Existencia y unicidad de soluciones. Ecuaciones diferenciales

En general, la solución general de una ecuación diferencial es una familia de funciones. Además, puede presentarse como un problema de valores iniciales o como un problema con condiciones de contorno. Ante un problema para ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, se plantean dos preguntas:

¿Existirá alguna solución del problema?
¿Existirá alguna región del plano donde para cada $(x_0, y_0)$ sea posible encontrar una y sólo una curva integral de la ecuación que pasa por él?

Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones de primer orden

Teorema de Picard. Dada la ecuación $y'=f(x,y)$ , si $f(x,y)$ y $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}$ son continuas en un rectángulo $D$ del plano, por cada $(x_0, y_0)$ de él pasará una única curva integral de la ecuación. Los indicados son

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x,y)$

$y(x_0)=y_0$

Notas

Se observa que las condiciones dadas son suficientes; pero no necesarias, es decir, en el caso en que no se verifique alguna de las condiciones establecidas en el teorema, no se podrá conocer si existe una solución única o no al problema planteado. Puede ocurrir cualquier cosa.
El teorema hace referencia a una solución local de la ecuación en un punto determinado, no a una solución general.
El teorema de Pircard es válido para toda ecuación y sistema de ecuaciones ordinarios.

Problemas resueltos

Ejemplo 1. $y'=xy+e^{-y}$

Solución.

Recordando que $\displaystyle \frac{dy}{dx} = y' = f(x,y)$ , se observa que

$f(x,y)=xy+e^{-y}$

Analizando la función $f(x,y)$ ,es continua para todo valor $(x,y)$ .

Derivando $f(x,y)$ partialmente con respecto a $y$ resulta

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y} [f(x,y)] = \frac{\partial}{\partial y} [xy+e^{-y}]$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} [xy] + \frac{\partial}{\partial y} [e^{-y}]$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = x - e^{-y}$

Para este último resultado es continua para todo valor $(x,y)$ .

Se concluye que sea cual sea el punto del plano, existe una y sólo una curva que pasando por él sea solución de esta ecuación.

Ejemplo 2. $y' = y^{1/3}$ .

Solución.

Sabiendo que $\displaystyle \frac{dy}{dx} = y' = f(x,y)$ , se observa que

$f(x,y)=y^{1/3}$

Analizando la función $f(x,y)$ ,es continua para todo valor $(x,y)$ .

Derivando $f(x,y)$ partialmente con respecto a $y$ resulta

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y} [f(x,y)] = \frac{\partial}{\partial y} [y^{1/3}]$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{3} e^{-2/3}$

Para este último resultado no es continua para todo punto $(x,0)$ , ya que en ellos no existe la función derivada parcial; puede ocurrir cualquier cosa. Por tanto, para todo punto $(x,y)$ donde $y\ne 0$ existe una única cura que, pasando por él, es solución de la ecuación dada.