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Respuesta de un sistema lineal a un impulso unitario – Función del sistema. Fourier.

Introducción

La respuesta de un sistema lineal al impulso unitario \delta(t), se denota por h(t). Simbólicamente esto se expresa como

L \left\{ \delta(t) \right\} = h(t)

Si el sistema es invariante (o de parámetros constantes), entonces, la ecuación

L \left\{f_i (t+t_0) \right\} = f_o (t+t_0)

se observa que su respuesta a \delta (t - \tau) está dada por h(t-\tau), es decir,

L \left\{ \delta (t - \tau) \right\} = h(t-\tau)

Teorema 1. La respuesta f_o(t) de un sistema lineal e invariante, a una entrada arbitraria f_i (t), se puede expresar como la convolución de la entrada f_i(t) y de la respuesta del sistema al impulso unitario h(t), es decir,

\displaystyle f_o (t) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_i (\tau) \ h(t-\tau) \, d\tau } = f_i (t) * h(t)

– – – (1)

\displaystyle f_o (t) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_i (t - \tau) \ h(\tau) \, d\tau } = h (t) * f_i(t)

– – – (2)

La respuesta de la ecuación (1) o (2) presenta un resultado muy interesante, pues implica que la respuesta de un sistema lineal está determinado unívocamente por el conocimiento de la respuesta al impulso unitario h(t) del sistema.

Función del sistema

La transformada de Fourier de la respuesta al impulso unitario de un sistema lineal, se denomina función del sistema.

\displaystyle H(\omega) = \mathcal{F} [h(t)] = \int_{-\infty}^{\infty}{h(t) \ e^{-j \omega t} \, dt}

– – – (3)

\displaystyle h(t) = \mathcal{F}^{-1}[H(\omega)] =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{H(\omega) e^{j \omega t} \, d\omega}

– – – (4)

Las ecuaciones (3) y (4) indican que la respuesta al impulso unitario, y la función del sistema constituyen un par de transformadas de Fourier.

Teorema 2. Si \mathcal{F}_i (\omega) y \mathcal{F}_o (\omega) denotan las transformadas de Fourier, de la entrada f_i (t) y la salida f_o (t) de un sistema lineal, respectivamente, entonces

\displaystyle F_o (\omega) = F_i (\omega) \ H(\omega)

– – – (5)

\displaystyle f_o (t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{F_i (\omega) \ H(\omega) e^{j \omega t} \, d\omega}

– – – (6)

donde H(\omega) es la función del sistema definido por la ecuación (3).

Problemas resueltos

Problema 1. Verificar que la función del sistema H(\omega) está definida por la ecuación (3), es exactamente la misma función del sistema H(j\omega) por

L \left\{e^{j \omega t} \right\} = H(j \omega) \ e{j \omega t}

Solución. Si f_i (t) = e^{j \omega_0 t}, entonces

\displaystyle F_i (\omega) = \mathcal{F}[f_i (t)]

\displaystyle = \mathcal{F}[e^{j \omega_0 t}] = 2\pi \ \delta(\omega - \omega_0)

Después

\displaystyle F_i (\omega) = 2\pi \ \delta(\omega - \omega_0)

\displaystyle F_i (\omega) \ H(\omega) = 2\pi \ \delta(\omega - \omega_0) \ H(\omega)

\displaystyle F_i (\omega) \ H(\omega) = 2\pi \ H(\omega_0 ) \ \delta(\omega - \omega_0)

Luego

\displaystyle f_o (t) = L \left\{e^{j \omega_0 t} \right\}

\displaystyle f_o (t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{F_i (\omega) \ H(\omega) e^{j \omega t} \, d\omega}

\displaystyle f_o (t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{2\pi \ H(\omega_0 ) \ \delta(\omega - \omega_0) \cdot e^{j \omega t} \, d\omega}

\displaystyle f_o (t) = H(\omega_0) \int_{-\infty}^{\infty}{\delta(\omega - \omega_0) e^{j \omega t} \, d\omega}

\displaystyle f_o (t) = H(\omega_0) e^{j \omega_0 t}

Esta expresión cumple para cualquier valor de \omega_0, se puede cambiar \omega_0 por \omega y se obtiene

\displaystyle f_o (t) = L \left\{e^{j \omega t} \right\}= H(\omega) e^{j \omega t}

Comparando con

L \left\{e^{j \omega t} \right\} = H(j \omega) \ e{j \omega t}

Se concluye que

H(j \omega) = H(\omega)

De hecho, de la definición de la transformada de Fourier de f(t), se tiene

\displaystyle F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) e^{-j \omega t} \, dt}

– – – (7)

la variable \omega siempre aparece con j, y por consiguiente, la integral se puede expresar como función de j\omega. De este modo, se puede expresar la defición de la ecuación (7) como

\displaystyle F(j\omega) = \mathcal{F}[f(t)] = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \ e^{-j \omega t} \, dt}

y, en consecuencia,

\displaystyle f(t) = \mathcal{F}^{-1}[F(j\omega)] = \frac{1}{2\pi} \int_{- \infty}^{\infty}{F(j\omega) \ e^{j \omega t} \, d\omega}

Por consiguiente, F(\omega) y F(j\omega) representan la misma función\mathcal{F}[f(t)]. La distinción sólo es cuestión de notación.

De este modo, la relación de la ecuación (5) se puede expresar también como

\displaystyle F_o (j\omega) = F_i (j\omega) \ H(j\omega)

donde

\displaystyle H(j\omega) = \frac{F_o (j\omega)}{F_i (j \omega)} = \frac{\mathcal{F}[f_o (t)]}{\mathcal{F}[f_i (t)]}

– – – (8)

La ecuación (8) indica que la función del sistema H(j\omega) también es el cociente entra la transformada de la respuesta y la transformada de la fuente.

Problema 2. Hallar la respuesta al impulso unitario, del circuito RC que se muestra en la figura 1.

Figura 6.7.1 Circuito RC del problema 2.
Figura 1. Circuito RC del problema 2.

Solución. La función del sistema H(j\omega), se determina de la siguiente manera. De la fuente

\displaystyle v_i (t) = R \ i(t) + \frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t}{i(t) \, dt}

\displaystyle v_i (t) = R \ i(t) + \frac{1}{C} \ \frac{1}{p} \ i(t)

\displaystyle v_i (t) = R \ i(t) + \frac{1}{pC} \ i (t)

\displaystyle v_i (t) = \left(R + \frac{1}{pC} \right) i (t)

De la respuesta

\displaystyle v_o (t) = \frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t}{i(t) \, dt}

\displaystyle v_o (t) = \frac{1}{C} \ \frac{1}{p} i(t)

\displaystyle v_o (t) = \frac{1}{pC} i(t)

Realizando la siguiente división

\displaystyle \frac{v_o (t)}{v_i (t)} = \frac{\frac{1}{pC} i(t)}{\left(R + \frac{1}{pC} \right) i (t)}

\displaystyle \frac{v_o (t)}{v_i (t)} = \frac{\frac{1}{pC}}{\left(R + \frac{1}{pC} \right)} = \frac{\frac{1}{pC}}{\frac{\left(pRC + 1 \right)}{pC}}

\displaystyle \frac{v_o (t)}{v_i (t)} = \frac{1}{pRC + 1}

Por consiguiente, la respuesta v_o (t) y la entrada v_i (t) están relacionados por

\displaystyle \frac{v_o (t)}{v_i (t)} = \frac{1}{pRC + 1}

\displaystyle v_o (t) = \frac{1}{pRC + 1} v_i (t)

\displaystyle v_o (t) = H(p) v_i (t)

Donde

\displaystyle H(p) = \frac{1}{pRC + 1}

Remplazando la variable p por j \omega en la función H(p), resulta

\displaystyle H(j \omega) = \frac{1}{j \omega RC + 1} = \frac{1}{1 + j \omega RC}

Determinando h(t)

\displaystyle \mathcal{F}^{-1}[H(j \omega)] = \mathcal{F}^{-1} \left[ \frac{1}{1 + j \omega RC} \right]

\displaystyle h(t) = \mathcal{F}^{-1} \left[\frac{1}{RC \left(\frac{1}{RC} + j \omega \right)} \right]

\displaystyle h(t) = \frac{1}{RC} \ \mathcal{F}^{-1} \left[\frac{1}{\frac{1}{RC} + j \omega} \right]

\displaystyle \therefore h(t) = \frac{1}{RC} \ e^{-t/RC} \ u(t)

Figura 6.7.2 Respuesta al impulso unitario.
Figura 2. Respuesta al impulso unitario.

Problema 3. Una fuente de voltaje v_i (t) = e^{-t} u(t) se aplica al circuito RC de la figura 3; hallar la respuesta, el voltaje v_o(t), si R=1/2 \ \Omega y C=1 \ F.

Figura 6.7.1 Circuito RC del problema 2.
Figura 3. Circuito RC del problema 3.

Solución. La función del sistema H(j\omega), se determina de la siguiente manera. De la fuente

\displaystyle v_i (t) = R \ i(t) + \frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t}{i(t) \, dt}

\displaystyle v_i (t) = R \ i(t) + \frac{1}{C} \ \frac{1}{p} \ i(t)

\displaystyle v_i (t) = R \ i(t) + \frac{1}{pC} \ i (t)

\displaystyle v_i (t) = \left(R + \frac{1}{pC} \right) i (t)

De la respuesta

\displaystyle v_o (t) = \frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t}{i(t) \, dt}

\displaystyle v_o (t) = \frac{1}{C} \ \frac{1}{p} i(t)

\displaystyle v_o (t) = \frac{1}{pC} i(t)

Realizando la siguiente división

\displaystyle \frac{v_o (t)}{v_i (t)} = \frac{\frac{1}{pC} i(t)}{\left(R + \frac{1}{pC} \right) i (t)}

\displaystyle \frac{v_o (t)}{v_i (t)} = \frac{\frac{1}{pC}}{\left(R + \frac{1}{pC} \right)} = \frac{\frac{1}{pC}}{\frac{\left(pRC + 1 \right)}{pC}}

\displaystyle \frac{v_o (t)}{v_i (t)} = \frac{1}{pRC + 1}

Por consiguiente, la respuesta v_o (t) y la entrada v_i (t) están relacionados por

\displaystyle \frac{v_o (t)}{v_i (t)} = \frac{1}{pRC + 1}

\displaystyle v_o (t) = \frac{1}{pRC + 1} v_i (t)

\displaystyle v_o (t) = H(p) v_i (t)

Donde

\displaystyle H(p) = \frac{1}{pRC + 1}

Remplazando la variable p por j \omega en la función H(p), resulta

\displaystyle H(j \omega) = \frac{1}{j \omega RC + 1} = \frac{1}{1 + j \omega RC}

Determinando h(t)

\displaystyle \mathcal{F}^{-1}[H(j \omega)] = \mathcal{F}^{-1} \left[ \frac{1}{1 + j \omega RC} \right]

\displaystyle h(t) = \mathcal{F}^{-1} \left[\frac{1}{RC \left(\frac{1}{RC} + j \omega \right)} \right]

\displaystyle h(t) = \frac{1}{RC} \ \mathcal{F}^{-1} \left[\frac{1}{\frac{1}{RC} + j \omega} \right]

\displaystyle h(t) = \frac{1}{RC} \ e^{-t/RC} \ u(t)

Sustituyendo los valores de R y C

\displaystyle h(t) = \frac{1}{(\frac{1}{2})(1)} \ e^{-t/(\frac{1}{2})(1)} \ u(t)

\displaystyle h(t) = \frac{1}{\frac{1}{2}} \ e^{-t/\frac{1}{2}} \ u(t)

\displaystyle h(t) = 2 \ e^{-2t} \ u(t)

Tomando la ecuación (1), v_o es

\displaystyle v_o (t) = v_i (t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{v_i (\tau) \ h(t-\tau) \, d\tau}

\displaystyle v_o (t) = \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\tau} u(\tau) \cdot 2 \ e^{-2(t-\tau)} \ u(t-\tau) \, d\tau}

\displaystyle v_o (t) = 2 \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\tau} e^{-2t} e^{2 \tau} \ u (\tau) \ u(t-\tau) \, d\tau}

\displaystyle v_o (t) = 2 e^{-2t} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{\tau} \ u (\tau) \ u(t-\tau) \, d\tau}

Donde

\displaystyle u(\tau) \ u (t-\tau) = \left\{ \begin{matrix} 1, \quad para \quad \, \quad 0<\tau<t \\ 0, \quad para \quad \tau<0, \ \tau>t \end{matrix} \right.

Entonces

\displaystyle v_o (t) = \left(2 e^{-2t} \int_{0}^{t}{e^{\tau} \, d\tau} \right) u(t)

\displaystyle v_o (t) = 2 e^{-2t} \left(e^t - e^0 \right) u(t)

\displaystyle v_o (t) = 2 e^{-2t} \left(e^t - 1 \right) u(t)

\displaystyle \therefore v_o (t) = 2 (e^{-t} - e^{-2t}) u(t)

El resultado final tiene la expresión u(t), eso indica que no hay respuesta debida a la fuente, antes de que esta se aplique.

Problema 4. Hallar la respuesta del circuito RC de la figura 4, al escalón unitario u(t) por convolución.

Figura 6.7.1 Circuito RC del problema 2.
Figura 4. Circuito RC del problema 4.

Solución. La función del sistema H(j\omega), se determina de la siguiente manera. De la fuente

\displaystyle v_i (t) = R \ i(t) + \frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t}{i(t) \, dt}

\displaystyle v_i (t) = R \ i(t) + \frac{1}{C} \ \frac{1}{p} \ i(t)

\displaystyle v_i (t) = R \ i(t) + \frac{1}{pC} \ i (t)

\displaystyle v_i (t) = \left(R + \frac{1}{pC} \right) i (t)

De la respuesta

\displaystyle v_o (t) = \frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t}{i(t) \, dt}

\displaystyle v_o (t) = \frac{1}{C} \ \frac{1}{p} i(t)

\displaystyle v_o (t) = \frac{1}{pC} i(t)

Realizando la siguiente división

\displaystyle \frac{v_o (t)}{v_i (t)} = \frac{\frac{1}{pC} i(t)}{\left(R + \frac{1}{pC} \right) i (t)}

\displaystyle \frac{v_o (t)}{v_i (t)} = \frac{\frac{1}{pC}}{\left(R + \frac{1}{pC} \right)} = \frac{\frac{1}{pC}}{\frac{\left(pRC + 1 \right)}{pC}}

\displaystyle \frac{v_o (t)}{v_i (t)} = \frac{1}{pRC + 1}

Por consiguiente, la respuesta v_o (t) y la entrada v_i (t) están relacionados por

\displaystyle \frac{v_o (t)}{v_i (t)} = \frac{1}{pRC + 1}

\displaystyle v_o (t) = \frac{1}{pRC + 1} v_i (t)

\displaystyle v_o (t) = H(p) v_i (t)

Donde

\displaystyle H(p) = \frac{1}{pRC + 1}

Remplazando la variable p por j \omega en la función H(p), resulta

\displaystyle H(j \omega) = \frac{1}{j \omega RC + 1} = \frac{1}{1 + j \omega RC}

Determinando h(t)

\displaystyle \mathcal{F}^{-1}[H(j \omega)] = \mathcal{F}^{-1} \left[ \frac{1}{1 + j \omega RC} \right]

\displaystyle h(t) = \mathcal{F}^{-1} \left[\frac{1}{RC \left(\frac{1}{RC} + j \omega \right)} \right]

\displaystyle h(t) = \frac{1}{RC} \ \mathcal{F}^{-1} \left[\frac{1}{\frac{1}{RC} + j \omega} \right]

\displaystyle h(t) = \frac{1}{RC} \ e^{-t/RC} \ u(t)

Tomando la ecuación (1), v_o es

\displaystyle v_o (t) = v_i (t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{v_i (\tau) \ h(t-\tau) \, d\tau}

\displaystyle v_o (t) = \int_{-\infty}^{\infty}{u (\tau) \cdot \frac{1}{RC} \ e^{-(t-\tau)/RC} \ u(t-\tau) \, d\tau}

\displaystyle v_o (t) = \int_{-\infty}^{\infty}{u (\tau) \cdot \frac{1}{RC} e^{-t / RC} e^{\tau / RC} \ u(t-\tau) \, d\tau}

\displaystyle v_o (t) = e^{-t / RC} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{\tau / RC} \ u(\tau) \ u(t-\tau) \, \cdot \frac{1}{RC} d\tau}

\displaystyle v_o (t) = \left( e^{-t / RC} \int_{0}^{t}{e^{\tau / RC} \, \cdot \frac{1}{RC} d\tau} \right) u(t)

\displaystyle v_o (t) = e^{-t / RC} \left( \int_{0}^{t}{e^{\tau / RC} \, \cdot \frac{1}{RC} d\tau} \right) u(t)

\displaystyle v_o (t) = e^{-t / RC} \left( e^{t / RC} - e^{0} \right) u(t)

\displaystyle v_o (t) = e^{-t / RC} \left( e^{t / RC} - 1 \right) u(t)

\displaystyle \therefore v_o (t) = \left(1 - e^{-t / RC} \right) u(t)

Sistema casual

Un sistema físico pasivo tiene la propiedad de que si la fuente es cero para t<t_0, entonces la respuesta también es cero para t < t_0, es decir, si

f_i(t) = 0 para t<t_0

– – – (9)

entonces

f_o (t) = L \left\{f_i (t) \right\} = 0 para t<t_0

– – – (10)

Un sistema que satisface la ecuación (9) o la ecuación (10) se llama sistema casual. Una función f(t) se denominará casual si su valor es cero para t<0; es decir, f_i(t) = 0 para t<0.

Teorema 3. La respuesta f_o (t) de un sistema lineal casual, a cualquier fuente f_i(t). está dada por

\displaystyle f_o (t) = \int_{-\infty}^{t}{f_i (\tau) \ h(t-\tau) \, d\tau}

\displaystyle f_o (t) = \int_{0}^{\infty}{f_i (t - \tau) \ h(\tau) \, d\tau}

Teorema 4. Si la función de la fuente f_i(t) es casual, es decir, si la fuente f_i (t) se aplica en t = 0, la respuesta f_o(t) del sistema lineal casual es

\displaystyle f_o (t) = \int_{0}^{t}{f_i (\tau) \ h(t-\tau) \, d\tau}


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