máquinas eléctricas

Transformadores. Problema 1. Máquinas eléctricas.

Problema 1. Un transformador de distribución de 100 (kVA) y 8000/277 (V) tiene las siguientes resistencias y reactancias.

R_P = 5 \Omega

X_P = 6 \Omega

R_C = 50 k\Omega

R_S = 0.005 \Omega

X_S = 0.006 \Omega

X_M = 100 k\Omega

Las impedancias de la rama de excitación se dan referidas al lado de alto voltaje del transformador.

a) Encuentre el circuito equivalente de este transformador referido al lado de bajo voltaje.

b) Encuentre el circuito equivalente por unidad de este transformador.

c) Suponga que este transformador suministra una carga nominal de 277 (V) y FP = 0.85 en retraso. ¿Cuál es el voltaje de entrada de este transformador? ¿Cuál es su regulación de voltaje?

d) ¿Cuáles son las pérdidas de cobre y las pérdidas del núcleo en este transformador bajo las condiciones del inciso c?

e) ¿Cuál es la eficiencia del transformador en las condiciones del inciso c?

Solución a). Para encontrar el circuito equivalente para un transformador referido al lado de bajo voltaje, primero se determina la relación de este transformador

\displaystyle a=\frac{8000}{277} = 28.881

Después

\displaystyle \frac{R_P}{a^2}=\frac{5 \ \Omega}{(28.881)^2} = 0.006 \ \Omega

\displaystyle \frac{X_P}{a^2}=\frac{6 \ \Omega}{(28.881)^2} = 0.0072 \ \Omega

R_S = 0.005 \ \Omega

X_S = 0.006 \ \Omega

\displaystyle \frac{R_C}{a^2} = \frac{50 \times 10^3}{(28.881)^2} = 59.944 \ \Omega

\displaystyle \frac{X_M}{a^2} = \frac{10 \times 10^3}{(28.881)^2} = 11.989 \ \Omega

El modelo para este transformador se muestra en la figura 2.1.1

Figura 2.1.1 Modelo de un transformador referido al lado de bajo voltaje (lado secundario).
Figura 2.1.1 Modelo de un transformador referido al lado de bajo voltaje (lado secundario).

Ahora, el circuito de la figura anterior puede reducirse a un más. Los datos a tomar son

\displaystyle R_{eq,S} = \frac{R_P}{a^2} + R_S = 0.006 + 0.005 = 0.011 \ \Omega

\displaystyle \frac{R_C}{a^2} = 59.944 \ \Omega

\displaystyle \frac{X_M}{a^2} = 11.989 \ \Omega

El nuevo circuito (ya reducido) se llama modelo aproximado de un transformador referido al lado de bajo voltaje se muestra en la figura 2.1.2

Figura 2.1.2 Modelo aproximado de un transformador referido al lado de bajo voltaje.
Figura 2.1.2 Modelo aproximado de un transformador referido al lado de bajo voltaje.

Solución b). Para obtener el circuito equivalente por unidad, se deben elaboran los siguientes cálculos. El voltaje de base y la potencia aparente en el lado secundario son

V_{base} = V_{S,nominal} = 277 \ (V) y S_{base} = S_{S,nominal} = 10 \ (kVA)

La corriente base es

\displaystyle I_{base} = \frac{10 \ (kVA)}{277 \ (V)} = \frac{10000 \ (VA)}{277 \ (V)} = 36.1011 \ (A)

La impedancia base del circuito secundario es

\displaystyle Z_{base} = \frac{V_{base}}{I_{base}} = \frac{277 \ (V)}{36.1011 \ (A)} = 7.6728 \ (\Omega)

La impedancia del transformador referido al lado de bajo voltaje es

Z_{eq,S} = R_{eq,S} + j X_{eq,S} = 0.011 + j0.0132 \ (\Omega)

Entonces, la impedancia equivalente por unidad es

\displaystyle Z_{eq,PU} = \frac{Z_{eq,S}}{Z_{base}} = \frac{0.011 + j 0.0132}{7.6728}

Z_{eq,PU} = 0.0014 + j0.0017

Los demás elementos tiene el siguiente resultado

\displaystyle R_{C,PU} = \frac{59.944 \ (\Omega)}{7.6728 \ (\Omega)} = 7.722

\displaystyle X_{M,PU} = \frac{11.989 \ (\Omega)}{7.6728 \ (\Omega)} = 1.5625

Así que, el circuito equivalente por unidad para el transformador referido al lado de bajo voltaje es

Figura 2.1.3 Circuito equivalente por unidad del transformador referido al lado de bajo voltaje
Figura 2.1.3 Circuito equivalente por unidad del transformador referido al lado de bajo voltaje

Solución c). Para calcular el valor del voltaje de entrada, se determinan los siguientes datos (tomando la figura 2.1.2, es decir, al lado de bajo voltaje):

F. P. (factor de potencia)

FP=\cos{\theta} = 0.85

\theta = \arccos{0.85} = 31.79°

Voltaje nominal

V_{S,nominal} = 277 \ (V)

El fasor del voltaje

\displaystyle \boldsymbol{V_S} = V_{S,nominal} \angle 0 = 277 \angle 0° (V)

Fuente de potencia aparente nominal del transformador

S_{nominal} = 100 \ (kVA)

Corriente nominal

\displaystyle I_{S, nominal} = \frac{S_{nominal}}{V_{S,nominal}} = \frac{100 \times 10^3 \ VA}{277 \ V} = 361.011 \ (A)

Fasor de la corriente

\displaystyle \boldsymbol{I_{S}} = I_{S,nominal} \angle - \theta = 361.011 \angle -31.79° (A)

Tomando la fórmula para determinar el voltaje de entrada

\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = \boldsymbol{V_S} + R_{eq,S} \boldsymbol{I_S} + j X_{eq,S} \boldsymbol{I_S}

\displaystyle = 277 \angle 0 + (0.011)(361.011 \angle -31.79) + j(0.0132)(361.011 \angle -31.79)

\displaystyle = 277 + j0 + (0.011)(306.8538 - j190.1833) + (j0.0132)(306.8538 - j190.1833)

= 277 + j0 + 3.3754 - j2.092 + 2.5104 + j4.0505

= 282.8858 + j1.9585

\displaystyle  \therefore \boldsymbol{V_P} = 282.89 \angle 0.40° (V)

La regulación de voltaje es

\displaystyle RV = \frac{\frac{V_P}{a} - V_{S,fl}}{V_{S,fl}} \times 100%

\displaystyle RV = \frac{282.89 - 277}{277} \times 100%

\therefore RV = 2.13%

Solución d). Las pérdidas del cobre bajo las condiciones del inciso c) se calculan utilizando la siguiente fórmula

P_{CU} = I_S ^2 \cdot R_{eq,S}

P_{CU} = (361.011 \ A)^2(0.011 \ \Omega)

\therefore P_{CU} = 1433.618 \ (W)

Las pérdidas en el núcleo se determinan calcula la fórmula

\displaystyle P_{nucleo} = \frac{\left(\frac{V_P}{a} \right)^2}{\frac{R_C}{a}}

\displaystyle P_{nucleo} = \frac{(282.892 \ V)^2}{59.944 \ \Omega}

\therefore P_{nucleo} = 1335.044 \ (W)

Solución e). La eficiencia del transformador bajo las condiciones del inciso c) se determina utilizando la fórmula

\displaystyle \eta = \frac{V_S I_S \cos{\theta}}{P_{CU} + P_{nucleo} + V_S I_S \cos{\theta}} \times 100%

Sustituyendo

\displaystyle \eta = \frac{(277 \ V)(361.011 \ A) \cos{31.79}}{1433.618 \ W + 1335.044 \ W + (277)(361.011 \ A) \cos{31.79}} \times 100%

\therefore \eta = 96.84%

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