máquinas eléctricas

Circuitos magnéticos. Problema 1. Máquinas eléctricas.

Problema. En la figura 1.1.2, se muestra un núcleo ferromagnético. La profundidad del núcleo es de 5 cm. Las demás dimensiones del núcleo se pueden ver en esa figura. Encuentre el valor de la corriente producida por un flujo de 0.005 Wb. Con esta corriente, ¿cuál es la densidad en la parte superior del núcleo? ¿Cuál es la densidad de flujo en la parte derecha del núcleo? Suponga que la permeabilidad relativa del núcleo es de 800.

Figura P2. Núcleo ferromagnético del problema 2..jpg
Figura 1.1.2. Núcleo ferromagnético del problema 2.

Solución. Analizando los datos que brinda el problema, la profundidad del núcleo es de 5 cm y el flujo es de 0.005 Wb. Observando el núcleo ferromagnético, se tienen las siguientes longitudes:

En la parte superior del núcleo

l_1 = 5 + 20 + 2.5 = 27.5 cm

l_1 = 0.275 m

En la parte inferior del núcleo

l_2 = 5 + 20 + 2.5 = 27.5 cm

l_2 = 0.275 m

En la parte derecha del núcleo

l_3 = 7.5 + 15 + 7.5 = 30 cm

l_3 = 0.30 m

En la parte izquierda del núcleo

l_3 = 7.5 + 15 + 7.5 = 30 cm

l_3 = 0.30 m

Cada longitud pertenece a una parte del núcleo ferromagnético, por lo que cada parte va a representar una reluctancia. Entonces, el cálculo de las reluctancias para cada longitud es la siguiente:

Parte superior del núcleo

\displaystyle \mathcal{R}_1 = \frac{l_1}{\mu A_1} = \frac{l_1}{\mu_r \mu_0 A_1}

\displaystyle \mathcal{R}_1 = \frac{0.275 m}{(800) (4\pi \times 10^{-7} \ H/m) (0.15 \ m) (0.05 \ m)} = 36,472.92 (A \cdot vuelta / Wb)

\mathcal{R}_1 = 36.47 (kA \cdot vuelta / Wb)

Parte inferior del núcleo

\displaystyle \mathcal{R}_2 = \frac{l_2}{\mu A_2} = \frac{l_2}{\mu_r \mu_0 A_2}

\displaystyle \mathcal{R}_2 = \frac{0.275 m}{(800) (4\pi \times 10^{-7} \ H/m) (0.15 \ m) (0.05 \ m)} = 36,472.92 (A \cdot vuelta / Wb)

\mathcal{R}_2 = 36.47 (kA \cdot vuelta / Wb)

Parte derecha del núcleo

\displaystyle \mathcal{R}_3 = \frac{l_3}{\mu A_3} = \frac{l_3}{\mu_r \mu_0 A_3}

\displaystyle \mathcal{R}_3 = \frac{0.30 m}{(800) (4\pi \times 10^{-7} \ H/m) (0.05 \ m) (0.05 \ m)} = 119365.93 (A \cdot vuelta / Wb)

\mathcal{R}_3 = 119.37 (kA \cdot vuelta / Wb)

Parte izquierda del núcleo

\displaystyle \mathcal{R}_4 = \frac{l_4}{\mu A_4} = \frac{l_4}{\mu_r \mu_0 A_4}

\displaystyle \mathcal{R}_4 = \frac{0.30 m}{(800) (4\pi \times 10^{-7} \ H/m) (0.10 \ m) (0.05 \ m)} = 59,682.96 (A \cdot vuelta / Wb)

\mathcal{R}_4 = 59.68 (kA \cdot vuelta / Wb)

Comparando el análisis del núcleo ferromagnético con un circuito eléctrico, se puede determinar la reluctancia total como una suma en serie de todas las reluctancias calculadas. Es decir

\mathcal{R}_T = \mathcal{R}_1 + \mathcal{R}_2 + \mathcal{R}_3 + \mathcal{R}_4

\mathcal{R}_T = 36.47 + 36.47 + 119.37 + 59.68

\mathcal{R}_T = 251.99 (kA \cdot vuelta / Wb)

La fuerza magnetomotriz es

\mathcal{F} = \phi \ \mathcal{R}

= (0.005 \ Wb)(251.99 \ kA \cdot vuelta / Wb)

\mathcal{F} = 1259.95 \ (A \cdot vuelta)

Del enunciado, la corriente producida por el flujo dado es

\mathcal{F} = N \ i

\displaystyle i = \frac{\mathcal{F}}{N}

\displaystyle i = \frac{1259.95 \ A \cdot vuelta}{500 \ vueltas}

\therefore i = 2.52 \ A

La densidad en la parte superior del núcleo es

\phi_1 = B_1 \ A_1

\displaystyle B_1 = \frac{\phi_1}{A_1}

\displaystyle B_1 = \frac{0.005 \ Wb}{(0.15 \ m)(0.05 \ m)}

\displaystyle \therefore B_1 = 0.67 \ (T)

Y la densidad en la parte derecha del núcleo es

\phi_3 = B_3 \ A_3

\displaystyle B_3 = \frac{\phi_3}{A_3}

\displaystyle B_3 = \frac{0.005 \ Wb}{(0.05 \ m)(0.05 \ m)}

\displaystyle \therefore B_3 = 2 \ (T)

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