Convolución. Fourier.

Introducción

Sean $f_1 (t)$ y $f_2(t)$ dos funciones dadas. La convolución de $f_1(t)$ y $f_2(t)$ , está definida por la función

$\displaystyle f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_1 (x) f_2 (t-x) \, dx}$ ,

la cual se expresa simbólicamente como

$f(t) =f_1 (t) * f_2 (t)$

Un caso especial importante es aquel en el cual

$f_1 (t) = 0$ para $t<0$ ,

$f_2(t) = 0$ para $t<0$ .

Entonces, la integral que representa la convolución de $f(t)$ , se convierte en

$\displaystyle f(t) = f_1(t) * f_2(t) = \int_0^{t}{f_1 (x) f_2 (t-x) \, dx}$

Teoremas

Teorema 1. La convolución cumple con la ley conmutativa; esto es

$f_1 (t) * f_2(t) = f_2(t) * f_1(t)$

Teorema 2. La convolución cumple con la ley asociativa; esto es

$[f_1(t) * f_2(t)] * f_3(t) = f_1(t) * [f_2(t) * f_3(t)]$

Teorema 3. La convolución de una función $f(t)$ con una función impulsiva unitaria $\delta (t)$ conduce a la misma función $f(t)$ ; esto es

$\displaystyle f(t) * \delta(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(x) \delta(t-x) \, dx} = f(t)$

Teorema 4.

$f(t) * \delta(t-T) = f(t-T)$

$f(t - t_1) * \delta(t - t_2) = f(t - t_1 - t_2)$

Teorema 5. El teorema de convolución en el tiempo afirma que si $\mathcal{F}[f_1(t)] = F_1( \omega)$ , y $\mathcal{F}[f_2(t)] = F_2( \omega)$ , entonces

$\displaystyle \mathcal{F}[f_1 (t) * f_2(t)] = F_1(\omega) F_2(\omega)$

Teorema 6. El teorema de convolución en la frecuencia afirma que si $\mathcal{F}^{-1}[F_1(\omega)] = f_1 (t)$ y $\mathcal{F}^{-1}[F_2(\omega)] = f_2 (t)$ , entonces

$\displaystyle \mathcal{F}^{-1}[F_1(\omega) * F_2 (\omega)] = 2\pi f_1 (t) f_2 (t)$

o también,

$\displaystyle \mathcal{F}[f_1(t) f_2 (t)] = \frac{1}{2\pi} F_1 (\omega) * F_2 (\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{F_1(\omega) F_2 (\omega-y) \, dy}$

Problema resuelto

Problema 1. Utilizar la convolución para encontrar $\displaystyle f(t) = \mathcal{F}^{-1} \left[ \frac{1}{(1+j \omega)^2} \right]$ .

Solución. Se observa primero que

$\displaystyle f(t) = \mathcal{F}^{-1} \left[ \frac{1}{(1+j \omega)^2} \right]$

$\displaystyle \mathcal{F}[f(t)] = \frac{1}{(1+j \omega)^2}$

$\displaystyle F(\omega) = \frac{1}{(1+j \omega)} \times \frac{1}{(1+j \omega)}$

$\displaystyle F(\omega) = F_1 (\omega) F_2 (\omega)$

Después, se determina la siguiente transformada de Fourier

$\displaystyle \mathcal{F} \left[\frac{1}{1+j \omega} \right] = e^{-t} \, u(t)$

Luego, aplicando el teorema de convolución

$\displaystyle f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x} \, u(x) e^{-(t-x)} \, u(t-x) \, dx}$

$\displaystyle f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x} \, e^{-(t-x)} \, u(x) \, u(t-x) \, dx}$

Este integrando incluye el factor $u(x) \, u(t-x)$ . Como $u(x) = 0$ para $x<0$ , y $u(t-x) = 0$ para $x>t$ , entonces

$\displaystyle u(x) \, u(t-x) = \left\{ \begin{matrix} 0, & 0>x \quad \text{y} \quad x>t\\ 1, & 0<x<t \end{matrix} \right.$

De donde

$\displaystyle f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x} \, e^{-(t-x)} \, u(x) \, u(t-x) \, dx}$

$\displaystyle f(t) = \int_{-\infty}^{0}{e^{-x} \,e^{-(t-x)} \, (0) \, dx} + \int_{0}^{t}{e^{-x} \, e^{-(t-x)} \, (1) \, dx} + \int_{t}^{\infty}{e^{-x} \, e^{-(t-x)} \, (0) \, dx}$