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Ortogonalidad de funciones complejas de las series de Fourier. Forier.

Introducción

El conjunto de funciones complejas f(t) se denomina ortogonal en el intervalo a < t < b, si

\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \left\{ \begin{matrix} 0, \quad \text{para} \quad n \ne m \\ r_n, \quad \text{para} \quad n = m \end{matrix} \right.

donde f_m^*(t) es el conjugado complejo de f_m(t).

Teoremas

Teorema 1. El conjunto de funciones complejas de la serie de Fourier |e^{j n \omega_0 t}|, n= 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots, obedece la condición de ortogonalidad para n \ne m en el intervalo -T/2 < t < T/2, donde \omega_0 = 2\pi/T.

Demostración. Con f_n (t) = e^{j n \omega_0 t}, f_m (t) = e^{j m \omega_0 t} y -T/2 < t < T/2,  y cuando m=0f_m (t) = e^{j m \omega_0 (0)} = 1, se tiene que

\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \int_{-T/2}^{T/2}{e^{j n \omega_0 t} (1) \, dt}

\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \int_{a}^{b}{e^{j n \omega_0 t} \, dt}

\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \left[\frac{1}{jn \omega_0} e^{j n \omega_0 t} + C \right]_{-T/2}^{T/2}

\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \frac{1}{jn \omega_0} e^{j n \omega_0 (T/2)} - \frac{1}{jn \omega_0} e^{j n \omega_0 (-T/2)}

\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \frac{1}{j n \frac{2\pi}{T} } e^{j n (\frac{2\pi}{T}) (\frac{T}{2})} - \frac{1}{j n (\frac{2\pi}{T})} e^{j n (\frac{2\pi}{T}) (-\frac{T}{2})}

\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \frac{T}{j 2 n \pi} e^{j n \pi} - \frac{T}{j 2 n \pi} e^{-j n \pi}

\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \frac{T}{j 2 n \pi} (0) - \frac{T}{j 2 n \pi} (0)

\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = 0

para n \ne 0. Cuando m \ne 0 y n \ne m, resulta los siguiente

\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \int_{-T/2}^{T/2}{e^{j n \omega_0 t} [e^{j n \omega_0 t}]^* \, dt}

\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \int_{-T/2}^{T/2}{e^{j n \omega_0 t} e^{-j n \omega_0 t} \, dt} = \int_{-T/2}^{T/2}{e^{j \omega_0 (n- m) t} \, dt}

\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \left[\frac{1}{j \omega_0 (n-m)} e^{j \omega_0 (n- m) t} + C \right]_{-T/2}^{T/2}

\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \frac{1}{j \omega_0 (n-m)} e^{j \omega_0 (n- m) (\frac{T}{2})} - \frac{1}{j \omega_0 (n-m)} e^{j \omega_0 (n- m) (-\frac{T}{2})}

\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \frac{1}{j (\frac{2\pi}{T}) (n-m)} e^{j (\frac{2\pi}{T}) (n- m) (\frac{T}{2})} - \frac{1}{j (\frac{2\pi}{T}) (n-m)} e^{j (\frac{2\pi}{T}) (n- m) (-\frac{T}{2})}

\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \frac{T}{j2 \pi (n-m)} e^{j \pi (n- m)} - \frac{T}{j2 \pi (n-m)} e^{- j \pi  (n- m)}

\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \frac{T}{j 2 \pi (n-m)} \left[ e^{j \pi (n- m)} - e^{- j \pi  (n- m)} \right]

\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \frac{T}{j 2 \pi (n-m)} \left[ (-1)^{(n- m)} - (-1)^{(n- m)} \right]

\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = 0

Y con esto queda demostrado el teorema 1.

¿Cómo determinar los coeficientes de la serie compleja de Fourier utilizando la propiedad de ortogonalidad del conjunto de funciones complejas ejnω0t?

Sea f(t) una función periódica con período T, y sea la serie de Fourier en forma compleja, correspondiente a esta función dada por

\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n e^{j n \omega_0 t}}

donde \omega_0 = 2\pi/T.

Multiplicando por e^{-j m \omega_0 t} en ambos miembros, resulta

\displaystyle f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} = \left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n e^{j n \omega_0 t}} \right] \cdot e^{-j m \omega_0 t}

\displaystyle f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n e^{j n \omega_0 t} e^{-j m \omega_0 t}}

\displaystyle f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n e^{j (n - m) \omega_0 t}}

Integrando en ambos miembros en el intervalo [-T/2, \, T/2], se obtiene

\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} \, dt} = \int_{-T/2}^{T/2}{\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n e^{j (n - m) \omega_0 t}} \right] \, dt}

\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} \, dt} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n \left[ \int_{-T/2}^{T/2}{e^{j (n - m) \omega_0 t} \, dt} \right]}

Si n = m

\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} \, dt} = c_m \left( \int_{-T/2}^{T/2}{e^{0} \, dt} \right)

\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} \, dt} = c_m \left[ \int_{-T/2}^{T/2}{(1)\, dt} \right] = c_m \left(\int_{-T/2}^{T/2}{dt} \right)

\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} \, dt} =c_m \left[ \frac{T}{2} - \left(-\frac{T}{2} \right) \right]

\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} \, dt} = c_m \left( \frac{T}{2} + \frac{T}{2} \right)

\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} \, dt} = c_m \left( T \right)

\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} \, dt} = T c_m

Cambiando m por n

\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j n \omega_0 t} \, dt} = T c_n

Y despejando c_n, resulta

\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} \, dt} = c_n

\displaystyle \therefore c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j n \omega_0 t} \, dt}

Si n=0

\displaystyle c_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j n \omega_0 (0)} \, dt}

\displaystyle c_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^0\, dt}

\displaystyle c_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) (1) \, dt}

\displaystyle \therefore c_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \, dt}

Y si n fuera -n

\displaystyle c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j n \omega_0 t} \, dt} \quad  \rightarrow \quad c_{-n} = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j (-n) \omega_0 t} \, dt}

\displaystyle \therefore c_{-n} = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{j n \omega_0 t} \, dt}

Y así es como se obtienen los coeficientes de la serie compleja de Fourier utilizando la propiedad de ortogonalidad del conjunto de funciones complejas e^{j n \omega_0 t}.


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