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Transformada de Fourier. Fourier

Introducción

La función F(\omega) definida por

\displaystyle F (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) e^{-j \omega \, t} \, dt}

– – – (1)

se conoce como la integral de Fourier o la transformada de Fourier de f(t), y la operación de integración simbólica frecuentemente por \mathcal{F}; esto es

\displaystyle F (\omega) = \mathcal{F} [f(t)]= \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) e^{-j \omega \, t} \, dt}

– – – (2)

Análogamente \mathcal{F}^{-1} es el símbolo que se utiliza para indicar la operación inversa, es decir, para obtener f(t) cuando F(\omega) está dado; esto es,

\displaystyle f(t) = \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{F(\omega) e^{j \omega \, t} \, d\omega}

– – – (3)

y f(t) se denomina transformada inversa de Fourier de F(\omega). Las ecuaciones (2) y (3) se conocen a menudo como par de transformadas de Fourier. La condición para que exista F(\omega) generalmente está dada por

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{|f(t)| \, dt} < \infty

– – – (4)

En otros términos, la integral del valor absoluto de f(t) debe ser finita.

Nota. Se debe observa que la ecuación (4) es una condición suficiente pero no necesaria para la existencia de \mathcal{F}[f(t)]; las funciones que no satisfacen a la ecuación (4) pueden tener transformadas de Fourier.

La función F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] es, en general, compleja y, se tiene

F(\omega) = R(\omega) + j X(\omega) = |F(\omega)| e^{j \phi(\omega)}

donde |F(\omega)| se denomina espectro de magnitud de f(t), y \phi(\omega), espectro de fase de f(t).

Teoremas y demostraciones

Teorema 1. Si f(t) es real, las partes real e imaginaria de F(\omega) son

\displaystyle R(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \cos{\omega t} \, dt}

\displaystyle X(\omega) = - \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \sin{\omega t} \, dt}

Así mismo R(\omega) y X(\omega) son funciones par e impar de \omega, respectivamente; es decir,

R(\omega) = R(-\omega)

X(\omega) = - X(-\omega)

F(-\omega) = F^*(\omega)

donde F^*(\omega) denota el conjugado complejo de F(\omega).

Demostración del teorema 1. Partiendo de la ecuación

\displaystyle F (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) e^{-j \omega \, t} \, dt}

Utilizando la idéntidad de Euler

e^{-j \omega \, t} = \cos{\omega t} - j\sin{\omega t}

La ecuacion tiene la siguiente expresión

\displaystyle F (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) (\cos{\omega t} - j\sin{\omega t}) \, dt}

\displaystyle F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \cos{\omega t} \, dt} - j\int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \sin{\omega t} \, dt}

F(\omega) = R(\omega) + j X(\omega)

Igualando las partes real e imaginaria

\displaystyle R (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \cos{\omega t} \, dt}

\displaystyle X(\omega) = - \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \sin{\omega t} \, dt}

Y estos son la  parte real y parte imaginaria de F(\omega), del teorema 1, si f(t) es real. Ahora se observará que R(\omega) es par y X(\omega) es imaginaria. Para R(\omega)

\displaystyle R (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \cos{\omega t} \, dt}

\displaystyle R (-\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \cos{(-\omega t)} \, dt}

\displaystyle R (-\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \cos{\omega t} \, dt}

\displaystyle R (\omega) = R(-\omega)

Esto queda demostrado que R (\omega) es par. Y para X(\omega)

\displaystyle X(\omega) = - \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \sin{\omega t} \, dt}

\displaystyle X(-\omega) = - \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \sin{(-\omega t)} \, dt}

\displaystyle X(\omega) = - \left[- \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \sin{\omega t} \, dt} \right]

\displaystyle X(\omega) = - X(-\omega)

O también

\displaystyle X(-\omega) = - X(\omega)

Esto queda demostrado que X (\omega) es impar. Por último

F(\omega) = R(\omega) + j X(\omega)

F(-\omega) = R(-\omega) + j X(-\omega)

F(-\omega) = R(\omega) - j X(\omega)

F(-\omega) = F^*(\omega)

Y esto queda demostrado.

Teorema 2. La ecuación F(-\omega) = F^*(\omega) es condición necesaria y suficiente para que f(t) sea real.

Demostración del teorema 2. Sea

f(t) = f_1 (t) + jf_2(t)

donde f_1(t) y f_2 (t) son funciones reales. Luego

f(t) = f_1 (t) + jf_2(t)

\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \, e^{j \omega t} \, dt} = f_1 (t) + jf_2(t)

\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) + j X(\omega)] \, (\cos{\omega t} + j\sin{\omega t} \, dt} = f_1 (t) + jf_2(t)

\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) \cos{\omega t} + j X(\omega) \cos{\omega t} + j R(\omega t) \sin{\omega t} - R(\omega) \cos{\omega t}] \, dt} = f_1 (t) + jf_2(t)

\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) \cos{\omega t} - X(\omega) \sin{\omega t}] \, dt} + j\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) \sin{\omega t} + X(\omega) \cos{\omega t}] \, dt} = f_1 (t) + jf_2(t)

\displaystyle f_1 (t) + jf_2(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) \cos{\omega t} - X(\omega) \sin{\omega t}] \, dt} + j\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) \sin{\omega t} + X(\omega) \cos{\omega t}] \, dt}

\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) \cos{\omega t} - X(\omega) \sin{\omega t}] \, dt} + j\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) \sin{\omega t} + X(\omega) \cos{\omega t}] \, dt}

Por el método de igualación se observa que

\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) \cos{\omega t} - X(\omega) \sin{\omega t}] \, dt} = f_1 (t)

\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) \sin{\omega t} + X(\omega) \cos{\omega t}] \, dt} = f_2(t)

Ahora, si F(-\omega) = F^*(\omega), entonces

R(-\omega) = R(\omega)

X(- \omega) = - X(\omega)

En consecuencia

R(- \omega) \sin{(- \omega t)} = - R(\omega) \sin{\omega t}

R (- \omega) \cos{(- \omega t)} = R(\omega) \cos{\omega t}

X(-\omega) \sin{(- \omega t)} = [-X(\omega)] [- \sin{\omega t}] = X(\omega) \sin{\omega t}

X(- \omega) \cos{(- \omega t)} = [-X(\omega)] \cos{\omega t} = - X(\omega) \cos{\omega t}

Por lo que R(\omega) \sin{\omega t} y X(\omega) \cos{\omega t} son funciones impares de \omega mientras que R(\omega) \cos{\omega t} y X(\omega) \sin{\omega t} son funciones pares de \omega, y el integrando

\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) \cos{\omega t} - X(\omega) \sin{\omega t}] \, dt} + j\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) \sin{\omega t} + X(\omega) \cos{\omega t}] \, dt}

es una función impar de \omega. Por consiguiente

\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{R(\omega) \cos{\omega t} \, dt} -  \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{X(\omega) \sin{\omega t} \, dt} + j\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{R(\omega) \sin{\omega t} \, dt} + j\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{X(\omega) \cos{\omega t} \, dt}

\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{R(\omega) \cos{\omega t} \, dt} -  \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{X(\omega) \sin{\omega t} \, dt} + j0 + j0

\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{R(\omega) \cos{\omega t} \, dt} -  \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{X(\omega) \sin{\omega t} \, dt} + j0

se tiene que f_2 (t) = 0, es decir, f(t) es real. Por tanto, se concluye que la ecuación F(-\omega) = F^*(\omega) es condición necesaria y suficiente para que f(t) sea real.

Teorema 3. Si f(t) es real, su espectro de magnitud |F(\omega)| es una función par de \omega, y que su espectro de fase \phi (\omega) es una función impar de \omega.

Demostración del teorema 3. Si f(t) es real, entonces

F(-\omega) = F^*(\omega)

Recordando que

\displaystyle F(\omega) = |F(\omega)| e^{j \phi(\omega)}

Tambien se tiene que

\displaystyle F(- \omega) = |F(- \omega)| e^{j \phi(-\omega)}

\displaystyle F^*(\omega) = |F(\omega)| e^{- j \phi(\omega)}

Después

F(-\omega) = F^*(\omega)

|F(- \omega)| e^{j \phi(-\omega)} = |F(\omega)| e^{-j \phi(\omega)}

Por el método de igualación, se concluye que

|F(-\omega)| = |F(\omega)|

\phi(-\omega) = - \phi(\omega)

es decir,  el espectro de magnitud |F(\omega)| es una función par de \omega y el su espectro de fase \phi (\omega) es una función impar de \omega.

Teorema 4. Si la transformada de Fourier de una función real f(t) es real, entonces f(t) es una función par de t, y que si la transformada de Fourier de una función real f(t) es imaginaria pura, entonces f(t) es una función impar de t.

Demostración del teorema 4. Sea

\mathcal{F}[f(t)] = F(\omega) = R(\omega) + jX(\omega)

Recordando que

\displaystyle R(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \cos{\omega t} \, dt}

\displaystyle X(\omega) = - \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \sin{\omega t} \, dt}

Si F(\omega) = R(\omega) y X(\omega) = 0, entonces

\displaystyle X(\omega) = - \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \sin{\omega t} \, dt}

debe ser impar con respecto a t. Puesto que \sin{\omega t} es una función impar de t, f(t) debe de ser una función par de t.

Problemas resueltos

Problema 1. Encontrar la transformada de Fourier del pulso rectangular p_d (t) definido por

\displaystyle p_d (t) = \left\{ \begin{matrix} 1, \quad |t| < \frac{1}{2} d \\0, \quad |t|> \frac{1}{2} d \end{matrix} \right.

Figura 4.2.1 Pulso rectangular del problema 1
Figura 1. Pulso rectangular del problema 1.

Solución.

\displaystyle f(t) = p_d (t)

\displaystyle \mathcal{F}[f(t)] = \mathcal{F}[p_d (t)]

\displaystyle F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{p_d (t) e^{-j \omega t} \, dt}

\displaystyle F(\omega) = \int_{-d/2}^{d/2}{(1) e^{-j \omega t} \, dt} = \int_{-d/2}^{d/2}{e^{-j \omega t} \, dt}

\displaystyle F (\omega) = \left[-\frac{1}{j \omega} e^{-j \omega t} \right]_{-d/2}^{d/2}

\displaystyle F (\omega) = \left[-\frac{1}{j \omega} e^{-j \omega d/2} + \frac{1}{j \omega} e^{-j \omega (-d/2)} \right]

\displaystyle F (\omega) = \left[-\frac{1}{j \omega} e^{-j \omega d/2} + \frac{1}{j \omega} e^{j \omega d/2} \right]

\displaystyle F (\omega) = \frac{1}{j \omega} \left(- e^{-j \omega d/2} + e^{j \omega d/2} \right)

\displaystyle F (\omega) = \frac{1}{j \omega} \left(e^{j \omega d/2} - e^{-j \omega d/2} \right)

\displaystyle F (\omega) = \frac{1}{\omega} \left(\frac{e^{j \omega d/2} - e^{-j \omega d/2}}{j} \right)

\displaystyle F (\omega) = \frac{1}{\omega} \frac{2}{2} \left(\frac{e^{j \omega d/2} - e^{-j \omega d/2}}{j} \right)

\displaystyle F (\omega) = \frac{2}{\omega} \left(\frac{e^{j \omega d/2} - e^{-j \omega d/2}}{2j} \right)

\displaystyle F (\omega) = \frac{2}{\omega} \sin{\left(\frac{\omega d}{2} \right)}

\displaystyle F (\omega) = \frac{2}{\omega} \cdot \frac{\frac{\omega d}{2}}{\frac{\omega d}{2}} \cdot \sin{\left(\frac{\omega d}{2} \right)}

\displaystyle F (\omega) = \frac{2}{\omega} \cdot \frac{\omega d}{2} \cdot \frac{\sin{\left(\frac{\omega d}{2} \right)}}{\frac{\omega d}{2}}

\displaystyle F (\omega) = d \cdot \frac{\sin{\left(\frac{\omega d}{2} \right)}}{\frac{\omega d}{2}}

Finalmente

\displaystyle \therefore F(\omega) = d \cdot \frac{\sin{\left(\frac{\omega d}{2} \right)}}{\frac{\omega d}{2}}

Figura 4.2.2 La transformada de Fourier del pulso rectangular del problema 1
Figura 2. Transformada de Fourier del pulso rectangular del problema 1.

Problema 2. Encontrar la transformada de Fourier de f(t) definida por

\displaystyle f (t) = \left\{ \begin{matrix} e^{-\alpha t}, & t > 0 \\0, & t < 0 \end{matrix} \right.

donde \alpha > 0.

Figura 4.2.3 Funcion f(t) del problema 2
Figura 3. Función f(t) del problema 2.

Solución.

\displaystyle f(t) = f (t)

\displaystyle \mathcal{F}[f(t)] = \mathcal{F}[f(t)]

\displaystyle F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f (t) e^{-j \omega t} \, dt}

\displaystyle F(\omega) = \int_{0}^{\infty}{e^{-\alpha t} e^{-j \omega t} \, dt} = \int_{0}^{\infty}{e^{-(\alpha + j\omega) t} \, dt}

\displaystyle F(\omega) = \left[- \frac{1}{\alpha + j\omega} e^{-(\alpha + j\omega) t} \right]_{0}^{\infty}

\displaystyle F(\omega) = \left[- \frac{1}{\alpha + j\omega} e^{-(\alpha + j\omega) \infty} + \frac{1}{\alpha + j\omega} e^{-(\alpha + j\omega) (0)} \right]

\displaystyle F(\omega) = \left[- \frac{1}{\alpha + j\omega} (0) + \frac{1}{\alpha + j\omega} (1) \right]

\displaystyle F(\omega) = \left(0 + \frac{1}{\alpha + j\omega} \right)

\displaystyle F(\omega) = \frac{1}{\alpha + j\omega}

Finalmente

\displaystyle \therefore F(\omega) = \frac{1}{\alpha + j\omega}


1 comentario en “Transformada de Fourier. Fourier”

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