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Funciones de correlación. Fourier.

Introducción

La función

\displaystyle R_{12}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_1 (t) f_2 (t-\tau) \, dt}

se conoce como la función de correlación entre las funciones f_1 (t) y f_2(t). En forma análoga, se define

\displaystyle R_{21}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_2 (t) f_1 (t-\tau) \, dt}

La función de correlación R_{12}(\tau) o R_{21} (\tau) suministra una medida de la similitud o interdependencia entre las funciones f_1(t) y f_2(t) en función del parámetro \tau (el desplazamiento de una función con respecto a la otra). Si la función de correlación es cero para todo valor de \tau, entonces se dice que las dos funciones no están correlacionadas.

Si f_1(t) y f_2(t) son idénticas, entonces la función de correlación

\displaystyle R_{11}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_1 (t) f_1 (t-\tau) \, dt}

se denomina función de autocorrelación de f_1(\tau).

Teoremas

Teorema 1. 

\displaystyle R_{12}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_1 (t) f_2 (t-\tau) \, dt} = \int_{-\infty}^{\infty}{f_1 (t+\tau) f_2 (t) \, dt}

\displaystyle R_{21}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_2 (t) f_1 (t-\tau) \, dt} = \int_{-\infty}^{\infty}{f_2 (t+\tau) f_1 (t) \, dt}

\displaystyle R_{11}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_1 (t) f_1 (t-\tau) \, dt} = \int_{-\infty}^{\infty}{f_1 (t+\tau) f_1 (t) \, dt}

Teorema 2. 

\displaystyle R_{12} (\tau) = R_{21} (-\tau)

\displaystyle R_{11} (\tau) = R_{11} (-\tau)

Teorema 3. La correlación de f_1(t) y f_2(t) está relacionada con la convolución de f_1(t) y f_2(-t).

Teorema 4. Si \mathcal{F}[f_1(t)] = F_1(\omega)\mathcal{F}[f_2(t)] = F_2(\omega)

\mathcal{F}[R_{12}(\tau)] = F_1(\omega) F_2 (-\omega)

\mathcal{F}[R_{21}(\tau)] = F_1(-\omega) F_2 (\omega)

\mathcal{F}[R_{11}(\tau)] = F_2(\omega) F_1 (-\omega)

Así mismo, si f(t) es real

\mathcal{F}[R_{11}(\tau)] = |F(\omega)|^*

Teorema 5. 

\displaystyle R_{11}(0) = \int_{-\infty}^{\infty}{[f_1(t)]^2 \, dt}

Teorema de Wiener – Khinichine

De las ecuaciones

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{R_{11} (\tau) \ e^{-j \omega \tau} \, d\tau} = |F_1 (\omega)|^2

o

\displaystyle \mathcal{F}[R_{11} (\tau)] = |F_1(\omega)|^2

se sigue que la transformada de Fourier de la función autocorrelación R_{11} (\tau), conduce al espectro de energía |F_1(\omega)|^2 de f_1(t). En otras palabras, la función de autocorrelación R_{11}(\tau) y la densidad espectral de energía |F_1(\omega)|^2, constituyen un par de transformadas de Fourier, es decir,

\displaystyle |F_1(\omega)|^2 = \mathcal{F}[R_{11} (\tau)] = \int_{-\infty}^{\infty}{R_{11} (\tau) \ e^{-j\omega \tau} \, d\tau}

\displaystyle R_{11} (\tau) = \mathcal{F}^{-1} [|F_1(\omega)|^2] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{|F_1(\omega)|^2 \ e^{-j\omega \tau} \, d\omega}

Este resultado se conoce como el teorema de Wiener – Khinichine.


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