ecuaciones diferenciales

Aplicaciones geométricas. Ecuaciones diferenciales.

Coordenadas rectangulares

Sea (x,y) un punto cualquiera de una curva F(x,y) = 0. En las figuras 1.9.1 y 1.9.2 se muestran los puntos claves a considerar.

a) \displaystyle \frac{dy}{dx} es la pendiente de la tangente a la curva en (x,y).

b) \displaystyle - \frac{dx}{dy} es la pendiente de la norma a la curva en (x,y).

c) \displaystyle Y-y = \frac{dy}{dx} (X-x) es la ecuación de la tangente en (x,y), donde (X,Y) son las coordenadas de un punto cualquiera de la tangente.

d) \displaystyle Y-y = - \frac{dx}{dy}(X-x) es la ecuación de la normal en (x,y) siendo (X,Y) las coordenadas de un punto cualquiera de la normal.

e) \displaystyle x- y \frac{dx}{dy} y \displaystyle y - x \frac{dy}{dx} son los segmentos interceptados en los ejes x e y por la tangente.

f) \displaystyle x + y \frac{dy}{dx} y \displaystyle y + x \frac{dx}{dy} son los segmentos interceptados por la normal.

g) \displaystyle y \sqrt{1 + (\frac{dx}{dy})^2} y \displaystyle x \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} son las longitudes de la tangente entre (x,y) y los ejes x y y.

h) \displaystyle y \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} y \displaystyle x \sqrt{1 + (\frac{dx}{dy})^2} son las longitudes de la normal entre (x,y) y los ejes x y y.

i) \displaystyle y \frac{dx}{dy} y \displaystyle x \frac{dy}{dx} son las longitudes de la subtangente y subnormal.

j) \displaystyle ds=\sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = dx \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}=dy\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2} es un elemento de longitud de arco.

k) y \ dx o x \ dy es un elemento de área.

Coordenadas polares

Sea (\rho , \theta) un punto cualquiera de una curva \rho = f(\theta).

Figura 1.9.3

l) \displaystyle \tan{\psi} = \rho \frac{d\theta}{d\rho}, donde \psi es el ángulo entre el radio vector y la parte de la tangente dirigida hacia el origen de la curva.

m) \displaystyle \rho \tan{\psi} = \rho^2 \frac{d\theta}{d\rho} es la longitud de la subtangente polar.

n) \displaystyle \rho \cot{\psi} = \frac{d\rho}{d\theta} es la longitud de la subnormal porlar.

o) \displaystyle \rho \sin{\psi} = \rho^2 \frac{d\theta}{ds} es la longitud de la perpendicular desde el polo a la tangente.

p) \displaystyle ds = \sqrt{(d\rho)^2 + \rho^2 (d\theta)^2} = d\rho \sqrt{1 + \rho^2(\frac{d\theta}{d\rho})^2} = d\theta \sqrt{(\frac{d\rho}{d\theta})^2 + 1} es un elemento de longitud arco.

q) \displaystyle \frac{1}{2} \rho^2 d\theta es un elemento de área.

Trayectorias

Cualquier curva que corte a cada uno de los miembros de una familia dada de curvas bajo un ángulo constante \omega se llama una trayectoria \omega de la familia. La trayectoria de 90° de una familia se llama trayectoria ortogonal de la familia.

Figura 1.9.4

Para hallar tales trayectorias se empleara lo siguiente:

Caso 1. Las curvas integrales de la ecuación diferencial

\displaystyle f \left(x,y, \frac{y' - \tan{\omega}}{1 + y' \tan{\omega}} \right) = 0

son las trayectorias \omega de la familia de curvas integrales de

\displaystyle f(x,y,y') = 0

Caso 2. Las curvas integrales de la ecuación diferencial

\displaystyle f \left(x, y, \frac{1}{y'} \right) = 0

son las trayectorias ortogonales de la familia de curvas integrales de

\displaystyle f(x,y,y') = 0

Caso 3. En coordenadas polares, las curvas integrales de la ecuación diferencial

\displaystyle f \left(\rho, \theta, - \rho^2 \frac{d\theta}{d \rho} \right) = 0

son las trayectorias ortogonales de las curvas integrales de

\displaystyle f \left(\rho, \theta, \frac{d\rho}{d \theta} \right) = 0

Problemas resueltos

Problema 1. En cada punto (x,y) de una curva la subtangente es proporcional al cuadrado de la abscisa. Hallarla curva si pasa también por el punto (1,e).

Solución. Tomando el enunciado del inciso i), la ecuación diferencial es

\displaystyle y \frac{dx}{dy} = kx^2

Continuando

\displaystyle \frac{dx}{x^2} = k \frac{dy}{y}

\displaystyle - \frac{1}{x} + C= k \ln{y}

Si se toma el punto (1,e), el valor de C es

\displaystyle -\frac{1}{1} + C = k \ln{e}

\displaystyle -1+ C = k

C = k+1

Sustituyendo, la curva es

\displaystyle -\frac{1}{x} + k + 1 = k \ln{y}

\displaystyle \therefore k \ln{y} = k + 1 - \frac{1}{x}

Problema 2. Hallar la familia de curvas para las que la longitud de la parte de la tangente entre el punto de contacto (x,y) y el eje y es igual interceptado en y por la tangente.

Solución. Tomando las ecuaciones de los incisos g y e, y aplicando la igualación, se tiene lo siguiente

\displaystyle x \sqrt{1+ (\frac{dy}{dx})^2} = y - x \frac{dy}{dx}

\displaystyle x^2 \left[1 + (\frac{dy}{dx})^2 \right] = \left( y - x \frac{dy}{dx} \right)^2

\displaystyle x^2 + x^2 (\frac{dy}{dx})^2 = y^2 - 2xy \frac{dy}{dx} + x^2 (\frac{dy}{dx})^2

\displaystyle x^2 - y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = 0

\displaystyle (x^2 - y^2) \ dx + 2xy \ dy = 0

Por inspección, esta ecuación diferencial es homogénea de segundo grado. Utilizando la siguiente transformación: y = vx y dy = x dv + v dx, la ecuación diferencial tiene la siguiente forma

(x^2 - v^2 x^2 ) \ dx + 2x^2 v \ (x dv + v dx) = 0

(x^2 - v^2 x^2 ) \ dx + 2x^3 v \ dv + 2x^2 v^2 \ dx = 0

(x^2 - v^2 x^2 + 2x^2 v^2) \ dx + 2x^3 v \ dv = 0

(x^2 + v^2 x^2) \ dx + 2x^3 v \ dv = 0

x^2 (1+v^2) \ dx + 2x^3 v \ dv = 0

\displaystyle \frac{x^2 (1+v^2)}{x^3 (1+v^2)} dx + \frac{2x^3 v}{x^3 (1+v^2)} dv = 0

\displaystyle \frac{1}{x} dx + \frac{2v}{(1+v^2)} dv = 0

\ln{x} + \ln{(1+v^2)} = C

La curva pedida es

\displaystyle \ln{x} + \ln{(1+ \frac{y^2}{x^2})} = C

\displaystyle \therefore x^2 + y^2 = Cx

Problema 3. La superficie del sector formado por un arco de una curva y los radios vectores de sus puntos extremos es la mitad de la longitud del arco. Hallar la curva.

Solución. Los radios vectores a tomar son \theta = \theta_1 y \theta = \theta. Tomando las ecuaciones pertenecientes a los incisos q y p

\displaystyle \int_{\theta_1}^{\theta}{\frac{1}{2} \rho^2 \ d\theta} = \int_{\theta_1}^{\theta}{\frac{1}{2} \sqrt{(\frac{d\rho}{d \theta})^2 + \rho^2} \ d\theta}

Derivando con respecto a \theta en ambos miembros

\displaystyle \frac{d}{d\theta} \left[\int_{\theta_1}^{\theta}{\frac{1}{2} \rho^2 \ d\theta} \right] = \frac{d}{d\theta} \left[\int_{\theta_1}^{\theta}{\frac{1}{2} \sqrt{(\frac{d\rho}{d \theta})^2 + \rho^2} \ d\theta} \right]

\displaystyle \frac{1}{2} \rho^2 = \frac{1}{2} \sqrt{(\frac{d\rho}{d \theta})^2 + \rho^2}

\displaystyle \rho^2 = \sqrt{(\frac{d\rho}{d \theta})^2 + \rho^2}

Realizando un acomodo en esta última ecuación

\displaystyle  \rho^4 = (\frac{d\rho}{d \theta})^2 + \rho^2

\displaystyle \pm \sqrt{\rho^4 - \rho^2} = \frac{d\rho}{d\theta}

\displaystyle \frac{d\rho}{d\theta} = \pm \rho \sqrt{\rho^2 - 1}

\displaystyle d\rho = \pm \rho \sqrt{\rho^2 - 1} \ d\theta

Si \rho^2 = 1, la última ecuación se reduce a

\displaystyle d\rho = \pm \rho \sqrt{1 - 1} \ d\theta

d\rho = 0

Se puede comprobar fácilmente que \rho = 1 satisface la condición del problema.

Si \rho^2 \ne 1, la última ecuación se reduce a

\displaystyle \frac{d \rho}{\rho \sqrt{\rho^2 - 1}} = \pm d\theta

\displaystyle \sec^{-1}{\rho} = C \pm \theta

\rho = \pm \sec{C \pm \theta}

Por tanto, las condiciones están satisfechas por la circunferencia \rho = 1 y la familia de curvas \rho = \sec{(C \pm \theta)}.

Problema 4. Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de cardioides \rho = C (1+\sin{\theta}).

Solución. Derivando la función con respecto a \theta

\displaystyle \frac{d\rho}{d\theta} = C \cos{\theta}

Resolviendo para C

\displaystyle C = \frac{1}{\cos{\theta}} \frac{d \rho}{d \theta}

Sustituyendo C en la ecuación del problema

\displaystyle \rho = \frac{1}{\cos{\theta}} \frac{d \rho}{d \theta} (1 + \sin{\theta})

\displaystyle \frac{d \rho}{d \theta} = \frac{\rho \cos{\theta}}{1 + \sin{\theta}}

Recordando el caso 3 para trayectorias ortogonales, se reemplaza \displaystyle \frac{d\rho}{d\theta} = - \rho^2 \frac{d\theta}{d\rho}. Así que la ecuación diferencial tiene una nueva forma

\displaystyle -\rho^2 \frac{d\theta}{d\rho} = \frac{\rho \cos{\theta}}{(1+\sin{\theta})}

\displaystyle (\sec{\theta} + \tan{\theta}) \ d\theta + \frac{d\rho}{\rho} = 0

Integrando

\displaystyle \ln{(\sec{\theta} + \tan{\theta})} - \ln{\cos{\theta}} + \ln{\rho} = C

Despejando \rho

\displaystyle \rho = \frac{C \cos{\theta}}{\sec{\theta} + \tan{\theta}} = C (1-\sin{\theta})

Problema 5. Determinar las trayectorias de 45° de la familia de circunferencias concéntricas x^2 + y^2 = C.

Solución. Derivando la ecuación con respecto a x, la ecuación diferencial de la familia de circunferencias es

\displaystyle \frac{d}{dx} (x^2 + y^2) = \frac{d}{dx} (C)

\displaystyle 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0

x + yy' = 0

Tomando el caso 1 de trayectorias

\displaystyle \frac{y' - \tan{45}}{1 + y' \tan{45}} = \frac{y' - 1}{1+y'}

Colocándolo en la ecuación diferencial

\displaystyle x + y \left(\frac{y' - 1}{1+y'} \right) = 0

\displaystyle x(1+y') + y(y'-1) = 0

\displaystyle x + x\frac{dy}{dx} + y \frac{dy}{dx} - y = 0

\displaystyle (x-y) \ dx + (x+y) \ dy = 0

Esta ecuación diferencial es homogénea de primer grado. Para este caso, utilizando la siguiente transformación: y =vx y dy = v dx + x dv, la ecuación tiene una nueva forma

(x-xv) \ dx + (x+xv) \ (v dx+ x dv) = 0

x(1+v^2) \ dx + x^2(1+v) \ dv =0

\displaystyle \frac{x(1+v^2)}{x^2(1+v^2)} dx + \frac{x^2 (1+v)}{x^2 (1+v^2)} dv = 0

\displaystyle \frac{dx}{x} + \frac{(1+v)}{(1+v^2)} dv = 0

Integrando

\displaystyle \ln{x} + \frac{1}{2} \ln{(1+v^2)} + \arctan{v} = C

\displaystyle 2 \ln{x} + \ln{(1+v^2)} + 2 \arctan{v} = C

\ln{x^2(1+v^2)} = C - 2\arctan{v}

\displaystyle x^2(1+v^2) = Ce^{-2\arctan{v}}

Recordando que v = y/x, las trayectorias son

\displaystyle \therefore x^2+y^2 = Ce^{-2\arctan{\frac{y}{x}}}

Deja una respuesta

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Salir /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Salir /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Salir /  Cambiar )

Conectando a %s

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.