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La función impulso δ. Fourier.

La función impulso unitaria \delta (t), conocida también como función delta, se puede definir de varias maneras. Generalmente, se expresa mediante la siguiente relación

\displaystyle \delta (t) = \left\{ \begin{matrix} 0 \quad t \ne 0 \\ \infty \quad t = 0 \end{matrix} \right.

Esto indica que \delta(t) es cero excepto en t=0, donde se hace infinita, de tal manera que se cumpla con la segunda ecuación. Desarrollando la integral impropia con valores aproximados en sus límites de integración, se tiene lo siguiente,

\displaystyle \int_{- \infty}^{\infty}{\delta(t) \, dt} = \int_{-\infty}^{-\varepsilon}{\delta(t) \, dt} + \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}{\delta(t) \, dt} + \int_{\varepsilon}^{\infty}{\delta(t) \, dt}

por la definición de la función delta, resulta que

\displaystyle \int_{- \infty}^{\infty}{\delta(t) \, dt} = \int_{-\infty}^{-\varepsilon}{0 \, dt} + \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}{\delta(t) \, dt} + \int_{\varepsilon}^{\infty}{0 \, dt}

\displaystyle \int_{- \infty}^{\infty}{\delta(t) \, dt} = \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}{\delta(t) \, dt}

\displaystyle \int_{- \infty}^{\infty}{\delta(t) \, dt} = 1

donde \varepsilon > 0.

La función delta también se puede definir en términos de las propiedades de sus integrales solamente, ésta es la definición que se utilizará. A partir de aquí, \delta(t) se definirá en el sentido de la llamada función generalizada  (o simbólica).

Suponiendo que la función de prueba \phi(t) (llamada función de prueba) es una función continua, que se anula fuera de algún intervalo finito, entonces la función \delta(t) se define como una función simbólica por la relación

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{\delta(t) \phi(t) \, dt} = \phi(0)

Esta expresión no tiene significado común de una integral definida, sino que la integral, así como la función \delta(t), están definidas por el número \phi(0) asignado a la función \phi(t).

Con la interpretación anterior, resulta que \delta(t) se puede tratar como si fuera una función ordinaria, excepto que nunca se hablará del valor de \delta(t), pero sí de los valores de las integrales en que aparece \delta(t).

Teoremas que se relacionan con la función δ

Teorema 1.

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{\delta(t-t_0) \phi(t) \, dt} =\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(t) \phi(t-t_0) \, dt} = \phi(t_0)

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{\delta(at) \phi(t) \, dt} = \frac{1}{|a|} \int_{-\infty}^{\infty}{\delta(t) \phi(\frac{1}{a}) \, dt} = \frac{1}{|a|} \phi(0)

Teorema 2. Si g(t) es una función continua en t=t_0 y a<b, entonces

\displaystyle \int_{a}^{b}{\delta(t-t_0) g(t) \, dt} = \left\{ \begin{matrix} g(t_0) \quad a<t_0<b \\0 \quad \quad b < t_0 < a \end{matrix} \right.

Teorema 3. Si a<b

\displaystyle \int_{a}^{b}{\delta(t-t_0) \, dt} = \left\{ \begin{matrix}1 \quad a < t_0 < b \\0 \quad b < t_0 < a \end{matrix} \right.

Teorema 4. Si f(t) es una función continua y \phi(t) es una función de prueba arbitraria, entonces

f(t) \delta(t) = f(0) \delta(t)

t \delta(t) = 0

\displaystyle \delta(at) = \frac{1}{|a|} \delta(t)

\displaystyle \delta(-t) = \delta(t)

Derivadas de la función δ

La derivada \delta'(t) de \delta(t) está definida por la relación integral

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{\delta' (t) \phi(t) \, dt} = -\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(t) \phi'(t) \, dt} = \phi'(0)

donde

\displaystyle \delta'(t) = \frac{d}{dt}[\delta (t)] , \displaystyle \phi'(0) =  \left. \frac{d\phi}{dt} \right|_{t=0}

La ecuación que muestra la definición de la derivada de delta, muestra que \delta'(t) = \frac{d}{dt} [\delta (t)] es una función generalizada que asigna el valor -\phi'(0) a la función de prueba.

La derivada enésima de la función \delta es

\displaystyle \delta^{(n)} (t) = \frac{d^n}{dt^n} [\delta(t)]

Y también se puede definir lo siguiente

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{\delta^{(n)} (t) \phi(t) \, dt} = (-1)^n \phi^{(n)}(0),

donde

\displaystyle \phi^{(n)} (0) = \left. \frac{d^{n}}{dt^n} [\phi(t)] \right|_{t=0}

Teoremas que relacionan las derivadas de la función δ

Teorema 5. Si \phi(t) es una función de prueba tal que se anula fuera de algún intervalo, entonces

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{f'(t) \delta(t) \, dt} = - \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \delta'(t) \, dt}

que es consecuente con la definición ordinaria de una derivada de f(t) si f(t) es una función ordinaria cuya primera derivada es continua.

Teorema 6. Si f(t) es una función continua y diferenciable, la regla del producto es

\displaystyle [f(t) \delta(t)]' = f(t) \delta'(t) + f'(t) \delta(t)

Teorema 7.

f(t) \delta'(t) = f(0) \delta'(t) - f'(0) \delta(t)

Teorema 8. La función δ es la derivada de la función u(t), la cual está definida por la relación

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{u(t) \delta(t) \, dt} = \int_{-\infty}^{\infty}{\phi(t) \, dt}

Teorema 9. La derivada de una función unitaria es

\displaystyle u'(t) = \frac{d}{dt} [u(t)] = \delta (t)

Función unitaria de Heaviside

La función generalizada (o función simbólica) u(t) definida por el teorema 4

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{u(t) \delta(t) \, dt} = \int_{-\infty}^{\infty}{\phi(t) \, dt},

se conoce como la función unitaria de Heaviside o función escalonada unitaria. Esto se puede definir como

\displaystyle u(t) = \left\{ \begin{matrix} 1 \quad t>0 \\ 0 \quad t<0 \end{matrix} \right.

La función no está definida para t=0.

Se debe notar que la derivada de la función u(t) es cero cuando t<0 y t>0.

función unitaria de Heaviside
Figura 1. Representación gráfica de la función unitaria de Heaviside.

La derivada generalizada de «f(t)»

Si f(t) es una función continua por tramos con discontinuidades súbitas a_1a_2\cdots, en t_1t_2\cdots, y la función f'(t) está definida en todas partes excepto en estas discontinuidades de número finito, la derivada generalizada de f(t) es

\displaystyle f'(t) = g'(t) + \sum_{n=1}^{\infty}{a_k \delta(t-t_k)}

donde g(t) se obtuvo de

\displaystyle g(t) = f(t) - \sum_{n=1}^{\infty}{a_k u (t-t_k)}

donde

\displaystyle u(t-t_k) = \left\{ \begin{matrix} 1 \quad t>t_k \\ 0 \quad t<t_k \end{matrix} \right.

función continua por tramos con discontinuidades súbitas
Figura 2. Representación gráfica de una función continua por tramos con discontinuidades súbitas.

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