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Transmisión sin distorsión. Fourier.

Para que un sistema de transmisión no introduzca distorsión en las señales, se requiere que la forma de onda de la respuesta sea réplica exacta de la forma de onda de la entrada, aunque la amplitud de la respuesta pueda diferir de la amplitud de la entrada.

Suponiendo que la función H(j\omega) de un sistema lineal, está dada por

H(j\omega) = K \ e^{-j\omega t_0}

donde K y t_0 son constantes positivas. Para hallar la respuesta del sistema, f_o (t), a la excitación, f_i (t), se lleva a cabo el siguiente procedimiento.

Sea

\displaystyle \mathcal{F}[f_i (t)] = F_i (j \omega)

Y

\displaystyle \mathcal{F}[f_o (t)] = F_o (j \omega)

Después, se tiene que F_i(j \omega) y F_o (j\omega) están relacionadas por

\displaystyle F_o (j\omega) = F_i (j\omega) \ H(j\omega)

\displaystyle F_o (j\omega) = F_i (j\omega) \cdot K \ e^{-j\omega t_0}

\displaystyle F_o (j\omega) = K \ F_i (j \omega) \ e^{-j \omega t_0}

Aplicando la transformada inversa de Fourier, resulta

\displaystyle F_o (j\omega) = K \ F_i (j \omega) \ e^{-j \omega t_0}

\displaystyle \mathcal{F}^{-1}[F_o (j\omega)] = \mathcal{F}^{-1}[K \ F_i (j \omega) \ e^{-j \omega t_0}]

\displaystyle \mathcal{F}^{-1}[F_o (j\omega)] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[K \ F_i (j \omega) \ e^{-j \omega t_0}] \ e^{j \omega t} \, d\omega}

\displaystyle \mathcal{F}^{-1}[F_o (j\omega)] = \frac{K}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{F_i (j \omega) \ e^{-j \omega t_0 + j \omega t} \, d\omega}

\displaystyle \mathcal{F}^{-1}[F_o (j\omega)] = \frac{K}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{F_i (j \omega) \ e^{j \omega (t - t_0)} \, d\omega}

En razón de que

\displaystyle f_i (t) = \mathcal{F}^{-1}[Fi (j\omega)] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{F_i (j\omega) \ e^{j \omega t} \, d\omega}

Por lo que, f_o (t) se puede expresar como

\displaystyle f_o (t) = \frac{K}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{F_i (j \omega) \ e^{j \omega (t - t_0)} \, d\omega}

\displaystyle f_o (t) = K \left[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{F_i (j \omega) \ e^{j \omega (t - t_0)} \, d\omega} \right]

\displaystyle \therefore f_o (t) = K \ f_i (t-t_0)

– – – (1)

La ecuación (1) muestra que la respuesta es una réplica retardada de la función de entrada, con la magnitud de la respuesta alterada por el factor constante K, lo cual se ilustra en la figura 1.

Figura 6.9.1 Función de entrada y su réplica retardada.
Figura 1. Función de entrada y su réplica retardada.

En general, se tiene

\displaystyle H(j \omega) = |H(j\omega)| \ e^{j \theta (\omega)},

donde |H(j\omega)| se conoce como la amplitud de la respuesta del sistema, y \theta (\omega) como la fase de la respuesta. De la ecuación (1) se concluye que la función del sistema que conduce a una transmisión sin distorsión, tiene una amplitud constante y una fase lineal, es decir,

|H(j\omega)| = K_1, una constante (independiente de \omega),

– – – (2)

\theta(\omega) = \omega K_2, una función lineal de \omega,

– – – (3)

donde K_1 y K_2 son constantes arbitrarias.

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar h(t), la respuesta al impulso unitario de un sistema de transmisión sin distorsión.

Solución. Partiendo de la definición de la función de un sistema, se tiene que

\displaystyle h(t) = \mathcal{F}^{-1}[H(j\omega)] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{H(j\omega) e^{j \omega t} \, d\omega}

Realizando la siguiente sustitución, H(j\omega) = K \ e^{-j\omega t_0}, se obtiene

\displaystyle h(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{H(j\omega) e^{j \omega t} \, d\omega}

\displaystyle h(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[K \ e^{-j\omega t_0}] \cdot e^{j \omega t} \, d\omega}

\displaystyle h(t) = \frac{K}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-j\omega t_0 + j \omega t} \, d\omega}

\displaystyle h(t) = \frac{K}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{j\omega (t - t_0)} \, d\omega} =  K \cdot \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{j\omega (t - t_0)} \, d\omega}

\displaystyle \therefore h(t) = K \delta (t-t_0)

Problema 2. La constante de propagación \gamma (\omega), de una línea de trasmisión bajo condiciones de estado sinusoidal, está definida como

\displaystyle \gamma (\omega) = \sqrt{(R + j \omega L)(G + j \omega C)},

donde R es la resistencia, L la inductancia en serie, G la conductancia, y C la capacitancia en paralelo, por unidad de longitud de la línea. Demostrar que la condición para que la línea no introduzca distorsión está dada por

\displaystyle \frac{L}{R} = \frac{C}{G}.

Solución. Si v (x,t) es el voltaje en un punto distante x de la entrada, y en un tiempo t, entonces para una entrada senusoidal de frecuencia \omega, el voltaje se puede expresar como

\displaystyle v(x,t) = \text{Re}[\mathbf{V}_m \ e^{j \omega t - \gamma(\omega) \ x}],

donde \mathcal{V}_m es la amplitud compleja del voltaje a la entrada y \gamma (\omega) es la constante de propagación.

Entonces, el voltaje de entrada está dado por v_i(t) = v(0,t), y el voltaje de salida por v_o (t) =v (l,t) donde l es la longitud de la línea de transmisión. De este modo, mediante la notación fasorial, se tiene

v_i (t) = \text{Re} [\mathbf{V}_m \ e^{j \omega t}]

y

\displaystyle v_o (t) = \text{Re} [\mathbf{V}_m \ e^{j \omega t - \gamma(\omega) l}] = \text{Re} [\mathbf{V}_m e^{-\gamma (\omega) l} \ e^{j \omega t}]

De donde, la función del sistema H(j\omega) para la línea de transmisión está dada por

\displaystyle H(j\omega) = \frac{\mathbf{V}_m \ e^{-\gamma (\omega) l}}{\mathbf{V}_m} = e^{-\gamma(\omega) l}

Si \displaystyle \gamma (\omega) = \sqrt{(R + j\omega L)(G + j\omega C)} = \alpha(\omega) + j\beta(\omega), entonces

\displaystyle H(j\omega) = e^{-\gamma(\omega) l}

\displaystyle H(j\omega) = e^{-[\alpha(\omega) + j\beta(\omega)] l}

\displaystyle H(j\omega) = e^{-\alpha(\omega) l - j\beta(\omega) l}

\displaystyle H(j\omega) = e^{-\alpha(\omega) l} \ e^{- j\beta(\omega) l} = |H(j\omega)| \ e^{j \theta(\omega)}

Donde

\displaystyle |H(j\omega)| = e^{-\alpha(\omega) l}     y     \theta(\omega) = - \beta(\omega) l

Según las condiciones para la transmisión sin distorsión, dadas por las ecuaciones (2) y (3), se concluye que \alpha (\omega) debe ser constante e independiente de \omega, y \beta(\omega) debe ser una función lineal de \omega; es decir

\alpha (\omega) = K_1   ,   \beta (\omega) = K_2 \omega.

Entonces, \gamma(\omega) se puede expresar como

\displaystyle \gamma (\omega) = \sqrt{(R + j\omega L)(G + j\omega C)}

\displaystyle \gamma (\omega) = \sqrt{R \left(1 + j\omega \frac{L}{R} \right) \cdot G \left(1 + j\omega \frac{C}{G} \right)}

\displaystyle \gamma (\omega) = \sqrt{RG \left(1 + j \frac{\omega L}{R} \right) \left(1 + j \frac{\omega C}{G} \right)}

\displaystyle \gamma (\omega) = \alpha (\omega) + j \beta (\omega)

\displaystyle \gamma (\omega) = K_1 + j K_2 \omega

– – – (4)

La ecuación (4) se cumple si

\displaystyle \frac{L}{R} = \frac{C}{G}

Entonces, la constante propagación está dada por

\displaystyle \gamma (\omega) = \sqrt{RG \left(1 + j \frac{\omega L}{R} \right) \left(1 + j \frac{\omega C}{G} \right)}

\displaystyle \gamma (\omega) = \sqrt{RG \left(1 + j \frac{\omega L}{R} \right) \left(1 + j \frac{\omega R}{C} \right)}

\displaystyle \gamma (\omega) = \sqrt{RG \left(1 + j \frac{\omega L}{R} \right)^2}

\displaystyle \gamma (\omega) = \sqrt{RG} \sqrt{\left(1 + j \frac{\omega L}{R} \right)^2} = \sqrt{RG} \ \left(1 + j \frac{\omega L}{R} \right)

\displaystyle \gamma (\omega) = \sqrt{RG} + j \ \sqrt{RG} \ \frac{\omega L}{R} = \sqrt{RG} + j \ \sqrt{RG} \cdot \omega \ \frac{L}{R}

\displaystyle \gamma (\omega) = \sqrt{RG} + j \ \sqrt{RG} \cdot \omega \ \sqrt{\frac{L^2}{R^2}} = \sqrt{RG} + j \omega \ \sqrt{RG} \ \sqrt{\frac{L^2}{R^2}}

\displaystyle \gamma (\omega) = \sqrt{RG} + j \omega \ \sqrt{RG \cdot \frac{L^2}{R^2}} = \sqrt{RG} + j \omega \ \sqrt{\frac{L^2 \ G}{R}}

\displaystyle \gamma (\omega) = \sqrt{RG} + j \omega \ L \ \sqrt{\frac{G}{R}} = \alpha(\omega) + j \beta (\omega)

De donde

\displaystyle \alpha (\omega) = \sqrt{RG} = K_1

\displaystyle \beta (\omega) = \omega L \ \sqrt{\frac{G}{R}} = \omega L \sqrt{\frac{C}{L}} = \omega \sqrt{LC} = K_2 \omega

De este modo, cuando la condición \displaystyle \frac{L}{R} = \frac{C}{G} se cumple, se tiene la línea sin distorsión.


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