ecuaciones diferenciales

Otras transformaciones que se reducen al método separación de variables. Ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones de la forma y \cdot f(xy) \ dx + x \cdot g(xy) \ dy = 0

Cuando la ecuación diferencial tiene la forma

y \cdot f(xy) \ dx + x \cdot g(xy) \ dy = 0

sugiere la transformación siguiente

xy = z , \displaystyle y = \frac{z}{x} , \displaystyle dy = \frac{x \ dz - z \ dx}{x^2}

reduce una ecuación de este tipo a la forma

P(x,z) \ dx + Q(x,z) \ dz = 0

en la que las variables son separables.

Otras sustituciones

Hay ecuaciones que no pertenecen a ninguno de los tipos que se mencionan en este tema y en el tema (1.5) y que mediante una transformación adecuadamente escogida se pueden reducir a una forma en la que las variables sean separables. No es posible dar una regla general; en cada caso la forma de la ecuación sugiere la transformación.

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver y(xy+1) \ dx + x(1+xy+x^2 y^2) \ dy = 0.

Solución. Esta ecuación diferencial tiene la forma y \cdot f(x,y) + x \cdot g(x,y) = 0. Aplicando la transformación y = v/x y dy = (x \ dv - v \ dx)/x^2, la ecuación diferencial tendrá la siguiente expresión

\displaystyle \frac{v}{x} (v + 1) \ dx + x(1+v+v^2) \ \left( \frac{x \ dv - v \ dx}{x^2} \right) = 0

Continuando

\displaystyle \frac{v}{x} (v+1) \ dx + \frac{x^2}{x^2} (1+v+v^2) \ dv - \frac{xv}{x^2} (1+v+v^2) \ dx = 0

\displaystyle \left[ \frac{v}{x} (v+1) - \frac{xv}{x^2} (1+v+v^2) \right] dx - \frac{x^2}{x^2} (1+v+v^2) \ dv = 0

\displaystyle \left[ \frac{v}{x} (v+1) - \frac{v}{x} (1+v+v^2) \right] \ dx - (1+v+v^2) \ dv = 0

\displaystyle \frac{v}{x} (v+1-1-v-v^2) \ dx - (1+v+v^2) \ dv = 0

\displaystyle \frac{v}{x} (v^2) \ dx - (1+v+v^2) \ dv = 0

\displaystyle v^3 \ dx - x(1+v+v^2) \ dv = 0

Esta ecuación diferencial tiene la forma

f_1 (x) \cdot g_2 (v) \ dx + f_2 (x) \cdot g_1 (v) \ dv = 0

Determinando el factor integrante

\displaystyle \frac{1}{f_2 (x) \cdot g_2 (v)} = \frac{1}{x\cdot v^3}

Se multiplica el factor integrante por toda la ecuación diferencial transformada

\displaystyle \frac{1}{x \cdot v^3} [v^3 \ dx - x(1+v+v^2) \ dv = 0]

\displaystyle \frac{1}{x} \ dx - \left(\frac{1}{v^3} + \frac{1}{v^2} + \frac{1}{v} \right) \ dv = 0

Integrando en ambos miembros

\displaystyle \int{\frac{1}{x} \ dx} - \int{\left(\frac{1}{v^3} + \frac{1}{v^2} + \frac{1}{v} \right) \ dv} = \int{0 \ dx}

\displaystyle \ln{x} + \frac{1}{2v^2} + \frac{1}{v} - \ln{v} = C

\displaystyle \ln{\left( \frac{x}{v} \right)} + \frac{1}{2v^2} + \frac{1}{v} = C

\displaystyle 2v^2 \ln{\left(\frac{x}{v} \right)} + 1 + 2v = 2Cv^2

\displaystyle 2v^2 \ln{\left( \frac{x}{v} \right)} + 1 + 2v = Cv^2

Recordando que v=xy

\displaystyle 2(x y)^2 \ln{\left( \frac{x}{xy} \right)} + 1 + 2xy = C(x y)^2

\displaystyle \therefore 2x^2 y^2 \ln{\left(\frac{1}{y} \right)} + 1 + 2xy = Cx^2 y^2

Problema 2. Resolver (y-xy^2) \ dx - (x + x^2 y) \  dy = 0.

Solución. Tomando la transformación y=v/x (obtenida de v = yx) y dy=(x \ dv - v \ dx)/x^2, la ecuación diferencial toma una nueva expresión

\displaystyle \left(\frac{v}{x} - x \cdot \frac{v^2}{x^2} \right) \ dx - \left(x + x^2 \cdot \frac{v}{x} \right) \ \left(\frac{x \ dv - v \ dx}{x^2} \right) = 0

\displaystyle \left(\frac{v}{x} - \frac{v^2}{x} \right) \ dx - (x + xv) \left(\frac{x \ dv - v \ dx}{x^2} \right) = 0

\displaystyle \left(\frac{v}{x} - \frac{v^2}{x} \right) \ dx - (1+v) \left(\frac{x \ dv - v \ dx}{x} \right) = 0

\displaystyle \left(\frac{v}{x} - \frac{v^2}{x} \right) \ dx - (1+v) \left(dv - \frac{v}{x} \ dx \right) = 0

\displaystyle \left[\frac{v}{x} - \frac{v^2}{x} + (1+v) \frac{v}{x} \right] \ dx - (1+v) \ dv = 0

\displaystyle \left(\frac{v}{x} - \frac{v^2}{x} + \frac{v}{x} + \frac{v^2}{x} \right) \ dx - (1+v) \ dv = 0

\displaystyle \frac{2v}{x} \ dx - (1+v) \ dv = 0

2v \ dx - x (1+v) \ dv = 0

Esta integral es idéntica a

f_1 (x) \cdot g_2 (v) \ dx + f_2 (x) \cdot g_1 (v) \ dv = 0

Determinando el factor integrante

\displaystyle \frac{1}{f_2 (x) \cdot g_2 (v)} = \frac{1}{(-x)(2v)} = - \frac{1}{2xv}

Se multiplica en la ecuación diferencial

\displaystyle -\frac{1}{2xv} [2v \ dx - x(1+v) \ dv = 0]

\displaystyle -\frac{2v}{2xv} \ dx + \frac{x(1+v)}{2xv} \ dv = 0

\displaystyle - \frac{1}{x} \ dx + \frac{1+v}{2v} \ dv = 0

\displaystyle - \frac{1}{x} \ dx + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{v} + 1 \right) \ dv = 0

Integrando en ambos miembros

\displaystyle -\int{\frac{1}{x} \ dx} + \frac{1}{2} \int{\left(\frac{1}{v} + 1 \right) \ dv} = \int{0 \, dx}

\displaystyle - \ln{x} + \frac{1}{2} \ln{v} + \frac{1}{2} v = C

\displaystyle 2\ln{x} -  \ln{v} - v = -2C

\displaystyle \ln{x^2} - \ln{v} - v = C

\displaystyle \ln{\frac{x^2}{v}} - v = C

Recordando que v=xy, la ecuación resultante es

\displaystyle \ln{\frac{x^2}{xy}} - xy = C

\displaystyle \ln{\frac{x}{y}} - xy = C

\displaystyle \ln{\frac{x}{y}} + \ln{e^{-xy}} = \ln{C}

\displaystyle \frac{xe^{-xy}}{y} = C

\displaystyle \therefore x = Cye^{xy}

Problema 3. Resolver \displaystyle \frac{dy}{dx} = (y-4x)^2.

Solución. Se realiza un acomodo en los términos de la ecuación diferencial

\displaystyle \frac{dy}{dx} = (y-4x)^2

\displaystyle dy = (y-4x)^2 \ dx

dy - (y-4x)^2 \ dx = 0

Para este caso, tomando v=y-4x, despejando la variable y y determinando su diferencial

y = v + 4x

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} + 4 \frac{dx}{dx}

dy = dv + 4 dx

Se sustituye en la ecuación diferencial

dy - (y-4x)^2 \ dx = 0

(dv + 4dx) - (v + 4x - 4x)^2 \ dx = 0

dv + 4 \ dx - v^2 \ dx = 0

-(v^2 - 4) \ dx + dv = 0

(v^2 - 4) \ dx - dv = 0

Esta ecuación diferencial es idéntica a su forma general

f_1 (x) \cdot g_2 (v) \ dx + f_2 (x) \cdot g_1 (v) \ dv = 0

Al determinar su factor integrante

\displaystyle \frac{1}{f_2{x} \cdot g_2 (v)} = \frac{1}{(v^2 - 4)(1)} = \frac{1}{(v^2 - 4)}

Se multiplica el factor integrante por la ecuación diferencial del problema

\displaystyle \frac{1}{(v^2 - 4)}[(v^2 - 4) \ dx - dv = 0]

\displaystyle dx - \frac{1}{(v^2-4)} \ dv = 0

Integrando en ambos miembros

\displaystyle \int{dx} - \int{\frac{1}{v^2 - 4} \ dv} = \int{0 \ dx}

\displaystyle x - \ln{\left(\frac{v+2}{v-2} \right)} = C

\displaystyle -x + \ln{\left(\frac{v+2}{v-2} \right)} = C

Recordando que v=y - 4x, se sustituye en la ecuación resultante

\displaystyle -x + \ln{\left(\frac{y - 4x + 2}{y - 4x - 2} \right)} = C

\displaystyle \ln{\left(\frac{y-4x+2}{y-4x-2}\right)} = C + x

\displaystyle \therefore \left(\frac{y-4x+2}{y-4x-2}\right) = Ce^x

Problema 4. Resolver \displaystyle (2 + 2x^2 y^{\frac{1}{2}}) y \ dx + (x^2 y^{\frac{1}{2}} + 2)x \ dy = 0.

Solución. Se toma la siguiente transformación

\displaystyle x^2 y^{\frac{1}{2}} = v

Despejando y y determinando su diferencial

\displaystyle y^{\frac{1}{2}} = \frac{v}{x^2}

\displaystyle y = \left(\frac{v}{x^2} \right)^2 = \frac{v^2}{x^4}

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\frac{v^2}{x^4} \right)

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x^4 \cdot 2v \ \frac{dv}{dx} - v^2 \cdot 4x^3}{x^8}

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2x^4 v}{x^8} \ \frac{dv}{dx} - \frac{4x^3 v^2}{x^8}

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2v}{x^4} \frac{dv}{dx} - \frac{4v^2}{x^5}

\displaystyle dy = \frac{2v}{x^4} \ dv - \frac{4v^2}{x^5} \ dx

Sustituyendo la transformación despejada y su diferencial en la ecuación diferencial del problema, se tiene la siguiente reducción

\displaystyle (2 + 2x^2 y^{\frac{1}{2}}) y \ dx + (x^2 y^{\frac{1}{2}} + 2)x \ dy = 0

\displaystyle (2 + 2v) \frac{v^2}{x^4} \ dx + (v + 2)x \ \left( \frac{2v}{x^4} \ dv - \frac{4v^2}{x^5} \ dx \right) = 0

\displaystyle (2v^2 + 2v^3) \cdot \frac{1}{x^4} \ dx + (2v^2+4v) \cdot \frac{1}{x^3} \ dv - (4v^3 + 8v^2) \cdot \frac{1}{x^4} \ dx = 0

\displaystyle (2v^2 + 2v^3 - 4v^3 - 8v^2) \cdot \frac{1}{x^4} \ dx + (2v^2+4v) \cdot \frac{1}{x^3} \ dv = 0

\displaystyle (-2v^3 - 6v^2) \cdot \frac{1}{x^4} \ dx + (2v^2 + 4v) \cdot \frac{1}{x^3} \ dv = 0

\displaystyle -2v^2(v + 3) \cdot \frac{1}{x^4} \ dx + 2v(v + 2) \cdot \frac{1}{x^3} \ dv = 0

\displaystyle v(v+3) \ dx - x \left(v+2 \right) \ dv =0

Esta ecuación diferencial tiene la forma

\displaystyle f_1 (x) \cdot g_2(v) \ dx + f_2 (x) \cdot  g_1 (v) \ dv = 0

Al determinar el factor integrante

\displaystyle \frac{1}{f_2 (x) \cdot g_2(v)} = \frac{1}{(-x)(v)(v+3)} = -\frac{1}{xv(v+3)}

Se multiplica por toda la ecuación diferencial transformada

\displaystyle - \frac{1}{xv(v+3)} [v(v+3) \ dx - x (v+2) \ dv = 0]

\displaystyle - \frac{1}{x} \ dx + \frac{v+2}{v(v+3)} \ dv = 0

Del segundo termino del primer miembro de la ecuación diferencial, al resolverlo por fracción parcial, este término es equivalente a

\displaystyle \frac{(v+2)}{v(v+3)} = \frac{2}{3v} + \frac{1}{3(v+3)}

Entonces

\displaystyle - \frac{1}{x} \ dx + \frac{2}{3v} \ dv + \frac{1}{3(v+3)} \ dv = 0

Integrando en ambos miembros

\displaystyle - \int{\frac{1}{x} \ dx} + \frac{2}{3} \int{\frac{1}{v} \ dv} + \frac{1}{3} \int{\frac{1}{(v+3)} \ dv} = \int{0 \ dx}

\displaystyle -\ln{x} + \frac{2}{3} \ln{v} + \frac{1}{3} \ln{(v+3)} = C

\displaystyle 3 \ln{x} - 2\ln{v} - \ln{(v+3)} = C

\displaystyle \ln{x^3} - \ln{v^2} - \ln{(v+3)} = C

\displaystyle \ln{x^3} - \ln{v^2(v+3)} = C

\displaystyle \ln{\frac{x^3}{v^2(v+3)}} = \ln{C}

\displaystyle \frac{x^3}{v^2(v+3)} = C

Recordando que v= x^2 y^{1/2}, la ecuación resultante tiene la siguiente forma

\displaystyle \frac{x^3}{(x^2 y^{1/2})^2 (x^2 y^{1/2} + 3)} = C

\displaystyle \frac{x^3}{x^4 y (x^2 y^{1/2} + 3)} = C

\displaystyle \frac{x^3}{x^6 y^{3/2} + 3x^4 y} = C

\displaystyle \frac{1}{x^3 y^{3/2} + 3xy} = C

\displaystyle 1 = C(x^3 y^{3/2} + 3xy)

\therefore Cxy(x^2y^{1/2} + 3) = 1

Problema 5. Resolver (2x^2 + 3y^2 - 7) x \ dx - (3x^2 + 2y^2 -8)y \ dy = 0.

Solución. Para este caso, se realiza la siguiente transformación: u=x^2 y v = y^2, donde sus diferenciales son du = 2x \ dx y dv = 2y \ dy. Al aplicarlos en la ecuación dfierencial del problema, resulta lo siguiente

\displaystyle (2x2 + 3y^2 - 7) x \ dx - (3x^2 + 2y^2 - 8)y \ dy = 0

\displaystyle (2u + 3v - 7) \frac{1}{2} du - (3u + 2v -8) \frac{1}{2} dv = 0

\displaystyle (2u + 3v - 7) \ du - (3u + 2v -8) \ dv = 0

Esta ecuación diferencial es lineal pero no homogénea. Extrayendo los términos que acompañan a cada diferencial de la ecuación y resolviendo el sistema, se tiene lo siguiente

2u+3v-7 = 0 y 3u + 2v - 8=0

Donde los valores de «u» y «v» son u = h = 2 y v = k = 1. Aquí se utilizará una segunda transformación, por lo que, las nuevas variables a utilizar son

u = u' + h = u' + 2 y v = v' + 1

Determinando sus diferenciales

du = du' y dv = dv'

Al sustituirlas en la ecuación diferencial transformada, resulta que

\displaystyle [2(u'+2) + 3(v'+1) - 7]\ du' - [3(u'+2) + 2(v'+1) - 8] \ dv' = 0

\displaystyle (2u'+4+3v'+3-7) \ du' - (3u'+6+2v'+2-8) \ dv' = 0

\displaystyle (2u' + 3v') \ du' - (3u'+2v') \ dv' = 0

Al analizar esta ecuación diferencial, se observa que es homogénea de primer grado. Para resolverlo, por tercera ocasión se utilizará una transformación; tomando u' = sv', que al hallar su diferencial du' = s \ dv' + v' \ ds, se sustituye en la ecuación diferencial transformada.

\displaystyle (2u' + 3v') \ du' - (3u' + 2v') \ dv' = 0

\displaystyle (2sv'+3v') \ (s \ dv'+ v' \ ds) - (3sv' + 2v') \ dv' = 0

\displaystyle (2s^2 v' +3sv') \ dv' + (2sv'^2+3v'^2) \ ds - (3sv' + 2v') \ dv' = 0

(2s^2 v' + 3sv' - 3sv' - 2v') \ dv' + (2sv'^2+3v'^2) \ ds = 0

\displaystyle (2s^2 v' - 2v') \ dv' + (2sv'^2 + 3v'^2) \ ds = 0

\displaystyle 2v'(s^2-1) \ du' + v'^2(2s+3) \ ds =0

Esta última ecuación diferencial tiene la forma

f_1(v') \cdot g_2 (s) \ du' + f_2 (v') \cdot g_1 (s) \ ds = 0

Observando que la variable independiente es v' y la dependiente es s (temporalmente). Determinando el factor integrante

\displaystyle \frac{1}{f_2(v') \ g_2(s)} = \frac{1}{v'^2 (s^2-1)}

Se multiplica por toda la ecuación diferencial

\displaystyle \frac{1}{v'^2 (s^2 -1)} [2v'(s^2-1) \ dv' + v'^2(2s+3) \ ds = 0]

\displaystyle \frac{2}{v'} \ dv' + \frac{(2s+3)}{(s^2-1)} \ ds = 0

El segundo término del primer miembro de la ecuación diferencial transformada es equivalente a (resuelto por fracciones parciales)

\displaystyle \frac{(2s+3)}{(s^2-1)} = \frac{2s+3}{(s+1)(s-1)} = - \frac{1/2}{(s+1)} + \frac{5/2}{(s-1)}

Así que

\displaystyle \frac{2}{v'} \ dv' + \left[-\frac{1/2}{(s+1)} + \frac{5/2}{(s-1)} \right] \ ds = 0

\displaystyle 2 \cdot \frac{1}{v'} \ dv' + \left[-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s+1} + \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{s-1} \right] \ ds = 0

Integrando en ambos miembros

\displaystyle 2 \int{\frac{1}{v'} \, dv'} - \frac{1}{2} \int{\frac{1}{s+1} \ ds} + \frac{5}{2} \int{\frac{1}{s-1} \ ds} = \int{0 \ dv'}

\displaystyle 2\ln{v'} - \frac{1}{2} \ln{(s+1)} + \frac{5}{2} \ln{(s-1)} = C

\displaystyle 4\ln{v'} - \ln{(s+1)} + 5 \ln{(s-1)} = C

\displaystyle \ln{v'^4} - \ln{(s+1)} + \ln{(s-1)^5} = \ln{C}

\displaystyle \ln{\left[\frac{v'^4(s-1)^5}{(s+1)} \right]} = \ln{C}

\displaystyle \frac{v'^4(s-1)^5}{(s+1)} = C

Recordando que s= u'/v'

\displaystyle \frac{v'^4 \left(\frac{u'}{v'}- 1 \right)^5}{\frac{u'}{v'} + 1} = C

\displaystyle \frac{(u'-v')^5}{u'+v'} = C

Recordando que u=u'+2 y v = v'+1, despejándolas resulta u' = u-2 y v'=v-1. Sustityéndolas en la ecuación diferencial resultante

\displaystyle \frac{(u-2-v+1)^5}{u-2+v-1} = C

\displaystyle \frac{(u-v-1)^5}{u+v-3} = C

Por último, recordando que u = x^2 y v=y^2, la ecuación diferencial resultante es

\displaystyle \therefore \frac{(x^2-y^2-1)^5}{(x^2+y^2-3)} = C

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