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Respuesta a funciones exponenciales de entrada – funciones propias y funciones del sistema. Fourier.

Respuesta de un sistema lineal e invariable a una función exponencial

La respuesta de un sistema lineal e invariable a una función exponencial e^{j \omega t}, también es una función exponencial y proporcional a la entrada; es decir,

L \left\{e^{j\omega t} \right\} = k e^{j\omega t}

Demostración.

Primera interpretación. Sea f_o (t) la respuesta a e^{j\omega t}. Entonces,

L \left\{e^{j\omega t} \right\} = f_o (t)

Como el sistema es invariante, se tiene que

L \left\{e^{j\omega (t + t_0)} \right\} = f_o (t + t_0)

Además

L \left\{e^{j\omega (t + t_0)} \right\} = L \left\{e^{j\omega t} e^{j\omega t_0} \right\} = e^{j\omega t_0} L \left\{e^{j\omega t} \right\} = e^{j\omega t_0} f_o(t)

Así que

L \left\{e^{j\omega (t + t_0)} \right\} = f_o (t + t_0)

e^{j\omega t_0} f_o(t) = f_o (t + t_0)

Haciendo t=0, se obtiene lo siguiente

e^{j\omega t_0} f_o (0) = f_o (0 + t_0)

e^{j\omega t_0} f_o (0) =  f_o (t_0)

Como t_0 es arbitrario, se puede cambiar t_0 por t y esta última expresión se muestra de la siguiente manera

e^{j\omega t} f_o (0) =  f_o (t)

f_o (t) = e^{j\omega t} f_o (0)

f_o (t) = f_o (0) e^{j\omega t}

f_o (t) = k \, e^{j\omega t}

Esto quiere decir que la salida es proporcional a la entrada, siendo k=f_o(0) la constante de proporcionalidad. En general, k es compleja y depende de \omega.

Segunda interpretación. Suponiendo que la excitación de la ecuación

A(p) f_o(t) = B(p) f_i (t)

es la función f_i(t) = e^{j \omega t}; entonces

A(p) f_o(t) = B(p) e^{j \omega t}

donde f_o (t) es la respuesta del sistema. Ahora bien,

B(p) = b_m p^m + b_{m-1} p^{m-1} + \cdots + b_1 p + b_0,

B(p) e^{j \omega t} = B(j\omega) e^{j \omega t}

dado que

\displaystyle p^m e^{j \omega t} = \frac{d^m}{dt^m} (e^{j \omega t}) = (j \omega)^m e^{j \omega t}

Por tanto, la respuesta f_o (t) está definida por la ecuación diferencial lineal

\displaystyle A(p) f_o (t) = B(j\omega) e^{j \omega t}

La función excitadora de esta última ecuación es B(j\omega) e^{j \omega t}, una función exponencial, y según la teoría de ecuaciones diferenciales, se puede suponer que la respuesta f_o (t) también es exponencial. De donde, si f_o (t) = k_1 e^{j \omega t}, entonces

A(p) f_o(t) = A(p) [k_1 e^{j \omega t}] = k_1 A(p) [e^{j \omega t}] = k_1 A(j\omega) e^{j \omega t} = A(j\omega) f_o (t)

Sustituyendo, resulta lo siguiente

\displaystyle A(p) f_o (t) = B(j\omega) e^{j \omega t}

\displaystyle A(j \omega) f_o (t) = B(j\omega) e^{j \omega t}

Si A(j \omega) \ne 0

\displaystyle f_o (t) = \frac{B(j \omega)}{A(j \omega)} e^{j \omega t} = H(j\omega) e^{j \omega t}

La figura muestra un diagrama que ilustra la relación entre la entrada y la salida, dada por esta ecuación última obtenida.

Figura 6.3.1 Función del sistema
Figura 1. Función del sistema.

La ecuación calculada se puede expresar en forma simbólica como

\displaystyle L \left\{e^{j \omega t} \right\} = H(j \omega) e^{j \omega t}

– – – (1)

En lenguaje matemático, una función f(t) que satisface la siguiente ecuación

\displaystyle L \left\{f(t) \right\} = k \, f(t)

– – – (2)

se denomina función propia (o función característica) y el valor correspondiente de k, valor propio (o valor característico). Según la ecuación (1), se puede decir que la función característica de un sistema lineal e invariante es una función exponencial. El valor propio H(j \omega) del sistema está definido como la función del sistema.

Si se deseara hallar la respuesta del sistema especificado por H(j\omega), a una constante K, solo se toma la ecuación (1) y la linealidad del sistema, se tiene lo siguiente

L \left\{K \right\} = K \, H(0)

donde

\displaystyle H(0) = \left. H(j\omega) \right|_{\omega = 0}

Determinando la respuesta de un sistema lineal, cuando la función de entrada es una función periódica

Si la función de entrada de un sistema lineal especificado por H(j\omega) es una función periódica, con período T, ¿cómo será su respuesta?

Se sabe que la función de entrada f_i (t) es periódica

\displaystyle f_i (t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n e^{jn\omega_0 t}} , \displaystyle \omega_0 = \frac{2\pi}{T}

donde

\displaystyle c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f_i (t) e^{-jn\omega_0 t} \, dt}

Después

f_{on} (t) = H(jn\omega_0) \, c_n \, e^{j n \omega_0 t}

es la salida en respuesta a la componente de entrada

\displaystyle f_{in} (t) = c_n \, e^{jn\omega_0 t}

Como el sistema lineal, su respuesta total a f_i (t) es la suma de las componentes f_{on} (t). De este modo

\displaystyle \therefore f_o (t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n \, H(j n \omega_0) \, e^{j n \omega_0 t}}

– – – (3)

La ecuación (3) indica que si la entrada a un sistema lineal es periódica, entonces la salida también es periódica. Se debe observar que la expresión (3) es la respuesta en estado estacionario.


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