ecuaciones diferenciales

Ecuaciones de primer orden y grado superior. Ecuaciones diferenciales.

Introducción.

Una ecuación diferencial de primer orden tiene la forma f(x,y,y') = 0 o bien f(x,y,p)=0, donde se ha reemplazado \displaystyle y' = dy/dx por p. Si la nueva variable p tiene un grado mayor que uno, la ecuación es de primer orden y de grado superior. Por ejemplo:

\displaystyle \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 3x \frac{dy}{dx} + 2y=0 \quad \rightarrow \quad p^2 - 3px + 2y=0

La ecuación general de primer orden de grado n se puede escribir de la forma

p^n + P_1 (x,y) p^{n-1} + \cdots + P_{n-1} (x,y) p + P_n(x,y) = 0

Ecuaciones que se resuelven respecto de p.

De la ecuación diferencial

p^n + P_1 (x,y) p^{n-1} + \cdots + P_{n-1} (x,y) p + P_n(x,y) = 0

En el miembro izquierdo puede ser considerado como un polinomio en p, y se puede resolver en n factores reales lineales, es decir

(p-F_1)(p-F_2) \cdots (p - F_n) = 0

donde las funciones F contienen variables de x y de y.

Igualándolo a cero cada factor y resolviendo las n ecuaciones diferenciales resultantes de primer orden y de primer grado.

\displaystyle \frac{dy}{dx} = F_1 (x,y), \displaystyle \frac{dy}{dx} = F_2 (x,y) , … , \displaystyle \frac{dy}{dx} = F_n (x,y)

obtenidendo

f_1 (x,y,C) = 0, f_2 (x,y,C) =0 , … , f_n (x,y) = 0

La primitiva es el producto

f_1 (x,y,C) \cdot f_2 (x,y,C) \cdot \cdots \cdot f_n (x,y,C) = 0

de las n soluciones.

Ecuaciones que se resuelven respecto de y.

Tomando y = f(x,p), se deriva con respecto de x para obtener

\displaystyle \frac{dy}{dx} = p = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial p} \frac{dp}{dx} = F(x,p, \frac{dp}{dx})

lo cual, representa una ecuación de primer orden y de primer grado.

Después, se resuelve \displaystyle p = F(x,p, \frac{dp}{dx}) para tener lo siguiente \phi (x,p,C)=0.

Para obtener la primitiva se elimina p entre y=f(x,p) y \phi(x,p,C), cuando sea posible, o bien expresar x y y separadamente como funciones del parámetro p.

Ecuaciones que se resuelven respecto de x.

Tomando x=f(y,p), se deriva con respecto y para obtener

\displaystyle \frac{dx}{dy} = \frac{1}{p} = \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial p} \frac{dp}{dy} = F(y,p, \frac{dp}{dy})

que representa una ecuación de primer orden y de primer grado.

Después, se resuelve \displaystyle \frac{1}{p} = F(y,p, \frac{dp}{dy}) para tener lo siguiente \phi (y,p,C)=0.

Para obtener la primitiva se elimina p entre x=f(y,p) y \phi (y,p,C)=0, cuando sea posible, o bien expresar x y y separadamente como funciones del parámetro p.

Ecuación de Clairaut.

Una ecuación diferencial que tiene la forma

y = px + f(p)

se llama ecuación de Clairaut. Su primitiva es

y = Cx + f(C)

Problemas resueltos.

Problema 1. Resolver \displaystyle \left(\frac{dy}{dx} \right)^4 - (x+2y+1) \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 + (x+2y+2xy) \left(\frac{dy}{dx} \right)^2 - 2xy \frac{dy}{dx} = 0.

Solución. Esta ecuación se resuelve respecto de p. Se remplaza \displaystyle \frac{dy}{dx} por p, la ecuación diferencial tiene la siguiente forma.

\displaystyle \left(\frac{dy}{dx} \right)^4 - (x+2y+1) \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 + (x+2y+2xy) \left(\frac{dy}{dx} \right)^2 - 2xy \frac{dy}{dx} = 0

\displaystyle p^4 - (x+2y+1) p^3 + (x+2y+2xy) p^2 - 2xy p = 0

Factorizando, se tiene que

p[p^3 - (x+2y+1) p^2 + (x+2y+2xy) p - 2xy] = 0

p(p-x)[p^2 - (2y+1) p + 2y] = 0

p(p-x)(p-2y)(p-1) = 0

Después, las soluciones de las ecuaciones componentes de primer orden y primer grado

  1. \displaystyle p = 0 \rightarrow \frac{dy}{dx} = 0
  2. \displaystyle p - x = 0 \rightarrow \frac{dy}{dx} - x= 0 \rightarrow \frac{dy}{dx} =x
  3. \displaystyle p - 2y = 0 \rightarrow \frac{dy}{dx} - 2y= 0 \rightarrow \frac{dy}{dx} =2y
  4. \displaystyle p - 1 = 0 \rightarrow \frac{dy}{dx} - 1= 0 \rightarrow \frac{dy}{dx} =1

son

  1. \displaystyle y =C \rightarrow y-C =0
  2. \displaystyle y = \frac{1}{2} x^2 + C \rightarrow 2y - x^2 - C=0
  3. \displaystyle \ln{y} = 2x + C \rightarrow y - Ce^{x^2}
  4. \displaystyle y = x+C \rightarrow y-x-C = 0

Finalmente, la primitiva es el producto de las cuatro soluciones anteriores, es decir,

\therefore (y-C)(2y-x^2-C)(y-Ce^{x^2})(y-x-C)=0

Problema 2. Resolver \displaystyle (x^2+x) \left(\frac{dy}{dx} \right)^2 + (x^2+x-2xy-y) \frac{dy}{dx} + y^2-xy=0

Solución. Esta ecuación se resuelve respecto de p. Se remplaza \displaystyle \frac{dy}{dx} por p, la ecuación diferencial tiene la siguiente forma.

\displaystyle (x^2+x) \left(\frac{dy}{dx} \right)^2 + (x^2+x-2xy-y) \frac{dy}{dx} + y^2-xy=0

\displaystyle (x^2+x) p^2 + (x^2+x-2xy-y)p + y^2-xy=0

Factorizando

[(x+1)p - y](xp +x-y) = 0

Las soluciones de las ecuaciones componentes

  1. \displaystyle (x+1)p - y = 0 \rightarrow (x+1) \frac{dy}{dx} - y=0 \rightarrow (x+1) \frac{dy}{dx} = y
  2. \displaystyle xp + x - y = 0 \rightarrow x \frac{dy}{dx} + x - y=0 \rightarrow x \frac{dy}{dx} = y-x

son

  1. \displaystyle y = C(x+1) \rightarrow y - C(x+1)=0
  2. \displaystyle y = -x \ln{Cx} \rightarrow y + x\ln{Cx} = 0

Finalmente, la primitiva es el producto de las dos soluciones anteriores, es decir,

[y-C(x+1)][y+x\ln{(Cx)}] = 0

Problema 3. Resolver \displaystyle 16x^2 + 2y \left(\frac{dy}{dx} \right)^2 - x \left(\frac{dy}{dx} \right)^3 =0.

Solución. Esta ecuación diferencial se puede resolver respecto de y. Remplazando \frac{dy}{dx} por p, la ecuación diferencial toma la siguiente forma.

\displaystyle 16x^2 + 2y \left(\frac{dy}{dx} \right)^2 - x \left(\frac{dy}{dx} \right)^3 =0

\displaystyle 16x^2 + 2y p^2 - x p^3 =0

Despejando 2y

\displaystyle 2y p^2 = x p^3 - 16x^2

\displaystyle 2y = \frac{x p^3 - 16x^2}{p^2}

\displaystyle 2y = xp - 16 \frac{x^2}{p^2}

Derivando este resultado con respecto a x

\displaystyle \frac{d}{dx}(2y) = \frac{d}{dx} \left(xp - 16 \frac{x^2}{p^2} \right)

\displaystyle 2\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (xp) - 16 \frac{d}{dx} \left(\frac{x^2}{p^2} \right)

\displaystyle 2\frac{dy}{dx} = p + x \frac{dp}{dx} - 16 \left( \frac{2x p^2 - 2x^2 p \frac{dp}{dx}}{p^4} \right)

\displaystyle 2\frac{dy}{dx} = p + x \frac{dp}{dx} - \frac{32x}{p^2} + \frac{32 x^2}{p^3} \frac{dp}{dx}

\displaystyle 2p = p + x \frac{dp}{dx} - \frac{32x}{p^2} + \frac{32 x^2}{p^3} \frac{dp}{dx}

Simplificando

\displaystyle p + \frac{32x}{p^2} = x \frac{dp}{dx} + \frac{32 x^2}{p^3} \frac{dp}{dx}

\displaystyle p + \frac{32x}{p^2} = \left(x + \frac{32 x^2}{p^3} \right) \frac{dp}{dx}

\displaystyle \frac{p^3 + 32x}{p^2} = \left(\frac{x p^3 + 32 x^2}{p^3} \right) \frac{dp}{dx}

\displaystyle p(p^3 + 32x) = \left(x p^3 + 32 x^2 \right) \frac{dp}{dx}

\displaystyle p(p^3 + 32x) - \left(x p^3 + 32 x^2 \right) \frac{dp}{dx} = 0

\displaystyle p(p^3 + 32x) - x \left(p^3 + 32 x \right) \frac{dp}{dx} = 0

\displaystyle (p - x \frac{dp}{dx}) (p^3 + 32x) = 0

Esta ecuación se satisface cuando \displaystyle p - x \frac{dp}{dx} = 0 o bien cuando p^3 + 32x = 0. Del primer producto

\displaystyle p - x\frac{dp}{dx} = 0

\displaystyle x \frac{dp}{dx} = p

p = Cx

Remplazando este último resultado en la ecuación diferencial del problema (ya sustituido con la variable p), se tiene que

\displaystyle 16x^2 + 2y p^2 - x p^3 =0

\displaystyle 16x^2 + 2y (C^2 x^2) - x (C^3 x^3) =0

\displaystyle 16x^2 + 2 C^2 x^2 y - C^3 x^4 =0

\displaystyle \therefore 16 + 2 C^2 y - C^3 x^2 =0

El factor p^3 + 32x no se toma en cuenta ya que no tiene la derivada \displaystyle \frac{dp}{dx}.

Problema 4. Resolver \displaystyle y = (2+\frac{dy}{dx})x + \left(\frac{dy}{dx} \right)^2.

Solución. Esta ecuación diferencial se puede resolver respecto de y. Remplazando \frac{dy}{dx} por p, la ecuación diferencial toma la siguiente forma.

\displaystyle y = (2+\frac{dy}{dx})x + \left(\frac{dy}{dx} \right)^2

\displaystyle y = (2+p)x + p^2

\displaystyle y = 2x + px + p^2

Derivando con respecto a x

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (2x + px + p^2)

\displaystyle \frac{dy}{dx} = 2 + p + x \frac{dp}{dx} + 2p \frac{dp}{dx}

\displaystyle p = 2 + p + x \frac{dp}{dx} + 2p \frac{dp}{dx}

\displaystyle -2 = x \frac{dp}{dx} + 2p \frac{dp}{dx}

\displaystyle -2 = (x+2p) \frac{dp}{dx}

Realizando un acomodo

\displaystyle -2 \frac{dx}{dp} = x + 2p

\displaystyle \frac{dx}{dp} = -\frac{1}{2} x - p

\displaystyle \frac{dx}{dp} + \frac{1}{2} x = - p

Esta ecuación diferencial es lineal y de primer orden. Resolviendo el factor integrante, resulta que

u(p) = e^{\int{\frac{1}{2} \ dp}} = e^{\frac{1}{2} p}

Continuando

\displaystyle x u(p) = \int{Q(p) \ u(p) \ dp}

\displaystyle x e^{\frac{1}{2} p} = \int{(-p) \ e^{\frac{1}{2} p} \ dp}

\displaystyle x e^{\frac{1}{2} p} = -2p e^{\frac{1}{2} p} + 4e^{\frac{1}{2} p} + C

\displaystyle x = -2p + 4 + \frac{C}{e^{\frac{1}{2} p}}

\displaystyle x = -2p + 4 + Ce^{-\frac{1}{2} p}

Sustituyendo en la ecuación y (ya tomado en cuenta p)

y = 2x + px + p^2

\displaystyle y = 2(-2p + 4 + Ce^{-\frac{1}{2} p}) + p(-2p+4+Ce^{-\frac{1}{2} p}) + p^2

\displaystyle y = -4p + 8 + 2Ce^{-\frac{1}{2} p} -2p^2+4p+Cpe^{-\frac{1}{2} p} + p^2

\displaystyle y =  8 + (2+p)Ce^{-\frac{1}{2} p} - p^2

Por tanto, las soluciones esperadas son

\displaystyle x = -2p + 4 + Ce^{-\frac{1}{2} p} \quad , \quad y =  8 + (2+p)Ce^{-\frac{1}{2} p} - p^2

Problema 5. Resolver \displaystyle \left(\frac{dy}{dx} \right)^3 - 2xy \frac{dy}{dx} + 4y^2=0.

Solución. Esta ecuación diferencial se puede resolver respecto de x. Remplazando \frac{dy}{dx} por p, la ecuación diferencial toma la siguiente forma.

\displaystyle \left(\frac{dy}{dx} \right)^3 - 2xy \frac{dy}{dx} + 4y^2=0

\displaystyle p^3 - 2xyp + 4y^2=0

Despejando 2x

\displaystyle p^3 - 2xyp + 4y^2=0

\displaystyle 2xyp=p^3 + 4y^2

\displaystyle 2x=\frac{p^3 + 4y^2}{yp}

\displaystyle 2x=\frac{p^2}{y} + \frac{4y}{p}

Derivando con respecto de y

\displaystyle \frac{d}{dy}(2x) = \frac{d}{dy} \left(\frac{p^2}{y} \right) + \frac{d}{dy} \left(\frac{4y}{p} \right)

\displaystyle 2 \frac{dx}{dy} = \frac{2yp \frac{dp}{dy} - p^2}{y^2} + \frac{4p - 4y \frac{dp}{dy}}{p^2}

\displaystyle 2 \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{2p}{y} \frac{dp}{dy} - \frac{p^2}{y^2} + \frac{4}{p} - \frac{4y}{p^2} \frac{dp}{dy}

\displaystyle 2 \frac{1}{p} =  - \frac{p^2}{y^2} + \frac{4}{p} +  \frac{2p}{y} \frac{dp}{dy} - \frac{4y}{p^2} \frac{dp}{dy}

\displaystyle \frac{2}{p} =  - \frac{p^2}{y^2} + \frac{4}{p} + \left(\frac{2p}{y} - \frac{4y}{p^2} \right) \frac{dp}{dy}

\displaystyle 0 =  - \frac{p^2}{y^2} + \frac{2}{p} + \left(\frac{2p}{y} - \frac{4y}{p^2} \right) \frac{dp}{dy}

\displaystyle 0 = \left( \frac{2}{p} - \frac{p^2}{y^2} \right) - \frac{2y}{p} \left(\frac{2}{p} - \frac{p^2}{y^2} \right) \frac{dp}{dy}

\displaystyle 0 = \left(1 - \frac{2y}{p} \frac{dp}{dy} \right) \left(\frac{2}{p} - \frac{p^2}{y^2} \right)

\displaystyle 0 = \left(\frac{p - 2y \frac{dp}{dy}}{p} \right) \left(\frac{2y^2 - p^3}{py^2} \right)

\displaystyle \left(p - 2y \frac{dp}{dy} \right) \left(2y^2 - p^3 \right) = 0

Tomando el primer factor, se tiene lo siguiente

\displaystyle p - 2y \frac{dp}{dy} = 0

\displaystyle 2y \frac{dp}{dy} = p

\displaystyle 2 \ln{p} = \ln{y} + C

p^2 = Cy

\displaystyle p = \sqrt{Cy}

Sustituyendo en la ecuación que expresa 2x

\displaystyle 2x = \frac{p^2}{y} + \frac{4y}{p}

\displaystyle 2x = \frac{Cy}{y} + \frac{4y}{\sqrt{Cy}}

\displaystyle 2x = C + \frac{4\sqrt{y}}{\sqrt{C}}

\displaystyle (2x - C) = 4 \sqrt{\frac{y}{C}}

\displaystyle (2x - C) = \sqrt{\frac{16y}{C}}

\displaystyle (2x - C)^2 = \frac{16y}{C}

\displaystyle \therefore 16y = C(2x - C)^2

Problema 6. Resolver \displaystyle 4x = \left[\left(\frac{dy}{dx} \right)^2 - 3 \right] y \frac{dy}{dx}.

Solución. Esta ecuación diferencial se puede resolver respecto de x. Remplazando \frac{dy}{dx} por p, la ecuación diferencial toma la siguiente forma.

\displaystyle 4x = \left[\left(\frac{dy}{dx} \right)^2 - 3 \right] y \frac{dy}{dx}

\displaystyle 4x = (p^2 - 3) yp

\displaystyle 4x = yp^3 - 3yp

Derivando con respecto a y

\displaystyle \frac{d}{dy}(4x) = \frac{d}{dy}(yp^3 - 3yp)

\displaystyle 4 \frac{dx}{dy} = p^3 + 3yp^2 \frac{dp}{dy} - 3p - 3y \frac{dp}{dy}

\displaystyle 4 \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = p(p^2 - 3) + y(3p^2 - 3) \frac{dp}{dy}

\displaystyle \frac{4}{p} = p(p^2 - 3) + 3y(p^2 - 1) \frac{dp}{dy}

\displaystyle p(p^2 - 3 - \frac{4}{p^2}) + 3y(p^2 - 1) \frac{dp}{dy} = 0

\displaystyle \frac{(p^4 - 3p^2 - 4)}{p} + 3y(p^2 - 1) \frac{dp}{dy} = 0

\displaystyle \frac{dy}{y} + \frac{3p(p^2-1)}{(p^4 - 3p^2 - 4)} dp = 0

\displaystyle \frac{dy}{y} + \frac{3p(p^2-1)}{(p^2 - 4)(p^2 + 1)} dp = 0

En el segundo término del primer miembro, la fracción es quivalente a

\displaystyle \frac{3p(p^2-1)}{(p^2 - 4)(p^2 + 1)} = \frac{\frac{9}{10}}{(p+2)} + \frac{\frac{9}{10}}{(p-2)} + \frac{\frac{6}{5} p}{(p^2+1)}

Entonces

\displaystyle \frac{dy}{y} + \left[ \frac{\frac{9}{10}}{(p+2)} + \frac{\frac{9}{10}}{(p-2)} + \frac{\frac{6}{5} p}{(p^2+1)} \right] dp = 0

Integrando en ambos miembros

\displaystyle ln{y} + \frac{9}{10} \ln{(p+2)} + \frac{9}{10} \ln{(p-2)} + \frac{3}{5} \ln{(p^2+1)} = C

Despejando y

\displaystyle y = \frac{C}{(p+2)^{9/10} (p-2)^{9/10} (p^2+1)^{3/5}} = \frac{C}{(p^2-4)^{9/10} (p^2+1)^{3/5}}

Sustituyendo esta expresión en la ecuación del problema (ya tomando en cuenta la variable p) y despejando x, se tiene que

\displaystyle 4x = (p^2-3)yp

\displaystyle 4x = (p^2-3) \cdot \frac{C}{(p^2-4)^{9/10} (p^2+1)^{3/5}} \cdot p

\displaystyle x = \frac{Cp(p^2-3)}{4(p^2-4)^{9/10} (p^2+1)^{3/5}}

Por tanto, la solución es

\displaystyle x = \frac{Cp(p^2-3)}{4(p^2-4)^{9/10} (p^2+1)^{3/5}} , \displaystyle y = \frac{C}{(p^2-4)^{9/10} (p^2+1)^{3/5}}

Problema 7. Resolver \displaystyle y = x\frac{dy}{dx} + \sqrt{4+ \left(\frac{dy}{dx} \right)^2}.

Solución. Remplazando \displaystyle \frac{dy}{dx} por p, la ecuación tiene la siguiente expresión.

\displaystyle y = xp + \sqrt{4+p^2}

Esta ecuación tiene la forma a la ecuación de Clairaut. Finalmente,

\displaystyle \therefore y = Cx + \sqrt{4+C^2}

Problema 8. resolver \displaystyle y = 3x \frac{dy}{dx} + 6y^2 \left(\frac{dy}{dx} \right)^2.

Solución. Remplazando \displaystyle \frac{dy}{dx} por p, la ecuación tiene la siguiente expresión.

\displaystyle y = 3xp + 6y^2p^2

Después

y^3 = 3xy^2 p + 6y^4 p^2

Realizando la sustitución v=y^3, su derivada con respecto a x es

\displaystyle \frac{dv}{dx} = 3y^2 \frac{dy}{dx} = 3y^2 p

Entonces

\displaystyle y^3 = x (3y^2 p) + \frac{6}{9} (9y^4 p^2)

\displaystyle y^3 = x (3y^2 p) + \frac{2}{3} (3y^2 p)^2

\displaystyle v = x \frac{dv}{dx} + \frac{2}{3} \left(\frac{dv}{dx} \right)^2

Esta ecuación tiene la forma a la ecuación de Clairaut. Así que

\displaystyle v = Cx + \frac{2}{3} C^2

Recordando la sustitución v = y^3, el resultado esperado es

\displaystyle \therefore y^3 = Cx + \frac{2}{3} C^2

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