Simetría de la forma de onda. Fourier.

Introduccion

Cualquier función períodica $f(t)$ con período $T$ que satisface las condiciones de Dirichlet, es decir, que la función $f(t)$ es continua por tramos e integrable sobre cualquier intervalo, se puede representar mediante una serie de Fourier

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{(a_n \cos{n \omega_0 t} + b_n \sin{n \omega_0 t})}$

donde $\displaystyle \omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ .

Funciones pares e impares

Se dice que una función $f(t)$ es par si satisface la condición de que

$\displaystyle f(-t) = f(t)$

y se dice que es impar si

$f(-t) = - f(t)$

Se debe notar que una función par es simétrica respecto del eje vertical en el origen, mientras que una función impar es antisimétrica respecto del eje vertical en el origen.

Teorema. Demostrar que el producto de dos funciones, o de dos funciones impares es una función par, y que el producto de una función par y una función impar es una función impar.

Demostración.

Sea $f(t) = f_1(t) f_2(t)$ . Si $f_1(t)$ y $f_2(t)$ son funciones pares, entonces

$f(-t) = f_1(-t) f_2(-t)$

$f(-t) = f_1(t) f_2(t)$

$f(-t) = f(t)$

Si $f_1(t)$ y $f_2(t)$ son funciones impares, entonces

$f(-t) = f_1(-t) f_2(-t)$

$f(-t) = [-f_1(t)] [-f_2(t)]$

$f(-t) = f_1(t) f_2(t)$

$f(-t) = f(t)$

Por este lado, se concluye que $f(t)$ es una función par.

Ahora, si $f_1(t)$ es una función par y $f_2(t)$ es una función impar, entonces

$f(-t) = f_1(-t) f_2(-t)$

$f(-t) = f_1(t) [- f_2(t)]$

$f(-t) = - f_1(t) f_2(t)$

$f(-t) = - f(t)$

Si $f_1(t)$ es una función impar y $f_2(t)$ es una función par, entonces

$f(-t) = f_1(-t) f_2(-t)$

$f(-t) = [-f_1(t)] f_2(t)$

$f(-t) = - f_1(t) f_2(t)$

$f(-t) = - f(t)$

Por lo que se concluye que $f(t)$ es una función impar.

Teorema. Cualquier función $f(t)$ se puede expresar como la suma de dos componentes, de las cuales una función es par y la otra es impar.

Demostración.

Cualquier función $f(t)$ se puede expresar como

$\displaystyle f(t) = f(t)$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} f(t) + \frac{1}{2} f(t)$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} f(t) + \frac{1}{2} f(t) + \frac{1}{2} f(-t) - \frac{1}{2} f(-t)$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} f(t) + \frac{1}{2} f(-t) + \frac{1}{2} f(t) - \frac{1}{2} f(-t)$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} [f(t) + f(-t)] + \frac{1}{2} [f(t) - f(-t)]$

$\displaystyle f(t) = f_e (t) + f_o(t)$

Observando para $f_e(t)$

$\displaystyle f_e(t) = \frac{1}{2} [f(t) + f(-t)]$

$\displaystyle f_e(-t) = \frac{1}{2} [f(-t) + f(t)]$

$\displaystyle f_e(-t) = f_e (t)$

Observando para $f_o(t)$

$\displaystyle f_o(t) = \frac{1}{2} [f(t) - f(-t)]$

$\displaystyle f_o(-t) = \frac{1}{2} [f(-t) - f(t)]$

$\displaystyle f_o(-t) = - \frac{1}{2} [f(t) - f(-t)]$

$\displaystyle f_o(-t) = - f_o (t)$

Y esto queda demostrado que $f(t)$ representa la suma de dos componentes, donde el primer término es una función par mientras que el segundo es una función impar.

Problemas resueltos.

Problema 1. Encontrar las componentes par e impar de la función definida por

$\displaystyle f(t) = \left\{ \begin{matrix} e^{-t}, \quad t >0 \\ 0, \quad \quad t<0 \end{matrix} \right.$

funcion-exp(-t) — Figura 2.1.3 Función $e^{-t}$ .

Si es $f(t)$

$\displaystyle f(t) = \left\{ \begin{matrix} e^{-t}, \quad t >0 \\ 0, \quad \quad t<0 \end{matrix} \right.$

Si es $f(-t)$

$\displaystyle f(-t) = \left\{ \begin{matrix} e^{t}, \quad t < 0 \\ 0, \quad \quad t > 0 \end{matrix} \right.$

O mejor dicho

$\displaystyle f(-t) = \left\{ \begin{matrix} 0, \quad \quad t > 0 \\ e^{t}. \quad \quad t < 0 \end{matrix} \right.$

En base al teorema, cuando $t>0$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} [f(t) + f(-t)] + \frac{1}{2} [f(t) - f(-t)]$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} [e^{-t} + 0] + \frac{1}{2} [e^{-t} - 0]$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} e^{-t} + \frac{1}{2} e^{-t} = f_e(t) + f_o (t)$

donde $\displaystyle f_e (t) = \frac{1}{2} e^{-t}$ y $\displaystyle f_o(t) = \frac{1}{2} e^{-t}$ .

Cuando $t<0$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} [f(t) + f(-t)] + \frac{1}{2} [f(t) - f(-t)]$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} [0 + e^{t}] + \frac{1}{2} [0 - e^{t}]$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} e^{t} - \frac{1}{2} e^{t} = f_e(t) + f_o (t)$

donde $\displaystyle f_e (t) = \frac{1}{2} e^{t}$ y $\displaystyle f_o(t) = -\frac{1}{2} e^{t}$ .

En resumen, la componente par es

$\displaystyle f_e (t) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{2} e^{-t}, \quad t > 0 \\ \frac{1}{2} e^t, \quad \quad t < 0 \end{matrix} \right.$

funcion-par-exp(-t) — *Figura 2.1.4 Componente par de $f(t) = e^{-t}$ .*

*Figura 2.1.4 Componente par de $f(t) = e^{-t}$ .*

Y la componente impar es

$\displaystyle f_e (t) = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{2} e^{-t}, \quad t > 0 \\ - \frac{1}{2} e^t, \quad \quad t < 0 \end{matrix} \right.$

funcion-impar-exp(-t) — *Figura 2.1.5 Componente impar de $f(t) = e^{-t}$ .*

Teorema. Si $f(t)$ es par

$\displaystyle \int_{-a}^{a}{f(t) \, dt} = 2 \int_{0}^{a}{f(t) \, dt}$

Teorema. Si $f(t)$ es par y $f(0) = 0$

$\displaystyle \int_{-a}^{a}{f(t) \, dt} = 0$

Simetría de media onda

Si una función $f(t)$ es períodica con período $T$ , entonces se dice que la función períodica $f(t)$ tiene simetría de media onda si satisface la condición

$\displaystyle f(t) = - f \left(t + \frac{T}{2} \right)$

Y también

$\displaystyle f(t) = - f \left(t - \frac{T}{2} \right)$

Simetría de cuarto de onda

Si una función períodica $f(t)$ tiene simetría de media onda y además de una función par o impar, entonces se dice que $f(t)$ tiene una simetría de onda par o impar.

Simetría escondida

Si se construye una nueva función sustrayendo de $f(t)$ un término constante ( $A/2$ , por ejemplo), la nueva función es una función impar; al sustraer el término constante $A/2$ de $f(t)$ , solo hará que se desplace el eje horizontal hacia arriba en $A/2$ . En la figura, se observa que la nueva función $\displaystyle g(t) = f(t) - \frac{A}{2}$ es una función impar.