8.9717000e-005
0.0000000e+000 0.0000000e+000
2.0000000e+001 8.9717000e-005
4.0000000e+001 1.7943300e-004
6.0000000e+001 2.6719900e-004
8.0000000e+001 3.5730500e-004
1.0000000e+002 4.4546100e-004
1.2000000e+002 5.2776600e-004
1.4000000e+002 6.0968100e-004
1.6000000e+002 6.8496500e-004
1.8000000e+002 7.4971600e-004
2.0000000e+002 8.0744700e-004
2.2000000e+002 8.5737600e-004
2.3000000e+002 8.8200000e-004
2.4000000e+002 9.0028400e-004
2.6000000e+002 9.3851100e-004
2.8000000e+002 9.7127700e-004
3.0000000e+002 9.9936200e-004
3.2000000e+002 1.0227700e-003
3.4000000e+002 1.0438300e-003
3.6000000e+002 1.0606000e-003
3.8000000e+002 1.0754300e-003
4.0000000e+002 1.0879100e-003
4.2000000e+002 1.0946400e-003
4.4000000e+002 1.0993500e-003

Teniendo esto, se puede resolver los inciso a), b) y c).

Solución a). Cuando este transformador este conectado a una fuente de 120 (V) y 60 (Hz), el flujo en el núcleo estará dado por la ecuación

\displaystyle \phi(t) =  - \frac{V_M}{\omega N_P} \cos{\omega t}

Después, el código a utilizar para encontrar la solución de este problema es el siguiente

 %Archivo: p5_transformadores.m
%Este archivo calcula y grafica la curva de magnetización
%del transformador operando 120/240 (V) en 120 volts
%y 60 Hz. Este programa también calcula el valor rms
%de la curva de magnetización.

load curva_magnetizacion1.dat
dato_fmm = curva_magnetizacion1(:,1);
dato_flujo = curva_magnetizacion1(:,2);

%Iniciando valores
S = 1000; %Potencia aparente (VA)
Vrms = 120; %Voltaje rms (V)
VM = Vrms * sqrt(2); %Voltaje máximo (V)
NP = 500; %Vueltas en el devanado primario

%Cálculo de la velocidad angular a 60 Hz.
frecuencia = 60; %Frecuencia (HZ)
w = 2 * pi * frecuencia;

%Cálculo del flujo contra tiempo.
tiempo = 0:1/3000:1/30; %De 0 a 1/30 segundos
flujo = -VM/(w*NP) * cos(w .* tiempo);

%Cálculo de la fuerza magnetomotriz correspondiente
%para obtener el flujo usando la función de interpolación.
fmm = interp1(dato_flujo,dato_fmm,flujo);

%Cálculo de la corriente de magnetización
im = fmm / NP;

%Cálculo del valor rms de la corriente
irms = sqrt(sum(im.^2)/length(im));
disp(['La corriente rms a 120 V y 60 Hz es ', num2str(irms) '(A)']);

%Cálculo de la corriente en plena carga
i_fl = S / Vrms;

%Cálculo del porcentaje de la corriente en plena carga
porcentaje = irms / i_fl * 100;
disp(['La corriente de magnetización tiene ', num2str(porcentaje) '% de la corrient en plena carga']);

%Gráfica de la corriente de magnetización
figure(1)
plot(tiempo,im);
title ('\bfCorriente de magnetización a 120 V y 60 Hz');
xlabel ('\bfTiempo (seg)');
ylabel ('\bf\itI_{m} \rm(A)');
axis([0 0.04 -0.5 0.5]);
grid on;

A continuación se muestra una gráfica que habla acerca del comportamiento de la corriente de magnetización a 120 (V) y 60 (Hz).

Figura 2.4.2 Corriente de magnetización a 120 (V) y 60 (Hz).

El resultado se muestra en la ventana «Command Window»

Figura 2.4.3 Resultado de la corriente rms y el porcentaje de la corriente de magnetización en plena carga.

Solución b). Cuando este transformador este conectado a una fuente de 240 (V) y 50 (Hz), el flujo en el núcleo estará dado por la ecuación

\displaystyle \phi(t) =  - \frac{V_M}{\omega N_P} \cos{\omega t}

Después, el código a utilizar para encontrar la solución de este problema es el siguiente

 %Archivo: p5_transformadores.m
%Este archivo calcula y grafica la curva de magnetización
%del transformador operando 120/240 (V) en 240 volts
%y 50 Hz. Este programa también calcula el valor rms
%de la curva de magnetización.

load curva_magnetizacion1.dat
dato_fmm = curva_magnetizacion1(:,1);
dato_flujo = curva_magnetizacion1(:,2);

%Iniciando valores
S = 1000; %Potencia aparente (VA)
Vrms = 240; %Voltaje rms (V)
VM = Vrms * sqrt(2); %Voltaje máximo (V)
NP = 1000; %Vueltas en el devanado primario

%Cálculo de la velocidad angular a 60 Hz.
frecuencia = 50; %Frecuencia (HZ)
w = 2 * pi * frecuencia;

%Cálculo del flujo contra tiempo.
tiempo = 0:1/2500:1/25; %De 0 a 1/25 segundos
flujo = -VM/(w*NP) * cos(w .* tiempo);

%Cálculo de la fuerza magnetomotriz correspondiente
%para obtener el flujo usando la función de interpolación.
fmm = interp1(dato_flujo,dato_fmm,flujo);

%Cálculo de la corriente de magnetización
im = fmm / NP;

%Cálculo del valor rms de la corriente
irms = sqrt(sum(im.^2)/length(im));
disp(['La corriente rms a 50 Hz es ', num2str(irms) '(A)']);

%Cálculo de la corriente en plena carga
i_fl = S / Vrms;

%Cálculo del porcentaje de la corriente en plena carga
porcentaje = irms / i_fl * 100;
disp(['La corriente de magnetización tiene ', num2str(porcentaje) '% de la corrient en plena carga']);

%Gráfica de la corriente de magnetización
figure(1)
plot(tiempo,im);
title ('\bfCorriente de magnetización a 240 V y 50 Hz');
xlabel ('\bfTiempo (seg)');
ylabel ('\bf\itI_{m} \rm(A)');
axis([0 0.04 -0.5 0.5]);
grid on;

A continuación se muestra una gráfica que habla acerca del comportamiento de la corriente de magnetización a 240 (V) y 50 (Hz).

Figura 2.4.4 Corriente de magnetización a 240 (V) y 50 (Hz).

El resultado se muestra en la ventana «Command Window»

Figura 2.4.5 Resultado de la corriente rms y el porcentaje de la corriente de magnetización en plena carga.

Solución c). La corriente de magnetización tiene un porcentaje más alto de la corriente en plena carga para el caso de 50 (Hz) que el de 60 (Hz). Esto es verdad porque el flujo pico es más grande para la onda de 50 (Hz), conduciendo el núcleo más hacia la saturación.

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