fourier

Series de Fourier. Fourier.

Sea la función f(t) una función periódica de período T, la cual se puede representar por la serie trigonométrica

\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} a_0 + a_1 \cos{\omega_0 t} + a_2 \cos{2 \omega_0 t} + \cdots + b_1 \sin{\omega_0 t} + b_2 \sin{2 \omega_0 t} + \cdots

\displaystyle = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{a_n \cos{n \omega_0 t} + b_n \sin{n \omega_0 t}}(1)

donde \displaystyle \omega_0 = \frac{2\pi}{T}.

Una serie como la que está representa por (1) se llama serie trigonométrica de Fourier. Esta serie también se puede representar como

\displaystyle f(t) = c_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{c_n \cos{(n \omega_0 t - \theta_n)}}(2)

Demostración 1. Para deducir la ecuación

\displaystyle f(t) = c_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{c_n \cos{(n \omega_0 t - \theta_n)}}

de la ecuación

\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{a_n \cos{n \omega_0 t} + b_n \sin{n \omega_0 t}}

se va a expresar para a_n y b_n en términos de c_n y \theta_n.

Partiendo de los términos trigonométricos dentro de la sumatoria de la ecuación (1), se observa que

\displaystyle a_n \cos{n \omega_0 t} + b_n \sin{n \omega_0 t} = \frac{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}} \left(a_n \cos{n \omega_0 t} + b_n \sin{n \omega_0 t}\right)

\displaystyle a_n \cos{n \omega_0 t} + b_n \sin{n \omega_0 t} = \sqrt{a_n^2+b_n^2} \left(\frac{a_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}} \cos{n \omega_0 t} + \frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}} \sin{n \omega_0 t}\right)(3)

Después, si \displaystyle c_n = \sqrt{a_n^2+b_n^2}\displaystyle \cos{\theta_n} = \frac{a_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}  y  \displaystyle \sin{\theta_n t} = \frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}, entonces

\displaystyle \sqrt{a_n^2+b_n^2} \left(\frac{a_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}} \cos{n \omega_0 t} + \frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}} \sin{n \omega_0 t}\right) = c_n  \left( \cos{\theta_n} \cos{n \omega_0 t} + \sin{\theta_n} \sin{n \omega_0 t}\right)(4)

Aplicando la identidad trigonométrica \cos{u} \cos{v} + \sin{u} \sin{v} = \cos{u-v}, se observa que

c_n \left( \cos{\theta_n} \cos{n \omega_0 t} + \sin{\theta_n} \sin{n \omega_0 t}\right) = c_n \cos{(n \omega_0 t - \theta_n)}

Analizando la identidad trigonométrica \displaystyle \tan{\theta_n}=\frac{\sin{\theta_n}}{\cos{\theta_n}}, resulta que

\displaystyle \tan{\theta_n}=\frac{\sin{\theta_n}}{\cos{\theta_n}} = \frac{\frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}}{\frac{a_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}} = \frac{b_n}{a_n}

Despejando \theta_n

\displaystyle \theta_n = \tan^{-1}{\frac{b_n}{a_n}}

De la ecuación (1), del primer término del segundo miembro, se toma c_0, se tiene

\displaystyle c_0 = \frac{1}{2} a_0

Finalmente, tomando todos los resultados obtenidos

\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{a_n \cos{n \omega_0 t} + b_n \sin{n \omega_0 t}} = c_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{c_n \cos{(n \omega_0 t - \theta_n)}}(5)

En la ecuación (2), la componente sinusoidal \omega_n = n \omega_0 se denomina la enésima armónica de la función periódica. La primera armónica comúnmente se conoce la componente fundamente porque tiene el mismo periodo de la función y \displaystyle \omega_0 = 2\pi f_0 = \frac{2\pi}{T} se conoce como la frecuencia angular fundamental. Los coeficientes c_n y los ángulos \theta_n se conocen como amplitudes armónicas y ángulos de fase.


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