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Convolución. Fourier.

Introducción

Sean f_1 (t) y f_2(t) dos funciones dadas. La convolución de f_1(t) y f_2(t), está definida por la función

\displaystyle f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{f_1 (x) f_2 (t-x) \, dx},

la cual se expresa simbólicamente como

f(t) =f_1 (t) * f_2 (t)

Un caso especial importante es aquel en el cual

f_1 (t) = 0 para t<0,

f_2(t) = 0 para t<0.

Entonces, la integral que representa la convolución de f(t), se convierte en

\displaystyle f(t) = f_1(t) * f_2(t) = \int_0^{t}{f_1 (x) f_2 (t-x) \, dx}

Teoremas

Teorema 1. La convolución cumple con la ley conmutativa; esto es

f_1 (t) * f_2(t) = f_2(t) * f_1(t)

Teorema 2. La convolución cumple con la ley asociativa; esto es

[f_1(t) * f_2(t)] * f_3(t) = f_1(t) * [f_2(t) * f_3(t)]

Teorema 3. La convolución de una función f(t) con una función impulsiva unitaria \delta (t) conduce a la misma función f(t); esto es

\displaystyle f(t) * \delta(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(x) \delta(t-x) \, dx} = f(t)

Teorema 4.

f(t) * \delta(t-T) = f(t-T)

f(t - t_1) * \delta(t - t_2) = f(t - t_1 - t_2)

Teorema 5. El teorema de convolución en el tiempo afirma que si \mathcal{F}[f_1(t)] = F_1( \omega), y \mathcal{F}[f_2(t)] = F_2( \omega), entonces

\displaystyle \mathcal{F}[f_1 (t) * f_2(t)] = F_1(\omega) F_2(\omega)

Teorema 6. El teorema de convolución en la frecuencia afirma que si \mathcal{F}^{-1}[F_1(\omega)] = f_1 (t)\mathcal{F}^{-1}[F_2(\omega)] = f_2 (t), entonces

\displaystyle \mathcal{F}^{-1}[F_1(\omega) * F_2 (\omega)] = 2\pi f_1 (t) f_2 (t)

o también,

\displaystyle \mathcal{F}[f_1(t) f_2 (t)] = \frac{1}{2\pi} F_1 (\omega) * F_2 (\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{F_1(\omega) F_2 (\omega-y) \, dy}

Problema resuelto

Problema 1. Utilizar la convolución para encontrar \displaystyle f(t) = \mathcal{F}^{-1} \left[ \frac{1}{(1+j \omega)^2} \right].

Solución. Se observa primero que

\displaystyle f(t) = \mathcal{F}^{-1} \left[ \frac{1}{(1+j \omega)^2} \right]

\displaystyle \mathcal{F}[f(t)] = \frac{1}{(1+j \omega)^2}

\displaystyle F(\omega) = \frac{1}{(1+j \omega)} \times \frac{1}{(1+j \omega)}

\displaystyle F(\omega) = F_1 (\omega) F_2 (\omega)

Después, se determina la siguiente transformada de Fourier

\displaystyle \mathcal{F} \left[\frac{1}{1+j \omega} \right] = e^{-t} \, u(t)

Luego, aplicando el teorema de convolución

\displaystyle f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x} \, u(x) e^{-(t-x)} \, u(t-x) \, dx}

\displaystyle f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x} \, e^{-(t-x)} \, u(x) \, u(t-x) \, dx}

Este integrando incluye el factor u(x) \, u(t-x). Como u(x) = 0 para x<0, y u(t-x) = 0 para x>t, entonces

\displaystyle u(x) \, u(t-x) = \left\{ \begin{matrix} 0, & 0>x \quad \text{y} \quad x>t\\ 1, &  0<x<t \end{matrix} \right.

De donde

\displaystyle f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x} \, e^{-(t-x)} \, u(x) \, u(t-x) \, dx}

\displaystyle f(t) = \int_{-\infty}^{0}{e^{-x} \,e^{-(t-x)} \, (0) \, dx} + \int_{0}^{t}{e^{-x} \,  e^{-(t-x)} \, (1) \, dx} + \int_{t}^{\infty}{e^{-x} \, e^{-(t-x)} \, (0) \, dx}

\displaystyle f(t) = \int_{0}^{t}{e^{-x} e^{-(t-x)} \, dx} = \int_{0}^{t}{e^{-x} e^{-t+x} \, dx}

\displaystyle f(t) = \int_{0}^{t}{e^{-x} \, e^{-t} \, e^{x} \, dx} = \int_{0}^{t}{e^{-t} \, dx} = e^{-t} \int_{0}^{t}{dx}

\displaystyle \therefore f(t) = t e^{-t} u(t)


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