circuitos eléctricos

Problemas de elementos de un circuito. Primera parte. Circuitos eléctricos.

Recordando la siguiente tabla

A continuación se muestra una serie de problemas resueltos de los elementos de un circuitos.

Problemas resueltos

Problema 1. Una resistencia tiene un voltaje aplicado de V=1.5 \ (mV). Calcular la corriente si la potencia absorbida es

a) 27.75 \ (nW)

b) 1.20 \ (\mu W)

Solución a). Tomando la fórmula de la potencia

p = v \cdot i

Despejando la corriente i

\displaystyle i = \frac{p}{v}

Sustituyendo

\displaystyle i = \frac{27.75 \ (\mu W)}{1.5 \ (mV)} = \frac{27.75 \times 10^{-9} \ (W)}{1.5 \times 10^{-3} \ (V)}

i = 18.5 \times 10^{-6} \ (A) = 18.5 \ (\mu A)

Solución b). Tomando la fórmula despejada

\displaystyle i = \frac{1.20 \ (\mu W)}{1.5 \ (mV)} = \frac{1.20 \times 10^{-6} \ (W)}{1.5 \times 10^{-3} \ (V)}

i = 0.8 \times 10^{-3} (A) = 0.8 \ mA

Problema 2. Por una resistencia de 5 \ (\Omega) circula una corriente de i = 5 \times 10^{3}t \ (A) en el intervalo 0 \le t \le 2 \ ms. Calcular la potencia instantánea y media.

Solución. Para determinar la potencia instantánea, se toma la siguiente fórmula

\displaystyle p(t) = v(t) \cdot i(t) = R \cdot i^2

\displaystyle p(t) = (5 \ (\Omega))(5 \times 10^{3} t \ (A))^2

\bf{p(t) = 125t^2 \times 10^6 \ (W) = 125 t^2 \ (MW)}

Y para calcular la potencia media, su fórmula es la siguiente

\displaystyle p_{media} = \frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2}{p(t) \ dt}

Sustituyendo y resolviendo la integral

\displaystyle p_{media} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} \int_{0}^{2 \times 10^{-3}}{125 t^2 \times 10^6 \ dt}

\displaystyle p_{media} = \frac{125 \times 10^6}{2 \times 10^{-3}} \int_{0}^{2 \times 10^{-3}}{t^2 \ dt} = 62.5 \times 10^{9} \int_{0}^{2 \times 10^{-3}}{t^2 \ dt}

\displaystyle p_{media} = 62.5 \times 10^9 \cdot \frac{1}{3} (2 \times 10^{-3})^3 \ (W)

\bf{p_{media} = 166.667 \ (W)}

Problema 3. Una corriente i entra por la terminal positivo de un elemento generalizando de un circuito, siendo el voltaje entre el mismo de 3.91 (V). Calcular la corriente si la potencia absorbida es -25 (mW).

Solución. Tomando la fórmula de la potencia

p = v \cdot i

Despejando la corriente i

\displaystyle i = \frac{p}{v}

Y sustituyendo

\displaystyle i = \frac{-25 \ (mW)}{3.91 \ (V)} = - \frac{25 \times 10^{-3} (W)}{3.91 \ (V)}

\displaystyle \bf{i = -6.394 \times 10^{-3} (A) = -6.394 \ (mA)}

Problema 4. Deducir qué elemento simple de un circuito tiene un voltaje y una corriente en el intervalo 0 \le (1 \times 10^3 t) \le \pi dados por i = 2 \sin{(1\times 10^3 t)} \ (mA) y v = 5 \cos{(1 \times 10^3 t)} \ (mV).

Solución. Al tomar la ecuación para determinar el voltaje de un inductor (como hipótesis)

\displaystyle v = L \cdot \frac{di}{dt}

Sustituyendo y despejando L

\displaystyle 5 \cos{(1 \times 10^3 t)} = L \frac{d}{dt} [2 \sin{(1 \times 10^{3} t)}]

\displaystyle 5 \cos{(1 \times 10^3 t)} = L [2 \times 10^3 \cos{(1 \times 10^3 t)}]

\displaystyle L = \frac{5 \cos{(1 \times 10^3 t)}}{2 \times 10^3 \cos{(1 \times 10^3 t)}}

L = 2.5 \times 10^{-3} (H) = 2.5 \ (mH)

Se concluye que el elemento es un inductor. Si se hubiera tomado la ecuación para determinar la corriente del capacitor, se tendría un resultado negativo en el valor de C, por lo que un elemento pasivo no tendría valores negativos; fue por eso que se tomo la ecuación para el voltaje del inductor.

Problema 5. Una inductancia de 4 (mH) tiene un voltaje aplicado de v = 2e^{-1000t} (V). Calcular la energía máxima acumulada. Para t=0 la corriente es cero.

Solución. Primero se determina la corriente del inductor

\displaystyle i (t) = \frac{1}{L} \int_0^t{v \ d\tau} + i_0

\displaystyle i (t) = \frac{1}{4 \ (m)} \int_0^t{2e^{-1000\tau} \ d\tau} + 0

\displaystyle i (t) = 500 \int_0^t{e^{-1000 \tau} \ d\tau}

\displaystyle i (t) = 500 \cdot \frac{1}{(-1000)} (e^{-1000 t} - 1)

\displaystyle i (t) = - 0.5 (e^{-1000 t} - 1)

Después, se calcula la potencia

p(t) = v(t) \cdot i(t)

p(t) = (2e^{-1000t}) \cdot [-0.5 (e^{-1000t} - 1)]

p (t) = -e^{-2000t} + e^{-1000t} \ (W)

Para encontrar el valor de la energía máxima, en la integral, los límites a tomar son t=0 y t=\infty

\displaystyle w_L = \int_{t_1}^{t_2}{p(t) \ dt}

\displaystyle w_L = \int_{0}^{\infty}{(-e^{-2000t} + e^{-1000t}) \ dt}

\displaystyle w_L = \frac{1}{2000}(0-1) - \frac{1}{1000}(0-1)

\displaystyle w_L = -0.0005 + 0.0010

\therefore \bf{\displaystyle w_L = 0.0005 \ J = 0.5 \ (mJ)}

Problema 6. Un condensador de 2 (\mu F) con una carga inicial Q_0 se conecta en serie con una resistencia de 10 (\Omega). Obtener el valor de Q_0 si la energía disipada en la resistencia es 3.6 (mJ).

Solución. La energía total del capacitor es

\displaystyle w_C = \frac{1}{2} C\cdot v^2

\displaystyle 3.6 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} (2 \times 10^{-6}) \cdot v^2

\displaystyle v = \sqrt{3.6 \times 10^{3}} = \sqrt{3600} = 60 \ (V)

Calculando la carga

Q_0 = C \cdot v

Q_0 = (2 \times 10^{-6})(60)

\therefore \bf{Q_0 = 120 \times 10^{-6} C = 120 \ (\mu C)}


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