ecuaciones diferenciales

Método de separación de variables. Ecuaciones diferenciales.

Introducción

Una ecuación diferencial de primer orden y primer grado se escribe de la siguiente forma:

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 – – – – – – – (1)

Una ecuación diferencial para la que se halla rápidamente un factor integrante tiene la forma:

f_1(x) \cdot g_2 (y) dx + f_2 (x) \cdot g_1 (y) dy = 0 – – – – – – – (2)

Por el factor integrante \displaystyle \frac{1}{f_2 (x) \cdot g_2 (y)}, la ecuación (2) se reduce a:

\displaystyle \frac{f_1(x)}{f_2(x)} dx + \frac{g_1(y)}{g_2(y)} dy = 0 – – – – – – – – – (3)

Cuya primitiva es:

\displaystyle \int{\frac{f_1(x)}{f_2(x)} dx} + \int{\frac{g_1(y)}{g_2(y)} dy} = C – – – – – (4)

La ecuación (2) pertenece a una ecuación de tipo de separación de variables mientras que la ecuación (3) las variables están separadas.

Si la ecuación (1) admite una solución f(x,y,C)=0, donde C es una constante arbitraria,existe una infinidad de factores integrantes \xi (x,y) tales que:

\xi (x,y)[M(x,y) dx + N(x,y) dy] = 0 – – – – – – – – – – – (5)

es exacta.

Problemas resueltos.

Problema 1. Resolver la siguiente ecuación diferencial

\displaystyle (3x^2y - xy)dx + (2x^3 y^2 + x^3 y^4)dy = 0

Solución. Factorizando algunos términos

\displaystyle (3x^2y - xy)dx + (2x^3 y^2 + x^3 y^4)dy = 0

\displaystyle y(3x^2 - x)dx + x^3(2 y^2 + y^4)dy = 0

\displaystyle (3x^2 - x) \ y \ dx + x^3 \ (2 y^2 + y^4) \ dy = 0

Comparando con la ecuación (2)

f_1(x) \cdot g_2 (y) dx + f_2 (x) \cdot g_1 (y) dy = 0

El factor integrante es

\displaystyle \frac{1}{f_2 (x) \cdot g_2 (y)} = \frac{1}{x^3 \cdot y}

Multiplicando el factor integrante en ambos miembros de la expresión anterior, resulta lo siguiente

\displaystyle \frac{1}{x^3 \cdot y} \left[(3x^2 - x) \ y \ dx + x^3 \ (2 y^2 + y^4) \ dy = 0 \right]

\displaystyle \frac{3x^2 - x}{x^3} dx + \frac{2 y^2 + y^4}{y} dy = 0

\displaystyle \left(\frac{3}{x} - \frac{1}{x^2} \right) dx + (2 y + y^3) dy = 0

Integrando todos los términos, se obtiene la primitiva

\displaystyle \int{\left(\frac{3}{x} - \frac{1}{x^2} \right) \ dx} + \int{(2 y + y^3) \ dy} = \int{0 \ dx}

\displaystyle 3 \int{\frac{1}{x} \ dx} - \int{\frac{1}{x^2} \ dx} + 2 \int{y \ dy} + \int{y^3 \ dy} = \int{0 \ dx}

\displaystyle \therefore 3 \ln{x} + \frac{1}{x} + y^2 + \frac{1}{4}y^4 = C

Problema 2. Resolver x^2(y+1) dx + y^2 (x-1) dy = 0.

Solución. Esta ecuación diferencial tiene la forma

f_1(x) \cdot g_2 (y) dx + f_2 (x) \cdot g_1 (y) dy = 0

Por lo que el factor integrante es

\displaystyle \frac{1}{f_2 (x) \ g_2 (y)} = \frac{1}{(x-1)(y+1)}

Multiplicando el factor integrante por toda la ecuación diferencial

\displaystyle \frac{1}{(x-1)(y+1)} [x^2(y+1) dx + y^2 (x-1) dy = 0]

\displaystyle \frac{1}{(x-1)(y+1)} x^2(y+1) \ dx + \frac{1}{(x-1)(y+1)} y^2 (x-1) \ dy = 0

\displaystyle \frac{x^2}{(x-1)} \ dx + \frac{y^2}{(y+1)} \ dy = 0

Aplicando la división en cada término (ya que el polinomio del numerador tiene un grado mayor que el denominador), resulta que

Continuando

\displaystyle \frac{x^2}{(x-1)} \ dx + \frac{y^2}{(y+1)} \ dy = 0

\displaystyle \left( x + 1 + \frac{1}{x-1} \right) \ dx + \left( y - 1 + \frac{1}{y+1} \right) \ dy = 0

Integrando en ambos miembros

\displaystyle \int{\left( x + 1 + \frac{1}{x-1} \right)} \ dx + \int{\left( y - 1 + \frac{1}{y+1} \right)} \ dy = \int{0 \ dx}

\displaystyle \int{x \ dx} + \int{dx} + \int{\frac{1}{x-1} \ dx} + \int{y \ dy} - \int{dy} + \int{\frac{1}{y+1} \ dy} = \int{0 \ dx}

\displaystyle \frac{1}{2} x^2 + x + \ln{(x-1)} + \frac{1}{2} y^2 - y + \ln{(y+1)} = C

Reduciendo los términos

\displaystyle 2 \left[\frac{1}{2} x^2 + x + \ln{(x-1)} + \frac{1}{2} y^2 - y + \ln{(y+1)} \right]= 2C

\displaystyle x^2 + 2x + 2\ln{(x-1)} + y^2 - 2y + 2\ln{(y+1)} = C

\displaystyle x^2 + 2x + (1)^2 + 2\ln{(x-1)} + y^2 - 2y + (-1)^2 + 2\ln{(y+1)} = C + (1)^2 + (-1)^2

\displaystyle (x+1)^2 + 2\ln{(x-1)} + (y-1)^2 + 2\ln{(y+1)} = C + 1 + 1

\displaystyle (x+1)^2 + (y-1)^2 + 2\ln{(x-1)} + 2\ln{(y+1)} = C + 2

\displaystyle (x+1)^2 + (y-1)^2 + \ln{(x-1)^2 (y+1)^2} = C

Problema 3. Resolver 4x \ dy - y \ dx = x^2 \ dy.

Solución. Realizando un acomodo en los términos

4x \ dy - y \ dx = x^2 \ dy

4x \ dy - y \ dx - x^2 \ dy = 0

- y \ dx + (4x - x^2) \ dy = 0

- y \ dx - (-4x + x^2) \ dy = 0

y \ dx + (-4x + x^2) \ dy = 0

y \ dx + (x^2 - 4x) \ dy = 0

Esta ecuación diferencial tiene la forma

f_1(x) \cdot g_2 (y) dx + f_2 (x) \cdot g_1 (y) dy = 0

Por lo que el factor integrante es

\displaystyle \frac{1}{f_2 (x) \ g_2 (y)} = \frac{1}{(x^2 - 4x) \cdot y}

Multiplicando el factor integrante por toda la ecuación diferencial

\displaystyle \frac{1}{(x^2 - 4x) \cdot y} [y \ dx + (x^2 - 4x) \ dy = 0]

\displaystyle \frac{1}{(x^2 - 4x) \cdot y} (y) \ dx + \frac{1}{(x^2 - 4x) \cdot y} (x^2 - 4x) \ dy = 0

\displaystyle \frac{1}{(x^2 - 4x)} \ dx + \frac{1}{y} \ dy = 0

\displaystyle \frac{1}{x(x - 4)} \ dx + \frac{1}{y} \ dy = 0

Del primer término, se reduce a fracciones parciales, por lo que es equivalente a

\displaystyle \frac{1}{x(x - 4)} = -\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x-4}

Entonces

\displaystyle \left( -\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x-4} \right) \ dx + \frac{1}{y} \ dy = 0

Integrando en ambos miembros

\displaystyle - \frac{1}{4} \int{\frac{1}{x} \ dx} + \frac{1}{4} \int{\frac{1}{x-4} \ dx} + \int{\frac{1}{y} \ dy} = \int{0 \ dx}

\displaystyle - \ln{x} + \ln{(x-4)} + 4 \ln{y} = 4 C

\displaystyle \ln{\frac{(x-4)}{x}} + \ln{y^4} = C

\displaystyle \ln{\frac{y^4 (x-4)}{x}} = C

\displaystyle \ln{\frac{y^4 (x-4)}{x}} = \ln{e^C}

\displaystyle \frac{y^4 (x-4)}{x} = e^C

\displaystyle \frac{y^4 (x-4)}{x} = C

\displaystyle \therefore y^4 (x-4) = Cx

Problema 4. Resolver \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{4y}{x(y-3)}

Solución. Realizando la separación de variables, se observa que

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{4y}{x(y-3)}

\displaystyle \frac{(y-3)}{y} \ dy = 4x \ dx

\displaystyle \left(1 - \frac{3}{y} \right) \ dy = 4x \ dx

Integrando en ambos miembros

\displaystyle \int{\left(1 - \frac{3}{y} \right) \ dy} = \int{4x \ dx}

\displaystyle \int{dy} - 3 \int{\frac{1}{y} \ dy} = 4 \int{x \ dx}

\displaystyle y - 3 \ln{y} = 2x^2 + C

\displaystyle \therefore y - \ln{y^3} = 2x^2 + C

Problema 5. Hallar la solución particular de (1+x^3) dy - x^2 y dx = 0 que satisfaga las condiciones iniciales x=1, y=2.

Solución. Realizando un acomodo en la ecuación diferencial

(1+x^3) dy + (- x^2) y dx = 0

(- x^2) \ y \ dx + (1+x^3) \ dy = 0

Se observa que esta ecuación diferencial tiene la forma

f_1(x) \cdot g_2 (y) dx + f_2 (x) \cdot g_1 (y) dy = 0

Por lo que el factor integrante es

\displaystyle \frac{1}{f_2 (x) \ g_2 (y)} = \frac{1}{(1+x^3)(y)} = \frac{1}{y(1+x^3)}

Multiplicando el factor integrante por toda la ecuación diferencial

\displaystyle \frac{1}{y(1+x^3)}[(-x^2) \ y \ dx + (1+x^3) \ dy = 0]

\displaystyle \frac{-x^2 y}{y(1+x^3)} dx + \frac{(1+x^3)}{y(1+x^3)} dy = 0

\displaystyle \frac{-x^2}{(1+x^3)} dx + \frac{1}{y} dy = 0

Integrando en ambos miembros y cada término

\displaystyle \int{\frac{-x^2}{(1+x^3)} \ dx} + \int{\frac{1}{y} \ dy} = \int{0 \ dx}

\displaystyle -\frac{1}{3} \ln{(1+x^3)} + \ln{y} = C

\displaystyle \ln{(1+x^3)^{-1/3}} + \ln{y} = C

\displaystyle \ln{y (1+x^3)^{-1/3}} = C

\displaystyle \ln{y (1+x^3)^{-1/3}} = \ln{e^C}

y(1+x^3)^{-1/3} = e^{C}

\displaystyle \frac{y}{(1+x^3)^{1/3}} = C

y = C(1+x^3)^{1/3}

Este es resultado de la primitiva y donde C es la constante de integración.

Si x=1 y y=2, el valor de C es

2 = C(1+1^3)^{1/3}

2 = C \ (2)^{1/3}

\displaystyle \frac{2}{2^{1/3}} = C

Por último, sustituyendo el valor de C en la primitiva, la ecuación particular solicitada es

\displaystyle \therefore y = \frac{2}{2^{1/3}} \ (1+x^3)^{1/3}

O también

\therefore y^3 = 4(1+x^3)

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