Series de Fourier. Fourier.

Sea la función $f(t)$ una función periódica de período $T$ , la cual se puede representar por la serie trigonométrica

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} a_0 + a_1 \cos{\omega_0 t} + a_2 \cos{2 \omega_0 t} + \cdots + b_1 \sin{\omega_0 t} + b_2 \sin{2 \omega_0 t} + \cdots$

\displaystyle = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{a_n \cos{n \omega_0 t} + b_n \sin{n \omega_0 t}}

donde $\displaystyle \omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ .

Una serie como la que está representa por (1) se llama serie trigonométrica de Fourier. Esta serie también se puede representar como

Demostración 1. Para deducir la ecuación

$\displaystyle f(t) = c_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{c_n \cos{(n \omega_0 t - \theta_n)}}$

de la ecuación

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{a_n \cos{n \omega_0 t} + b_n \sin{n \omega_0 t}}$

se va a expresar para $a_n$ y $b_n$ en términos de $c_n$ y $\theta_n$ .

Partiendo de los términos trigonométricos dentro de la sumatoria de la ecuación (1), se observa que

$\displaystyle a_n \cos{n \omega_0 t} + b_n \sin{n \omega_0 t} = \frac{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}} \left(a_n \cos{n \omega_0 t} + b_n \sin{n \omega_0 t}\right)$

\displaystyle a_n \cos{n \omega_0 t} + b_n \sin{n \omega_0 t} = \sqrt{a_n^2+b_n^2} \left(\frac{a_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}} \cos{n \omega_0 t} + \frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}} \sin{n \omega_0 t}\right)

Después, si $\displaystyle c_n = \sqrt{a_n^2+b_n^2}$ , $\displaystyle \cos{\theta_n} = \frac{a_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}$ y $\displaystyle \sin{\theta_n t} = \frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}$ , entonces

\displaystyle \sqrt{a_n^2+b_n^2} \left(\frac{a_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}} \cos{n \omega_0 t} + \frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}} \sin{n \omega_0 t}\right) = c_n \left( \cos{\theta_n} \cos{n \omega_0 t} + \sin{\theta_n} \sin{n \omega_0 t}\right)

Aplicando la identidad trigonométrica $\cos{u} \cos{v} + \sin{u} \sin{v} = \cos{u-v}$ , se observa que

$c_n \left( \cos{\theta_n} \cos{n \omega_0 t} + \sin{\theta_n} \sin{n \omega_0 t}\right) = c_n \cos{(n \omega_0 t - \theta_n)}$

Analizando la identidad trigonométrica $\displaystyle \tan{\theta_n}=\frac{\sin{\theta_n}}{\cos{\theta_n}}$ , resulta que

$\displaystyle \tan{\theta_n}=\frac{\sin{\theta_n}}{\cos{\theta_n}} = \frac{\frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}}{\frac{a_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}} = \frac{b_n}{a_n}$

Despejando $\theta_n$

$\displaystyle \theta_n = \tan^{-1}{\frac{b_n}{a_n}}$

De la ecuación (1), del primer término del segundo miembro, se toma $c_0$ , se tiene

$\displaystyle c_0 = \frac{1}{2} a_0$

Finalmente, tomando todos los resultados obtenidos

\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{a_n \cos{n \omega_0 t} + b_n \sin{n \omega_0 t}} = c_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{c_n \cos{(n \omega_0 t - \theta_n)}}

En la ecuación (2), la componente sinusoidal $\omega_n = n \omega_0$ se denomina la enésima armónica de la función periódica. La primera armónica comúnmente se conoce la componente fundamente porque tiene el mismo periodo de la función y $\displaystyle \omega_0 = 2\pi f_0 = \frac{2\pi}{T}$ se conoce como la frecuencia angular fundamental. Los coeficientes $c_n$ y los ángulos $\theta_n$ se conocen como amplitudes armónicas y ángulos de fase.