Funciones de correlación. Fourier.

Introducción

La función

$\displaystyle R_{12}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_1 (t) f_2 (t-\tau) \, dt}$

se conoce como la función de correlación entre las funciones $f_1 (t)$ y $f_2(t)$ . En forma análoga, se define

$\displaystyle R_{21}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_2 (t) f_1 (t-\tau) \, dt}$

La función de correlación $R_{12}(\tau)$ o $R_{21} (\tau)$ suministra una medida de la similitud o interdependencia entre las funciones $f_1(t)$ y $f_2(t)$ en función del parámetro $\tau$ (el desplazamiento de una función con respecto a la otra). Si la función de correlación es cero para todo valor de $\tau$ , entonces se dice que las dos funciones no están correlacionadas.

Si $f_1(t)$ y $f_2(t)$ son idénticas, entonces la función de correlación

$\displaystyle R_{11}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_1 (t) f_1 (t-\tau) \, dt}$

se denomina función de autocorrelación de $f_1(\tau)$ .

Teoremas

Teorema 1.

$\displaystyle R_{12}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_1 (t) f_2 (t-\tau) \, dt} = \int_{-\infty}^{\infty}{f_1 (t+\tau) f_2 (t) \, dt}$

$\displaystyle R_{21}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_2 (t) f_1 (t-\tau) \, dt} = \int_{-\infty}^{\infty}{f_2 (t+\tau) f_1 (t) \, dt}$

$\displaystyle R_{11}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_1 (t) f_1 (t-\tau) \, dt} = \int_{-\infty}^{\infty}{f_1 (t+\tau) f_1 (t) \, dt}$

Teorema 2.

$\displaystyle R_{12} (\tau) = R_{21} (-\tau)$

$\displaystyle R_{11} (\tau) = R_{11} (-\tau)$

Teorema 3. La correlación de $f_1(t)$ y $f_2(t)$ está relacionada con la convolución de $f_1(t)$ y $f_2(-t)$ .

Teorema 4. Si $\mathcal{F}[f_1(t)] = F_1(\omega)$ y $\mathcal{F}[f_2(t)] = F_2(\omega)$

$\mathcal{F}[R_{12}(\tau)] = F_1(\omega) F_2 (-\omega)$

$\mathcal{F}[R_{21}(\tau)] = F_1(-\omega) F_2 (\omega)$

$\mathcal{F}[R_{11}(\tau)] = F_2(\omega) F_1 (-\omega)$

Así mismo, si $f(t)$ es real

$\mathcal{F}[R_{11}(\tau)] = |F(\omega)|^*$

Teorema 5.

$\displaystyle R_{11}(0) = \int_{-\infty}^{\infty}{[f_1(t)]^2 \, dt}$

Teorema de Wiener – Khinichine

De las ecuaciones

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{R_{11} (\tau) \ e^{-j \omega \tau} \, d\tau} = |F_1 (\omega)|^2$

$\displaystyle \mathcal{F}[R_{11} (\tau)] = |F_1(\omega)|^2$

se sigue que la transformada de Fourier de la función autocorrelación $R_{11} (\tau)$ , conduce al espectro de energía $|F_1(\omega)|^2$ de $f_1(t)$ . En otras palabras, la función de autocorrelación $R_{11}(\tau)$ y la densidad espectral de energía $|F_1(\omega)|^2$ , constituyen un par de transformadas de Fourier, es decir,

$\displaystyle |F_1(\omega)|^2 = \mathcal{F}[R_{11} (\tau)] = \int_{-\infty}^{\infty}{R_{11} (\tau) \ e^{-j\omega \tau} \, d\tau}$

$\displaystyle R_{11} (\tau) = \mathcal{F}^{-1} [|F_1(\omega)|^2] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{|F_1(\omega)|^2 \ e^{-j\omega \tau} \, d\omega}$