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Circuitos magnéticos. Problema 6. Máquinas eléctricas.

Problema 6.

En la figura 1.1.12 se muestra un núcleo con tres columnas. Su profundidad es de 5 (cm) y tiene 400 vueltas en la columna central. Las demás dimensiones se aprecian en la figura. El núcleo es de acero con una curva de magetización indicada en la figura 1.1.13. Responda las siguientes preguntas:

a) ¿Qué corriente se requiere para producir una densidad de flujo de 0.5 (T) en la columna central del núcleo?

b) ¿Qué corriente se requiere para producir una densidad de flujo de 0.1 (T) en la columna central del núcleo? ¿Es el doble de la corriente requerida en el inciso a?

c) ¿Cuáles son las reluctancias de las columnas central y derecha del núcleo en las condiciones del inciso a)?

d) ¿Cuáles son las reluctancias de las columnas central y derecha del núcleo en las condiciones del inciso b)?

e) ¿Qué conclusión puede obtenerse acerca de las reluctancias en los núleos reales magnéticos?

Solución a).

Se empieza por calcular el área de la sección transversal.

A = (0.05 \ m)(0.05 \ m)

A = 0.0025 \ m^2

Después, se determina el valor del flujo magnético.

\phi = B \ A

\phi = (0.5 \ T)(0.0025 \ m^2)

\phi = 0.00125 \ Wb

El valor de este flujo magnético pertenece al lado de la columna central, por lo que el valor de flujo para la columna derecha es la mitad del valor total de la columna central.

\displaystyle \phi_{der} = \frac{\phi}{2} = \frac{0.00125 \ Wb}{2}

\phi_{der} = 0.000625 \ Wb

El mismo procedimiento se aplicada para determinar el valor del flujo de la columna izquierda.

\displaystyle \phi_{izq} = \frac{\phi}{2} = \frac{0.00125 \ Wb}{2}

\phi_{izq} = 0.000625 \ Wb

Ahora se determina el valor de la densidad de flujo de la columna derecha.

\phi_{der} = B_{der} \ A_{izq}

\displaystyle B_{der} = \frac{\phi_{der}}{A_{izq}}

\displaystyle B_{der} = \frac{0.000625 \ Wb}{(0.05 \ m)(0.05 \ m)}

\displaystyle B_{der} = 0.250 \ T

El mismo valor será para la densidad de flujo de la columna izquierda.

\phi_{izq} = B_{izq} \ A_{izq}

\displaystyle B_{izq} = \frac{\phi_{izq}}{A_{izq}}

\displaystyle B_{izq} = \frac{0.000625 \ Wb}{(0.05 \ m)(0.05 \ m)}

\displaystyle B_{izq} = 0.250 \ T

Tomando tanto el valor de la densidad de flujo de la columna izquierda como el de la derecha, se analizará por medio de la curva de magnetización, el valor de la intensidad magnética.

Por tanto, el valor de la intensidad magnética de la columna izquierda y derecha es

H_{izq} = 50 \ (A \cdot espiras / m)

H_{der} = 50 \ (A \cdot espiras / m)

Tomando el valor de la densidad de flujo de la columna central, se puede determinar el valor de la intensidad magnética utilizando nuevamente la curva de magnetización de la figura 1.1.13.

Entonces, el valor de intensidad magnética de la columna central es

H_{central} = 70 \ (A \cdot espiras /m)

La longitud de la columna central es

l_{central} = 2.5 + 16 + 2.5

l_{central} = 21 \ cm = 0.21 \ m

La longitud de la parte exterior (ya sea tomando la longitud de la columna derecha o izquierda)

l_{exterior} = 2.5 + 16 + 2.5 + 2.5 + 16 + 2.5 + 2.5 + 16 + 2.5

l_{exterior} = 63 \ cm = 0.63 \ m

Calculando la fuerza magnetomotriz

\mathcal{F} = H_{central} \ l_{central} + H_{exterior} \ l_{exterior}

\mathcal{F} = (70 \ A \cdot espiras / m)(0.21 \ m) + (50 \ A \cdot espiras / m)(0.63 \ m)

\mathcal{F} = 46.2 \ A \cdot espiras

Calculando la corriente requerida para producir la cantidad de flujo correspondiente a la columna central del núcleo

\mathcal{F} = N \ i

\displaystyle i = \frac{\mathcal{F}}{N}

\displaystyle i = \frac{46.2 \ (A \cdot espiras)}{400 \ espiras}

i = 0.12 \ A

Por tanto,la corriente requerida es de 0.12 A.

Solución b)

El área de la sección transversal es el mismo.

A = (0.05 \ m)(0.05 \ m)

A = 0.0025 \ m^2

Calculando el flujo de la columna central

\phi = B \ A

\phi = (1 \ T)(0.0025 \ m^2)

\phi = 0.0025 \ T

El flujo de la columna izquierda será la mitad del valor total del flujo de la columna central.

\displaystyle \phi_{izq} = \frac{\phi}{2}

\displaystyle \phi_{izq} = \frac{0.0025 \ T}{2}

\phi_{izq} = 0.00125 \ Wb

El flujo de la columna izquierda será la mitad del valor total del flujo de la columna central.

\displaystyle \phi_{der} = \frac{\phi}{2}

\displaystyle \phi_{der} = \frac{0.0025 \ T}{2}

\phi_{der} = 0.00125 \ Wb

La densidad de flujo en la columna izquierda es

\phi_{izq} = B_{izq} \ A_{izq}

\displaystyle B_{izq} = \frac{\phi_{izq}}{A_{izq}}

\displaystyle B_{izq} = \frac{0.00125 \ Wb}{(0.05 \ m)(0.05 \ m)}

B_{izq} = 0.5 \ T

La densidad de flujo en la columna derecha es

\phi_{der} = B_{der} \ A_{der}

\displaystyle B_{der} = \frac{\phi_{der}}{A_{der}}

\displaystyle B_{der} = \frac{0.00125 \ Wb}{(0.05 \ m)(0.05 \ m)}

B_{der} = 0.5 \ T

Tomando el valor de la densidad de flujo de la columna izquierda o derecha y utilizando la curva de magnetización, se determina el valor de la intensidad magnética.

Por tanto, la intensidad magnética para un flujo magnético de 0.50 T es

H = 70 \ (A \cdot espiras / m)

Tomando el valor de la densidad de flujo de la columna central y utilizando la curva de magnetización, se determina el valor de la intensidad magnética.

Por tanto, la intensidad magnética para un flujo magnético de 1 T es

H = 160 \ (A \cdot espiras / m)

Se recuerda que la longitud de la columna central es

l_{central} = 0.21 \ m

Y la longitud exterior (tomando la longitud de la columna izquierda o derecha) es

l_{exterior} = 0.63 \ m

La fuerza magnetomotriz es

\mathcal{F} = H_{central} \ l_{central} + H_{exterior} \ l_{exterior}

\mathcal{F} = (160 \ A \cdot espiras / m)(0.21 \ m) + (70 \ A \cdot espiras / m)(0.63 \ m)

\mathcal{F} = 77.7 \ (A \cdot espiras)

La corriente requerida es

\mathcal{F} = N \ i

\displaystyle i = \frac{\mathcal{F}}{N}

\displaystyle i = \frac{77.7 \ (A \cdot espiras)}{400 \ espiras}

i = 0.19 \ A

Por tanto, la corriente requerida es de 0.19 A para producir una densidad de flujo de 1.0 T.

Solución c)

Determinando la fuerza magnetomotriz central

\mathcal{F}_{central} = H_{central} \ l_{central}

\mathcal{F}_{central} = (70 \ A \cdot espiras / m)(0.21 \ m)

\mathcal{F}_{central} = 14.7 \ (A \cdot espiras)

La reluctancia central esperada es

\mathcal{F}_{central} = \phi_{central} \ \mathcal{R}_{central}

\displaystyle \mathcal{R}_{central} = \frac{\mathcal{F}_{central}}{\phi_{central}}

\displaystyle \mathcal{R}_{central} = \frac{14.7 \ (A \cdot espiras)}{0.00125 \ Wb}

\mathbf{\therefore \mathcal{R}_{central} = 11, 760 \ (A \cdot espiras / Wb)}

Determinando la fuerza magnetomotriz derecha

\mathcal{F}_{der} = H_{der} \ l_{der}

\mathcal{F}_{der} = (50 \ A \cdot espiras / m)(0.63 \ m)

\mathcal{F}_{der} = 31.5 \ (A \cdot espiras)

La reluctancia derecha esperada es

\mathcal{F}_{der} = \phi_{der} \ \mathcal{R}_{der}

\displaystyle \mathcal{R}_{der} = \frac{\mathcal{F}_{der}}{\phi_{der}}

\displaystyle \mathcal{R}_{der} = \frac{31.5 \ (A \cdot espiras)}{0.000625 \ Wb}

\mathbf{\therefore \mathcal{R}_{der} = 50, 400 \ (A \cdot espiras / Wb)}

Solución d)

Determinando la fuerza magnetomotriz central

\mathcal{F}_{central} = H_{central} \ l_{central}

\mathcal{F}_{central} = (160 \ A \cdot espiras / m)(0.21 \ m)

\mathcal{F}_{central} = 33.6 \ (A \cdot espiras)

La reluctancia central esperada es

\mathcal{F}_{central} = \phi_{central} \ \mathcal{R}_{central}

\displaystyle \mathcal{R}_{central} = \frac{\mathcal{F}_{central}}{\phi_{central}}

\displaystyle \mathcal{R}_{central} = \frac{33.6 \ (A \cdot espiras)}{0.0025 \ Wb}

\mathbf{\therefore \mathcal{R}_{central} = 13, 440 \ (A \cdot espiras / Wb)}

Determinando la fuerza magnetomotriz derecha

\mathcal{F}_{der} = H_{der} \ l_{der}

\mathcal{F}_{der} = (70 \ A \cdot espiras / m)(0.63 \ m)

\mathcal{F}_{der} = 44.1 \ (A \cdot espiras)

La reluctancia derecha esperada es

\mathcal{F}_{der} = \phi_{der} \ \mathcal{R}_{der}

\displaystyle \mathcal{R}_{der} = \frac{\mathcal{F}_{der}}{\phi_{der}}

\displaystyle \mathcal{R}_{der} = \frac{44.1 \ (A \cdot espiras)}{0.00125 \ Wb}

\mathbf{\therefore \mathcal{R}_{der} = 35,280 \ (A \cdot espiras / Wb)}

Solución e)

Las reluctancias en los núcleos reales magnéticos no son constantes.

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