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La transformada de Fourier de una función impulso. Fourier.

Teoremas

Teorema 1. La transformada de Fourier de una función impulso

\displaystyle \mathcal{F}[\delta (t)] = \int_{-\infty}^{\infty}{\delta (t) e^{-j \omega t} \, dt} = 1

Teorema 2. La transformada inversa de Fourier de una unidad

\displaystyle \delta(t) = \mathcal{F}^{-1}[1] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{j\omega t} \, d\omega}

Nota. Se debe observar que la integral \displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{j\omega t} \, d\omega} no tiene significado en este caso; por lo que, se debe interpretar el dato del teorema 5.1.2 como una función generalizada (o función simbólica), es decir que esta integral converge hacia a \delta(t) en el sentido de la función generalizada.

Teorema 3. Representación integral de \delta(t)

\displaystyle \delta(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{j\omega t} \, d\omega} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{(\cos{\omega t} + j \sin{\omega t}) \, d\omega} = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty}{\cos{\omega t} \, d\omega}

Teorema 4. Expresión general para \delta (y)

\displaystyle \delta(y) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{j x y} \, dx} = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty}{\cos{xy} \, dx}

Teorema 5. La transformada de Fourier de la función impulso desplazada \delta (t - t_0)

\displaystyle \mathcal{F}[\delta(t-t_0)] = \int_{-\infty}^{\infty}{\delta (t-t_0) e^{-j \omega t} \, dt} = e^{-j\omega t_0}

Teorema 6. La transformada de inversa de Fourier de la función impulso desplazada e^{-j\omega t_0}

\displaystyle \mathcal{F}^{-1} [e^{-j\omega t_0}] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-j \omega t_0} e^{j\omega t} \, d\omega} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{j \omega (t - t_0)} \, d\omega} = \delta(t-t_0)

Alternativa para determinar la fórmula de la inversión de la transformada de Fourier (transformada inversa de Fourier)

Sabiendo que

\displaystyle f(t) = \mathcal{F}^{-1} [F(\omega)]

Entonces

\displaystyle \mathcal{F}^{-1} [F(\omega)] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}{F(\omega) e^{j \omega t} \, d\omega} = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}{\left[\int_{-\infty}^{\infty}{f(y) e^{-j \omega y} \, dy} \right] e^{j \omega t} \, d\omega}

Multiplicando

\displaystyle \mathcal{F}^{-1} [F(\omega)] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(y) e^{-j \omega y} e^{j \omega t} \, dy} \, d\omega}= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(y) e^{(-j \omega y + j \omega t)} \, dy} \, d\omega}

Factorizando las potencias e intercambiando el orden de integración y los parámetros pertenecientes a él

\displaystyle \mathcal{F}^{-1} [F(\omega)] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(y) e^{j \omega (t-y)} \, dy} \, d\omega}= \int_{-\infty}^{\infty}{f(y) \left[ \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{j \omega (t-y)} \, d\omega} \right] \, dy}

Finalmente

\displaystyle \mathcal{F}^{-1} [F(\omega)] = \int_{-\infty}^{\infty}{f(y) \, \delta(t-y) \, dy} = f(t)

Nota. Se ha tomado la variable y como la variable comodín con el fin de no ocasionar confusiones.


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