Respuesta de un sistema lineal a un escalón unitario – integral de superposición. Fourier.

Introducción

La respuesta de un sistema al escalón unitario $u(t)$ se denota por $a(t)$ , es decir,

$L \left\{ u(t) \right\} = a(t)$

Teorema 1. La respuesta de un sistema lineal a un escalón unitario, se puede expresar como

$\displaystyle a(t) = \int_{-\infty}^{t}{h(\tau) \, d\tau}$

$a(\infty) = \left. a(t) \right|_{t=\infty} = \left. H(\omega) \right|_{\omega=0} = H(0)$

donde $H(\omega)$ es la función del sistema y $h(t)$ es la respuesta al impulso unitario. Si el sistema es casual

$\displaystyle a(t) = \int_{0}^{t}{h(\tau) \, d\tau}$

Teorema 2. La transformada de Fourier de $a(t)$ está dada por

$\displaystyle A(\omega) = \mathcal{F}[a(t)] = \pi \ H(0) \ \delta(\omega) + \frac{1}{j\omega} H(\omega)$

Teorema 3. Si $a(t)$ es la respuesta al escalón unitario de un sistema lineal cuya función es $H(\omega)$ , la respuesta $f_o (t)$ del sistema, a cualquier fuente $f_i(t)$ , está dada por

$\displaystyle f_o (t) = f_i (-\infty) \ H(0) + \int_{-\infty}^{\infty}{f_i^{'}(\tau) \ a(t - \tau) \, d\tau}$

donde $\displaystyle f_i^{'} (\tau) = \frac{df_i (\tau)}{d\tau}$ .

Integral de Duhamel

Teorema 4. En un sistema lineal y casual, la función de entrada, $f_i (t) = 0$ para $t<0$ , tiene una discontinuidad de valor $f_i (0+)$ en $t=0$ , y es continua para $t>0$ , como se muestra en la figura 1.

Figura 6.8.1 Función de entrada — *Figura 1. Función de entrada.*

La respuesta $f_o(t)$ del sistema, está dada por la integral de superposición o integral de Duhamel

$\displaystyle f_o (t) = f_i (0+) \ a(t) + \int_{0+}^{t}{f_i^{'}(\tau) \ a(t-\tau) \, d\tau}$

Teorema 5. La integral de superposición o la integral de Duhamel, expresa realmente la respuesta de un sistema, como una suma continua de las respuestas a las componentes en escalón, de la función $f_i(t)$ .

Demostración. Una función de entrada $f_i(t)$ se puede aproximar por la suma de un gran número de escalones infinitesimales.

Figura 6.8.2 Función de entrada aproximada por la suma de funciones escalones.jpg — Figura 2. Función de entrada aproximada por la suma de funciones escalones

Un escalón infinitesimal localizado en $latex \tau se puede expresar como

$\displaystyle \frac{df_i(\tau)}{d\tau} \ \Delta \tau \ u(t-\tau) = f'_i(\tau) \ \Delta \tau \ u(t - \tau)$

– – – (1)

En la figura 2 se observa que $f_i(t)$ se puede expresar como

$\displaystyle fi (0+) \ u(t) + \lim_{\Delta \tau \rightarrow 0}{\sum_{\tau = 0}^{t}{f'_i(\tau) \ \Delta \tau \ u(t-\tau)}}$

– – – (2)

Puesto que la respuesta del sistema al escalón unitario $u(t) \ a(t)$ , la respuesta debida a un escalón infinitesimal [ecuación (1)] está dada por

$f'_i (\tau) \ \Delta \tau \ a(t-\tau)$

De donde $f_o (t)$ , la respuesta del sistema a la fuente $f_i(t)$ , estará expresada como la suma continua de las respuestas a los componentes escalonados de $f_i (t)$ , es decir