Circuitos magnéticos. Problema 4. Máquinas eléctricas.

Problema 4. La figura 1.1.4 muestra un núcleo con tres columnas. Su profundidad es de 5 cm, y hay una bobina de 100 vueltas en la columna del extremo izquierdo. Suponga que la permeabilidad relativa del núcleo es 2000 y constante. ¿Cuánto flujo existirá en cada una de las tres columnas del núcleo? ¿Cuál es la densidad del flujo en cada una de ellas? Se considera un incremento del 5% por efecto marginal en el área efectiva de cada entrehierro.

Figura 1.1.4 Núcleo ferromagnético de tres columnas.

Solución. Se tienen los siguientes valores extraídos por el problema $N = 100$ espiras, $\mu_r = 2000$ y $i = 2 \ A$ . Después, se calculan las longitudes de cada columna.

Longitud de la columna izquierda

$l_1 = 7.5 + 25+4.5+4.5+25+4.5+4.5+25+7.5$

$l_1 = 108 \ cm = 1.08 \ m$

Longitud de la columna derecha

$l_2 = 7.5 + 25+4.5+4.5+25+4.5+4.5+25+7.5$

$l_2 = 108 \ cm = 1.08 \ m$

Longitud de la columna central

$l_3 = 4.5+25+4.5$

$l_3 = 34 \ cm = 0.34 \ m$

Longitud del entrehierro de la columna central

$l_4 = 0.05 \ cm = 0.0005 \ m$

Luego, se determinan las secciones transversales en cada parte del núcleo.

Sección transversal de la columna izquierda

$\displaystyle A_1 = (0.09 \ m)(0.05 \ m)$

$A_1 = 0.0045 \ m^2$

Sección transversal de la columna derecha

$\displaystyle A_2 = (0.09 \ m)(0.05 \ m)$

$A_2 = 0.0045 \ m^2$

Sección transversal de la columna central

$\displaystyle A_3 = (0.15 \ m)(0.05 \ m)$

$A_3 = 0.0075 \ m^2$

Sección transversal del entrehierro de la columna central

$A_4 = (0.15 \ m)(0.05 \ m)(1.05)$

$A_4 = 7.875 \times 10^{-3} \ m^2$

Ahora se calculan las reluctancias correspondientes.

Reluctancia de la columna izquierda

$\displaystyle \mathcal{R}_1 = \frac{l_1}{\mu \ A_1}$

$\displaystyle \mathcal{R}_1 = \frac{l_1}{\mu_r \mu_0 \ A_1} = \frac{1.08 \ m}{(2000)(4\pi \ 10^{-7} \ H/m)(0.0045 \ m^2)}$

$\displaystyle \mathcal{R}_1 = 95,492.74 \ (A \cdot espiras / Wb) = 95.49 \ (kA \cdot espiras / Wb)$

Reluctancia de la columna derecha

$\displaystyle \mathcal{R}_2 = \frac{l_2}{\mu \ A_2}$

$\displaystyle \mathcal{R}_2 = \frac{l_2}{\mu_r \mu_0 \ A_2} = \frac{1.08 \ m}{(2000)(4\pi \ 10^{-7} \ H/m)(0.0045 \ m^2)}$

$\displaystyle \mathcal{R}_1 = 95,492.74 \ (A \cdot espiras / Wb) = 95.49 \ (kA \cdot espiras / Wb)$

Reluctancia de la columna central

$\displaystyle \mathcal{R}_3 = \frac{l_3}{\mu \ A_3}$

$\displaystyle \mathcal{R}_3 = \frac{l_3}{\mu_r \mu_0 \ A_3} = \frac{0.34 \ m}{(2000)(4\pi \ 10^{-7} \ H/m)(0.0075 \ m^2)}$

$\displaystyle \mathcal{R}_3 = 18,037.52 \ (A \cdot espiras / Wb) = 18.04 \ (kA \cdot espiras / Wb)$

Reluctancia del entrehierro de la columna central

$\displaystyle \mathcal{R}_4 = \frac{l_4}{\mu_0 \ A_4}$

$\displaystyle \mathcal{R}_4= \frac{0.0005 \ m}{(4\pi \ 10^{-7} \ H/m)(7.875 \times 10^{-3} \ m^2)}$

$\displaystyle \mathcal{R}_4 = 50,525.26 \ (A \cdot espiras / Wb) = 50.53 \ (kA \cdot espiras / Wb)$

Para determinar la reluctancia total, se observa que al momento de determinar las longitudes de cada parte del núcleo (incluyendo el entrehierro), se asignó al mismo tiempo la reluctancia. Entonces, relacionando el núcleo y sus reluctancias con un circuito eléctrico sencillo, se tiene lo siguiente (figura 1.1.5)

Figura 1.1.5 Circuito eléctrico similar al circuito magnético para calcular reluctancias y flujos.

Así que, por análisis de circuitos (método de reducción de resistencias), la reluctancia total es

$\displaystyle \mathcal{R} = \mathcal{R}_1 + \frac{1}{\frac{1}{\mathcal{R}_3 + \mathcal{R}_4} + \frac{1}{\mathcal{R}_2}}$

$\displaystyle \mathcal{R} = \mathcal{R}_1 + \frac{\mathcal{R}_2(\mathcal{R}_3 + \mathcal{R}_4)}{\mathcal{R}_2 + \mathcal{R}_3 + \mathcal{R}_4}$

$\displaystyle \mathcal{R} = 95.49 + \frac{(95.49)(18.04 + 50.53)}{95.49+18.04+50.53} \ (kA \cdot espiras /Wb)$

$\displaystyle \mathcal{R} = 95.49 + 39.91 \ (kA \cdot espiras / Wb)$

$\displaystyle \mathcal{R} = 135.4 \ (kA \cdot espiras / Wb)$

Para saber la cantidad de flujo en cada columna del núcleo, primero se determina el primero (columna izquierda). Para la columna izquierda, primero se calcula la fuerza magnetomotriz

$\mathcal{F} = N \ i$

$\displaystyle \mathcal{F} = (100 \ espiras) (2 \ A)$

$\displaystyle \mathcal{F} = 200 \ (A \cdot espiras)$

Y por último, se calcula el flujo que existe en la columna izquierda del núcleo ferromagnético.

$\mathcal{F} = \phi_{izq} \ \mathcal{R}$

$\displaystyle \phi_{izq} = \frac{\mathcal{F}}{\mathcal{R}}$

$\displaystyle \phi_{izq} = \frac{200 (A \cdot espiras)}{135.4 \ (kA \cdot espiras / Wb)}$

$\bf{\therefore \phi_{izq} = 1.48 \times 10^{-3} Wb = 1.48 \ mWb}$

Para determinar el flujo de la columna central del núcleo, se utilizará el divisor de flujo (análogo al divisor de corriente). Entonces,

$\displaystyle \phi_{central} = \left( \frac{\mathcal{R}_2}{\mathcal{R}_2 + \mathcal{R}_3 + \mathcal{R}_4} \right) \phi_{izq}$

$\displaystyle \phi_{central} = \left( \frac{95.49 \times 10^3}{95.49 \times 10^3 + 18.04 \times 10^3 + 50.53 \times 10\times 10^3} \right) (1.48 \times 10^{-3}$

$\bf{ \therefore \phi_{central} = 0.86 \times 10^{-3} Wb = 0.86 m Wb}$

Para determinar el flujo de la columna derecha del núcleo, se utilizará una vez más el divisor de flujo (análogo al divisor de corriente). Entonces,

$\displaystyle \phi_{der} = \left( \frac{\mathcal{R}_3 + \mathcal{R}_4}{\mathcal{R}_2 + \mathcal{R}_3 + \mathcal{R}_4} \right) \phi_{izq}$

$\displaystyle \phi_{der} = \left( \frac{18.04 \times 10^3 + 50.53 \times 10\times 10^3}{95.49 \times 10^3 + 18.04 \times 10^3 + 50.53 \times 10\times 10^3} \right) (1.48 \times 10^{-3}$

$\therefore \bf{\phi_{der} = 0.62 \times 10^{-3} Wb= 0.62 m Wb}$

Para finalizar, se calcularán las de flujo de cada columna del núcleo.

Densidad de flujo de la columna izquierda.

$\phi_{izq} = B_{izq} \ A_1$

$\displaystyle B_{izq} = \frac{\phi_{izq}}{A_1}$

$\displaystyle B_{izq} = \frac{1.48 \ mWb}{0.0045 \ m^2} = \frac{1.48 \ mWb}{0.0045 \ m^2}$

$\therefore \bf{B_{izq} = 0.33 \ T}$

Densidad de flujo de la columna central.

$\phi_{central} = B_{central} \ A_3$

$\displaystyle B_{central} = \frac{\phi_{central}}{A_3}$

$\displaystyle B_{central} = \frac{0.86 \ mWb}{0.0075 \ m^2} = \frac{0.86 \ mWb}{0.0075 \ m^2}$

$\therefore \bf{B_{central} = 0.11 \ T}$

Densidad de flujo de la columna derecha.

$\phi_{der} = B_{der} \ A_1$

$\displaystyle B_{der} = \frac{\phi_{der}}{A_1}$

$\displaystyle B_{der} = \frac{0.62 \ mWb}{0.0045 \ m^2} = \frac{0.62 \ mWb}{0.0045 \ m^2}$

$\therefore \bf{B_{der} = 0.14 \ T}$

Y hasta aquí se resolvió el problema.

8 comentarios en “Circuitos magnéticos. Problema 4. Máquinas eléctricas.”

fransico carmona dice:

7 abril, 2019 a las 4:29 pm

en el ejercicio falto poner el dato de los 2A ? o se calcula de alguna forma?

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1. Cesar Augusto dice:
  
  7 abril, 2019 a las 4:42 pm
  
  Buenas tardes. Ya menciona la imagen del problema la cantidad de corriente
  
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jorge dice:

27 octubre, 2020 a las 7:12 pm

muy bien explicado , podría hacer algún análisis del ejercicio ?

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1. Cesar Augusto dice:
  
  28 octubre, 2020 a las 8:06 am
  
  Hola. ¿Qué tipo de análisis esperas en este post?
  
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Juan Ulloa dice:

5 diciembre, 2020 a las 4:20 pm

Buenas tardes, de donde sale el 1.05 que se multiplica al calcular el área transversal del entrehierro?

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1. Cesar Augusto dice:
  
  9 diciembre, 2020 a las 7:52 pm
  
  Eso se debe a que el entrehierro tiene un incremento del 5% de su área efectiva por efecto marginal, es por eso que hay una multiplicación del 1.05…
  
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Edward Santiago Rodriguez Rodriguez dice:

5 marzo, 2021 a las 3:14 pm

Como calculas ese 1.05 del área efectiva por efecto marginal , gracias

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Carmen Ramirez dice:

3 julio, 2021 a las 7:32 pm

El largo medio 3 , no debe considerar la longitud del entrehierro, sin embargo la consideras, ¿cual fue tu criterio para considerarlo?. Por la regla de la mano derecha y la forma de enrrollar el nucleo, el sentido del flugo magnetico deberia tener sentido contrario.

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