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Respuesta de un sistema lineal a un escalón unitario – integral de superposición. Fourier.

Introducción

La respuesta de un sistema al escalón unitario u(t) se denota por a(t), es decir,

L \left\{ u(t) \right\} = a(t)

Teorema 1. La respuesta de un sistema lineal a un escalón unitario, se puede expresar como

\displaystyle a(t) = \int_{-\infty}^{t}{h(\tau) \, d\tau}

a(\infty) = \left. a(t) \right|_{t=\infty} = \left. H(\omega) \right|_{\omega=0} = H(0)

donde H(\omega) es la función del sistema y h(t) es la respuesta al impulso unitario. Si el sistema es casual

\displaystyle a(t) = \int_{0}^{t}{h(\tau) \, d\tau}

Teorema 2. La transformada de Fourier de a(t) está dada por

\displaystyle A(\omega) = \mathcal{F}[a(t)] = \pi \ H(0) \ \delta(\omega) + \frac{1}{j\omega} H(\omega)

Teorema 3. Si a(t) es la respuesta al escalón unitario de un sistema lineal cuya función es H(\omega), la respuesta f_o (t) del sistema, a cualquier fuente f_i(t), está dada por

\displaystyle f_o (t) = f_i (-\infty) \ H(0) + \int_{-\infty}^{\infty}{f_i^{'}(\tau) \ a(t - \tau) \, d\tau}

donde \displaystyle f_i^{'} (\tau) = \frac{df_i (\tau)}{d\tau}.

Integral de Duhamel

Teorema 4. En un sistema lineal y casual, la función de entrada, f_i (t) = 0 para t<0, tiene una discontinuidad de valor f_i (0+) en t=0, y es continua para t>0, como se muestra en la figura 1.

Figura 6.8.1 Función de entrada
Figura 1. Función de entrada.

La respuesta f_o(t) del sistema, está dada por la integral de superposición o integral de Duhamel

\displaystyle f_o (t) = f_i (0+) \ a(t) + \int_{0+}^{t}{f_i^{'}(\tau) \ a(t-\tau) \, d\tau}

Teorema 5. La integral de superposición o la integral de Duhamel, expresa realmente la respuesta de un sistema, como una suma continua de las respuestas a las componentes en escalón, de la función f_i(t).

Demostración. Una función de entrada f_i(t) se puede aproximar por la suma de un gran número de escalones infinitesimales.

Figura 6.8.2 Función de entrada aproximada por la suma de funciones escalones.jpg
Figura 2. Función de entrada aproximada por la suma de funciones escalones

Un escalón infinitesimal localizado en $latex \tau se puede expresar como

\displaystyle \frac{df_i(\tau)}{d\tau} \ \Delta \tau \ u(t-\tau) = f'_i(\tau) \ \Delta \tau \ u(t - \tau)

– – – (1)

En la figura 2 se observa que f_i(t) se puede expresar como

\displaystyle fi (0+) \ u(t) + \lim_{\Delta \tau \rightarrow 0}{\sum_{\tau = 0}^{t}{f'_i(\tau) \ \Delta \tau \ u(t-\tau)}}

– – – (2)

Puesto que la respuesta del sistema al escalón unitario u(t) \ a(t), la respuesta debida a un escalón infinitesimal [ecuación (1)] está dada por

f'_i (\tau) \ \Delta \tau \ a(t-\tau)

De donde f_o (t), la respuesta del sistema a la fuente f_i(t), estará expresada como la suma continua de las respuestas a los componentes escalonados de f_i (t), es decir

\displaystyle f_o (t) = f_i (0+) \ a(t) + \lim_{\Delta \tau \rightarrow 0}{\sum_{\tau=0}^{t}{f_i'(\tau) \ \delta \tau \ a(t- \tau)}}

\displaystyle \therefore f_o (t) = f_i (0+) \ a(t) + \int_{0+}^{t}{f'_i (\tau) \ a(t-\tau) \, d\tau}


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