ecuaciones diferenciales

Existencia y unicidad de soluciones. Ecuaciones diferenciales

En general, la solución general de una ecuación diferencial es una familia de funciones. Además, puede presentarse como un problema de valores iniciales o como un problema con condiciones de contorno. Ante un problema para ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, se plantean dos preguntas:

  1. ¿Existirá alguna solución del problema?
  2. ¿Existirá alguna región del plano donde para cada (x_0, y_0) sea posible encontrar una y sólo una curva integral de la ecuación que pasa por él?

Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones de primer orden

Teorema de Picard. Dada la ecuación y'=f(x,y), si f(x,y) y \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} son continuas en un rectángulo D del plano, por cada (x_0, y_0) de él pasará una única curva integral de la ecuación. Los indicados son

\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x,y)

y(x_0)=y_0

Notas

  1. Se observa que las condiciones dadas son suficientes; pero no necesarias, es decir, en el caso en que no se verifique alguna de las condiciones establecidas en el teorema, no se podrá conocer si existe una solución única o no al problema planteado. Puede ocurrir cualquier cosa.
  2. El teorema hace referencia a una solución local de la ecuación en un punto determinado, no a una solución general.
  3. El teorema de Pircard es válido para toda ecuación y sistema de ecuaciones ordinarios.

Problemas resueltos

Ejemplo 1. y'=xy+e^{-y}

Solución.

Recordando que \displaystyle \frac{dy}{dx} = y' = f(x,y), se observa que

f(x,y)=xy+e^{-y}

Analizando la función f(x,y),es continua para todo valor (x,y).

Derivando f(x,y) partialmente con respecto a y resulta

\displaystyle \frac{\partial}{\partial y} [f(x,y)] = \frac{\partial}{\partial y} [xy+e^{-y}]

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} [xy] + \frac{\partial}{\partial y} [e^{-y}]

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = x - e^{-y}

Para este último resultado es continua para todo valor (x,y).

Se concluye que sea cual sea el punto del plano, existe una y sólo una curva que pasando por él sea solución de esta ecuación.

Ejemplo 2. y' = y^{1/3}.

Solución.

Sabiendo que \displaystyle \frac{dy}{dx} = y' = f(x,y), se observa que

f(x,y)=y^{1/3}

Analizando la función f(x,y),es continua para todo valor (x,y).

Derivando f(x,y) partialmente con respecto a y resulta

\displaystyle \frac{\partial}{\partial y} [f(x,y)] = \frac{\partial}{\partial y} [y^{1/3}]

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{3} e^{-2/3}

Para este último resultado no es continua para todo punto (x,0), ya que en ellos no existe la función derivada parcial; puede ocurrir cualquier cosa. Por tanto, para todo punto (x,y) donde y\ne 0 existe una única cura que, pasando por él, es solución de la ecuación dada.

Deja una respuesta

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Salir /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Salir /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Salir /  Cambiar )

Conectando a %s

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.