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Funciones operacionales del sistema. Fourier.

Al denotar d/dt por el operador p, tal que

\displaystyle p \, f(t) = \frac{d}{dt}[f(t)]\displaystyle p^n \, f(t) = \frac{d^n}{dt^n}[f(t)]

Ahora, de la ecuación

\displaystyle a_n \frac{d^n}{dt^n}[f_o (t)] + a_{n-1} \frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}} + \cdots + a_1 \frac{d}{dt}[f_o (t)] + a_0 f_o(t)

\displaystyle = b_m \frac{d^m}{dt^m}[f_1 (t)] + b_{m-1} \frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}} + \cdots + b_1 \frac{d}{dt}[f_1(t)] + b_0 f_1(t)

– – – (1)

se puede expresar de la siguiente manera

\displaystyle \sum_{n=0}^{n}{a_n \frac{d^n}{dt^n} \, [f_o (t)]} = \sum_{m=0}^{m}{b_m \frac{d^m}{dt^m} \, [f_o(t)]}

\displaystyle \sum_{n=0}^{n}{a_n \, p^n f_o (t)} = \sum_{m=0}^{m}{b_m \, p^m  f_o(t)}

\displaystyle A(p) f_o (t) = B(p) f_1 (t)

– – – (2)

donde

\displaystyle A(p) = a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1} + \cdots a_1 p + a_n,

\displaystyle B(p) = b_m p^m + b_{m-1} p^{m-1} + \cdots b_1 p + b_n

En un sistema lineal los coeficientes a_n y b_m son independientes de la función de respuesta. En el sistema invariante (o de parámetros constantes) los coeficientes a_n y b_n son constantes.

De la ecuación (2), puede expresarse simbólicamente en la forma

\displaystyle f_o (t) - \frac{B(p)}{A(p)} f_i (t) = H(p) f_i(t)

– – – (3)

donde H(p) = B(p)/A(p). Se entiende que la ecuación (4) es una expresión operacional de la ecuación diferencial (1). El operador H(p) que opera sobre la función de entrada para producir la función de salida, se denomina operacional del sistema. Utilizando el símbolo L para H(p), la ecuación (3) se puede expresar como

\displaystyle L \left\{f_1(t)  \right\} = f_o(t)

– – – (4)

El símbolo u operador lineal L en la ecuación (4) indica la ley que determina la función de salida, f_o(t), dada la función de entrada, f_1(t). A veces se menciona la ecuación (4) como una transformación L de la función f_1(t) en la función f_o(t).

Con la notación de (4), un sistema lineal e invariante en el tiempo está defindo por

L \left\{a_1 {f_i}_1 (t) + a_2 {f_i}_2 (t) \right\} = a_1 L \left\{{f_i}_1 (t)\right\} + a_2 L \left\{{f_i}_2 (t) \right\}

\displaystyle L \left\{f_i (t + t_0) \right\} = f_o (t+t_0)

donde t_0 es una constante arbitraria.

Problemas resueltos

Problema 1. Obtener la expresión operacional para la respuesta de la corriente i(t), al voltaje v(t), del circuito que se muestra en la figura 1.

Figura 6.2.1 Circuito del problema 1.
Figura 1. Circuito del problema 1.

Solución. La fuente es el voltaje aplicado v(t), y la respuesta es la corriente i(t), como se muestra en la figura 2.

Figura 6.2.2 Sistema del circuito del problema 1.
Figura 2. Sistema del circuito del problema 1.

La ecuación diferencial que relaciona i(t) y v(t) se puede obtener  utilizando la ley de voltaje de Kirchhoff; entonces

\displaystyle \sum{V} = 0

\displaystyle V_R + V_L + V_C - V = 0

\displaystyle V_R + V_L + V_C = V

\displaystyle R i(t) + L \frac{d}{dt}[i(t)] + \frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t}{i(t) \, dt} = v(t)

Diferenciando en ambos miembros

\displaystyle \frac{d}{dt} \left[R i(t) + L \frac{d}{dt}[i(t)] + \frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t}{i(t) \, dt} \right] = \frac{d}{dt}[v(t)]

\displaystyle \frac{d}{dt} [R i(t)] + \frac{d}{dt} \left[L \frac{d}{dt}[i(t)] \right] + \frac{d}{dt} \left[\frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t}{i(t) \, dt} \right] = \frac{d}{dt}[v(t)]

\displaystyle R \frac{d}{dt} [i(t)] + L \frac{d^2}{dt^2}[i(t)] + \frac{1}{C} i(t) = \frac{d}{dt}[v(t)]

\displaystyle L \frac{d^2}{dt^2}[i(t)] + R \frac{d}{dt} [i(t)] + \frac{1}{C} i(t) = \frac{d}{dt}[v(t)]

– – – – (5)

Nota. En esta última expresión, el símbolo L representa la inductancia y no al operador L.

Utilizando el operador \displaystyle p = \frac{d}{dt} (y también \displaystyle p^2 = \frac{d^2}{dt^2}), la ecuación (5) se expresa de la siguiente manera

\displaystyle L p^2 i(t) + R p i(t) + \frac{1}{C} i(t) = p \,v(t)

Factorizando

\displaystyle \left(L p^2 + R p + \frac{1}{C} \right) i(t) = p \, v(t)

Despejando i(t)

\displaystyle i(t) = \frac{p \, v(t)}{ \left(L p^2 + R p + \frac{1}{C} \right)}

\displaystyle i(t) = \frac{p}{ \left(L p^2 + R p + \frac{1}{C} \right)} v(t)

\displaystyle i(t) = H(p) v(t)

Donde

\displaystyle H(p) = \frac{p}{ \left(L p^2 + R p + \frac{1}{C} \right)}

\displaystyle H(p) = \frac{1}{\left(Lp + R + \frac{1}{Cp} \right)}

\displaystyle H(p) = \frac{1}{Z(p)} = Y(p)

En el circuito eléctrico de la figura 1, Y(p) se denomina función de admitancia operacional, y Z(p) = 1/Y(p) se denomina función de la impedancia operacional.

Problema 2. Considerar el sistema mecánico simple que se muestra en la figura 3. Obtener la expresión operacional x(t), que representa el desplazamiento de una masa m desde su posición de equilibrio.

Fgura 6.2.3 Sistema mecánico del problema 2.
Figura 3. Sistema mecánico del problema 2.

Solución. La fuente es la fuerza aplicada f(t), y la respuesta es el desplazamiento x(t) de la masa m desde su posición de equilibrio.

Fgura 6.2.4 Representación del sistema mecánico del problema 2.
Figura 4. Representación del sistema mecánico del problema 2.

Las fuerzas que acúan sobre la masa son:

  1. la fuerza aplicada f(t);
  2. la reacción por inercia \displaystyle \left(-m \frac{d^2x}{dt^2}\right);
  3. la fuerza de amortiguamiento (resistencia por fricción) \displaystyle \left(-k_d \frac{dx}{dt} \right), y
  4. la fuerza restauradora elástica (-k_s x).

En los numerales (3) y (4), k_d y k_s son el coeficiente dinámico de fricción y la constante del resorte, respectivamente.

Aplicando el principio de d’Alembert

\displaystyle m \frac{d^2}{dt^2}[x(t)] + k_d \frac{d}{dt}[x(t)] + k_x x(t) = f(t)

Utilizando los operadores (\displaystyle p =\frac{d}{dt} y \displaystyle p^2 = \frac{d^2}{dt^2}), la ecuación anterior se transformada en

\displaystyle m p^2 x(t) + k_d p x(t) + k_x x(t) = f(t)

Cotinuando

\displaystyle (m p^2 + k_d p + k_x) x(t) = f(t)

\displaystyle x(t) = \frac{f(t)}{(m p^2 + k_d p + k_x)}

\displaystyle x(t) = \frac{1}{(m p^2 + k_d p + k_x)}f(t)

\displaystyle x(t) = H(p) f(t)

Donde

\displaystyle H(p) = \frac{1}{(m p^2 + k_d p + k_x)}


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