Aplicaciones geométricas. Ecuaciones diferenciales.

Coordenadas rectangulares

Sea $(x,y)$ un punto cualquiera de una curva $F(x,y) = 0$ . En las figuras 1.9.1 y 1.9.2 se muestran los puntos claves a considerar.

a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ es la pendiente de la tangente a la curva en $(x,y)$ .

b) $\displaystyle - \frac{dx}{dy}$ es la pendiente de la norma a la curva en $(x,y)$ .

c) $\displaystyle Y-y = \frac{dy}{dx} (X-x)$ es la ecuación de la tangente en $(x,y)$ , donde $(X,Y)$ son las coordenadas de un punto cualquiera de la tangente.

d) $\displaystyle Y-y = - \frac{dx}{dy}(X-x)$ es la ecuación de la normal en $(x,y)$ siendo $(X,Y)$ las coordenadas de un punto cualquiera de la normal.

e) $\displaystyle x- y \frac{dx}{dy}$ y $\displaystyle y - x \frac{dy}{dx}$ son los segmentos interceptados en los ejes $x$ e $y$ por la tangente.

f) $\displaystyle x + y \frac{dy}{dx}$ y $\displaystyle y + x \frac{dx}{dy}$ son los segmentos interceptados por la normal.

g) $\displaystyle y \sqrt{1 + (\frac{dx}{dy})^2}$ y $\displaystyle x \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ son las longitudes de la tangente entre $(x,y)$ y los ejes $x$ y $y$ .

h) $\displaystyle y \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ y $\displaystyle x \sqrt{1 + (\frac{dx}{dy})^2}$ son las longitudes de la normal entre $(x,y)$ y los ejes $x$ y $y$ .

i) $\displaystyle y \frac{dx}{dy}$ y $\displaystyle x \frac{dy}{dx}$ son las longitudes de la subtangente y subnormal.

j) $\displaystyle ds=\sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = dx \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}=dy\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}$ es un elemento de longitud de arco.

k) $y \ dx$ o $x \ dy$ es un elemento de área.

Coordenadas polares

Sea $(\rho , \theta)$ un punto cualquiera de una curva $\rho = f(\theta)$ .

l) $\displaystyle \tan{\psi} = \rho \frac{d\theta}{d\rho}$ , donde $\psi$ es el ángulo entre el radio vector y la parte de la tangente dirigida hacia el origen de la curva.

m) $\displaystyle \rho \tan{\psi} = \rho^2 \frac{d\theta}{d\rho}$ es la longitud de la subtangente polar.

n) $\displaystyle \rho \cot{\psi} = \frac{d\rho}{d\theta}$ es la longitud de la subnormal porlar.

o) $\displaystyle \rho \sin{\psi} = \rho^2 \frac{d\theta}{ds}$ es la longitud de la perpendicular desde el polo a la tangente.

p) $\displaystyle ds = \sqrt{(d\rho)^2 + \rho^2 (d\theta)^2} = d\rho \sqrt{1 + \rho^2(\frac{d\theta}{d\rho})^2} = d\theta \sqrt{(\frac{d\rho}{d\theta})^2 + 1}$ es un elemento de longitud arco.

q) $\displaystyle \frac{1}{2} \rho^2 d\theta$ es un elemento de área.

Trayectorias

Cualquier curva que corte a cada uno de los miembros de una familia dada de curvas bajo un ángulo constante $\omega$ se llama una trayectoria $\omega$ de la familia. La trayectoria de 90° de una familia se llama trayectoria ortogonal de la familia.

Para hallar tales trayectorias se empleara lo siguiente:

Caso 1. Las curvas integrales de la ecuación diferencial

$\displaystyle f \left(x,y, \frac{y' - \tan{\omega}}{1 + y' \tan{\omega}} \right) = 0$

son las trayectorias $\omega$ de la familia de curvas integrales de

$\displaystyle f(x,y,y') = 0$

Caso 2. Las curvas integrales de la ecuación diferencial

$\displaystyle f \left(x, y, \frac{1}{y'} \right) = 0$

son las trayectorias ortogonales de la familia de curvas integrales de

$\displaystyle f(x,y,y') = 0$

Caso 3. En coordenadas polares, las curvas integrales de la ecuación diferencial

$\displaystyle f \left(\rho, \theta, - \rho^2 \frac{d\theta}{d \rho} \right) = 0$

son las trayectorias ortogonales de las curvas integrales de

$\displaystyle f \left(\rho, \theta, \frac{d\rho}{d \theta} \right) = 0$

Problemas resueltos

Problema 1. En cada punto $(x,y)$ de una curva la subtangente es proporcional al cuadrado de la abscisa. Hallarla curva si pasa también por el punto $(1,e)$ .

Solución. Tomando el enunciado del inciso i), la ecuación diferencial es

$\displaystyle y \frac{dx}{dy} = kx^2$

Continuando

$\displaystyle \frac{dx}{x^2} = k \frac{dy}{y}$

$\displaystyle - \frac{1}{x} + C= k \ln{y}$

Si se toma el punto $(1,e)$ , el valor de C es

$\displaystyle -\frac{1}{1} + C = k \ln{e}$

$\displaystyle -1+ C = k$

$C = k+1$

Sustituyendo, la curva es

$\displaystyle -\frac{1}{x} + k + 1 = k \ln{y}$

$\displaystyle \therefore k \ln{y} = k + 1 - \frac{1}{x}$

Problema 2. Hallar la familia de curvas para las que la longitud de la parte de la tangente entre el punto de contacto $(x,y)$ y el eje $y$ es igual interceptado en $y$ por la tangente.

Solución. Tomando las ecuaciones de los incisos g y e, y aplicando la igualación, se tiene lo siguiente

$\displaystyle x \sqrt{1+ (\frac{dy}{dx})^2} = y - x \frac{dy}{dx}$

$\displaystyle x^2 \left[1 + (\frac{dy}{dx})^2 \right] = \left( y - x \frac{dy}{dx} \right)^2$

$\displaystyle x^2 + x^2 (\frac{dy}{dx})^2 = y^2 - 2xy \frac{dy}{dx} + x^2 (\frac{dy}{dx})^2$

$\displaystyle x^2 - y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = 0$

$\displaystyle (x^2 - y^2) \ dx + 2xy \ dy = 0$

Por inspección, esta ecuación diferencial es homogénea de segundo grado. Utilizando la siguiente transformación: $y = vx$ y $dy = x dv + v dx$ , la ecuación diferencial tiene la siguiente forma

$(x^2 - v^2 x^2 ) \ dx + 2x^2 v \ (x dv + v dx) = 0$

$(x^2 - v^2 x^2 ) \ dx + 2x^3 v \ dv + 2x^2 v^2 \ dx = 0$

$(x^2 - v^2 x^2 + 2x^2 v^2) \ dx + 2x^3 v \ dv = 0$

$(x^2 + v^2 x^2) \ dx + 2x^3 v \ dv = 0$

$x^2 (1+v^2) \ dx + 2x^3 v \ dv = 0$

$\displaystyle \frac{x^2 (1+v^2)}{x^3 (1+v^2)} dx + \frac{2x^3 v}{x^3 (1+v^2)} dv = 0$

$\displaystyle \frac{1}{x} dx + \frac{2v}{(1+v^2)} dv = 0$

$\ln{x} + \ln{(1+v^2)} = C$

La curva pedida es

$\displaystyle \ln{x} + \ln{(1+ \frac{y^2}{x^2})} = C$

$\displaystyle \therefore x^2 + y^2 = Cx$

Problema 3. La superficie del sector formado por un arco de una curva y los radios vectores de sus puntos extremos es la mitad de la longitud del arco. Hallar la curva.

Solución. Los radios vectores a tomar son $\theta = \theta_1$ y $\theta = \theta$ . Tomando las ecuaciones pertenecientes a los incisos q y p

$\displaystyle \int_{\theta_1}^{\theta}{\frac{1}{2} \rho^2 \ d\theta} = \int_{\theta_1}^{\theta}{\frac{1}{2} \sqrt{(\frac{d\rho}{d \theta})^2 + \rho^2} \ d\theta}$

Derivando con respecto a $\theta$ en ambos miembros

$\displaystyle \frac{d}{d\theta} \left[\int_{\theta_1}^{\theta}{\frac{1}{2} \rho^2 \ d\theta} \right] = \frac{d}{d\theta} \left[\int_{\theta_1}^{\theta}{\frac{1}{2} \sqrt{(\frac{d\rho}{d \theta})^2 + \rho^2} \ d\theta} \right]$

$\displaystyle \frac{1}{2} \rho^2 = \frac{1}{2} \sqrt{(\frac{d\rho}{d \theta})^2 + \rho^2}$

$\displaystyle \rho^2 = \sqrt{(\frac{d\rho}{d \theta})^2 + \rho^2}$

Realizando un acomodo en esta última ecuación

$\displaystyle \rho^4 = (\frac{d\rho}{d \theta})^2 + \rho^2$

$\displaystyle \pm \sqrt{\rho^4 - \rho^2} = \frac{d\rho}{d\theta}$

$\displaystyle \frac{d\rho}{d\theta} = \pm \rho \sqrt{\rho^2 - 1}$

$\displaystyle d\rho = \pm \rho \sqrt{\rho^2 - 1} \ d\theta$

Si $\rho^2 = 1$ , la última ecuación se reduce a

$\displaystyle d\rho = \pm \rho \sqrt{1 - 1} \ d\theta$

$d\rho = 0$

Se puede comprobar fácilmente que $\rho = 1$ satisface la condición del problema.

Si $\rho^2 \ne 1$ , la última ecuación se reduce a

$\displaystyle \frac{d \rho}{\rho \sqrt{\rho^2 - 1}} = \pm d\theta$

$\displaystyle \sec^{-1}{\rho} = C \pm \theta$

$\rho = \pm \sec{C \pm \theta}$

Por tanto, las condiciones están satisfechas por la circunferencia $\rho = 1$ y la familia de curvas $\rho = \sec{(C \pm \theta)}$ .

Problema 4. Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de cardioides $\rho = C (1+\sin{\theta})$ .

Solución. Derivando la función con respecto a $\theta$

$\displaystyle \frac{d\rho}{d\theta} = C \cos{\theta}$

Resolviendo para $C$

$\displaystyle C = \frac{1}{\cos{\theta}} \frac{d \rho}{d \theta}$

Sustituyendo $C$ en la ecuación del problema

$\displaystyle \rho = \frac{1}{\cos{\theta}} \frac{d \rho}{d \theta} (1 + \sin{\theta})$

$\displaystyle \frac{d \rho}{d \theta} = \frac{\rho \cos{\theta}}{1 + \sin{\theta}}$

Recordando el caso 3 para trayectorias ortogonales, se reemplaza $\displaystyle \frac{d\rho}{d\theta} = - \rho^2 \frac{d\theta}{d\rho}$ . Así que la ecuación diferencial tiene una nueva forma

$\displaystyle -\rho^2 \frac{d\theta}{d\rho} = \frac{\rho \cos{\theta}}{(1+\sin{\theta})}$

$\displaystyle (\sec{\theta} + \tan{\theta}) \ d\theta + \frac{d\rho}{\rho} = 0$

Integrando

$\displaystyle \ln{(\sec{\theta} + \tan{\theta})} - \ln{\cos{\theta}} + \ln{\rho} = C$

Despejando $\rho$

$\displaystyle \rho = \frac{C \cos{\theta}}{\sec{\theta} + \tan{\theta}} = C (1-\sin{\theta})$

Problema 5. Determinar las trayectorias de 45° de la familia de circunferencias concéntricas $x^2 + y^2 = C$ .

Solución. Derivando la ecuación con respecto a $x$ , la ecuación diferencial de la familia de circunferencias es

$\displaystyle \frac{d}{dx} (x^2 + y^2) = \frac{d}{dx} (C)$

$\displaystyle 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$

$x + yy' = 0$

Tomando el caso 1 de trayectorias

$\displaystyle \frac{y' - \tan{45}}{1 + y' \tan{45}} = \frac{y' - 1}{1+y'}$

Colocándolo en la ecuación diferencial

$\displaystyle x + y \left(\frac{y' - 1}{1+y'} \right) = 0$

$\displaystyle x(1+y') + y(y'-1) = 0$

$\displaystyle x + x\frac{dy}{dx} + y \frac{dy}{dx} - y = 0$

$\displaystyle (x-y) \ dx + (x+y) \ dy = 0$

Esta ecuación diferencial es homogénea de primer grado. Para este caso, utilizando la siguiente transformación: $y =vx$ y $dy = v dx + x dv$ , la ecuación tiene una nueva forma