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Cálculo del área bajo una curva dada. Cálculo integral.

Introducción

Para determinar el área de una curva con respeto al eje x y las ordenadas x=a y x=b, se utiliza la fórmula

\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{y \, dx}

Se sustituye el valor de y en términos de x según se obtiene de la ecuación de la curva dada.

Para determinar el área de una curva con respecto al eje y y las abscisas y=a y y=b, se utiliza la fórmula

\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{x \, dy}

Se sustituye el valor de x en términos de y según se obtiene de la ecuación de la curva dada.

Problemas resueltos

Problema 1. Calcular por integración el área del triángulo limitado por la recta y=5x, el eje de las x y la ordenada x=6. Comprobar el resultado, determinando el área como la mitad del producto de la base por la altura.

Solución. Graficando la función, se tiene los siguiente

figura 4.2.1
Figura 1. Representación gráfica de la función y=5x.

Si y=5x y va x=0 hasta x=6 (donde la curva va con respecto al eje x), tomando la fórmula, resulta

\displaystyle \text{Area}= \int_a^b{y \, dx} = \int_0^6{5x \, dx} = 5\int_0^6{x \, dx}

Resolviéndolo como una integral indefinida

\displaystyle \int_0^6{x \, dx} \quad \rightarrow \quad \int{x \, dx}

Esta integral es similar a

\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{1}{n+1} v^{n+1} + C

Entonces

\displaystyle \int{x \, dx} = \left(\frac{1}{1+1} \right) x^{1+1} + C = \frac{1}{2} x^2 + C

Reemplazando la variable x por los límites de la integral

\displaystyle \int_0^6{x \, dx} = \left[\frac{1}{2} x^2 + C\right]_0^6

\displaystyle \int_0^6{x \, dx} = \left[\frac{1}{2} (6)^2 + C\right] - \left[\frac{1}{2} (0)^2 + C\right]

\displaystyle \int_0^6{x \, dx} = \frac{1}{2} (36) - 0 = 18

Finalmente

\displaystyle \text{Area} = 5 \int_0^6{x \, dx}

\displaystyle \text{Area} = 5 (18)

\displaystyle \therefore \text{Area} = 90 \ \text{u}^2

Comprobando este resultado por medio de la fórmula del triángulo

\displaystyle A = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2}

Donde x=6 es la base y y=30 es la altura, resulta

\displaystyle A = \frac{6 \times 30}{2} = 90

\displaystyle \therefore A = 90 \ \text{u}^2

Problema 2. Hallar el área limitada por la parábola y=x^2, el eje de las x y las ordenadas x=1 y x=5.

Solución. Graficando la función y=x^2, resulta

figura 4.2.2
Figura 2. Representación gráfica de la función y=x^2.

Si \displaystyle y=x^2 y los límites son x=1 y x=5 (donde la curva va con respecto al eje x), tomando la fórmula, resulta

\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{y \, dx} = \int_1^5{x^2 \, dx}

Resolviéndolo como una integral indefinida

\displaystyle \int_1^5{x^2 \, dx} \quad \rightarrow \quad \int{x^2 \, dx}

Es similar a

\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{1}{n+1} v^{n+1} + C

Entonces

\displaystyle \int{x^2 \, dx} = \frac{1}{2+1} x^{2+1} + C = \frac{1}{3} x^3 + C

Reemplazando la variable x por los límites de la integral, se tiene que

\displaystyle \int_1^5{x^2 \, dx} = \left[ \frac{1}{3} x^3 + C\right]_1^5

\displaystyle \int_1^5{x^2 \, dx} = \left[ \frac{1}{3} (5)^3 + C\right] - \left[\frac{1}{3} (1) + C\right]

\displaystyle \int_1^5{x^2 \, dx} = \frac{125}{3} - \frac{1}{3} = \frac{124}{3}

Finalmente

\displaystyle \text{Area} = \int_1^5{x^2 \, dx}

\displaystyle \therefore \text{Area} = \frac{124}{3} \approx 41.333 \text{u}^2

Problema 3. Hallar el área limitada por el círculo x^2+y^2=36, el eje de las x y las ordenadas x=-4 y x=5.

Solución. Se despeja la variable y de la ecuación del círculo.

\displaystyle x^2+y^2=36

y^2=36-x^2

\displaystyle y = \pm \sqrt{36-x^2}

Graficando la expresión y, se tiene

figura 4.2.3
Figura 3. Representación gráfica de la ecuación \displaystyle y = \pm \sqrt{36-x^2}

Tomando la parte positiva de la ecuación y (ya que forma parte del área requerida) y los límites x=-4 y x=5, se sustituyen en la fórmula para calcular su área

\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{y \, dx} = \int_{-4}^5{\sqrt{36-x^2} \, dx}

Resolviéndolo como una integral indefinida

\displaystyle \int_{-4}^5{\sqrt{36-x^2} \, dx} \quad \rightarrow \quad \int{\sqrt{36-x^2} \, dx}

Es similar a

\displaystyle \int{\sqrt{a^2-v^2} \, dv} = \frac{1}{2} v \sqrt{a^2-v^2} + \frac{1}{2} a^2 \arcsin{(\frac{v}{a})} + C

Analizando las variables de la integral

v^2 = x^2a^2 = 36
v = xa=6
dv = dx

Entonces

\displaystyle \int{\sqrt{36-x^2} \, dx} = \frac{1}{2} x\sqrt{36-x^2} + \frac{1}{2} (36) \arcsin{(\frac{x}{6})} + C

\displaystyle \int{\sqrt{36-x^2} \, dx} = \frac{1}{2} x\sqrt{36-x^2} + 18 \arcsin{(\frac{x}{6})} + C

Reemplazando la variable por los límites, resulta

\displaystyle \int_{-4}^5{\sqrt{36-x^2} \, dx} = \left[ \frac{1}{2} x\sqrt{36-x^2} + 18 \arcsin{(\frac{x}{6})} + C \right]_{-4}^5

\displaystyle \int_{-4}^5{\sqrt{36-x^2} \, dx} = \left[\frac{1}{2} (5) \sqrt{36 - (5)^2} + 18 \arcsin{(\frac{5}{6})} + C \right] - \left[\frac{1}{2} (-4) \sqrt{36-{-4}^2} + 18 \arcsin{(-\frac{4}{6})} + C\right]

\displaystyle \int_{-4}^5{\sqrt{36-x^2} \, dx} = \left[\frac{5}{2} \sqrt{36-25} + 18 \arcsin{(\frac{5}{6})} + C\right] - \left[-\frac{4}{2} \sqrt{36-16} + 18 \arcsin{(-\frac{4}{6})} + C\right]

\displaystyle \int_{-4}^5{\sqrt{36-x^2} \, dx} = \left[\frac{5}{2} \sqrt{11} + 18 \arcsin{(\frac{5}{6})} + C\right] -\left[-2\sqrt{20} + 18 \arcsin{(-\frac{4}{6})} + C\right]

\displaystyle \int_{-4}^5{\sqrt{36-x^2} \, dx} = \frac{5}{2} \sqrt{11} + 18 \arcsin{(\frac{5}{6})} + 2\sqrt{20} - 18 \arcsin{(-\frac{4}{6})}

\displaystyle \int_{-4}^5{\sqrt{36-x^2} \, dx} = 8.292 + 17.732 + 8.944 + 13.135 = 48.103

Finalmente

\displaystyle \text{Area} = \int_{-4}^5{\sqrt{36-x^2} \, dx}

\displaystyle \therefore \text{Area} = 48.103 \ \text{u}^2

Problema 4. Hallar el área de la superficie limitada por la curva xy=k^2, el eje de las x y las ordenadas x=a y x=b.

Solución. Analizando el enunciado, se tienen los límites que van con respecto al eje x, por tanto, se despejará la variable y

\displaystyle xy=k^2

\displaystyle y = \frac{k^2}{x}

Tomando la ecuación despejada y los límites x=a y x=b, la fórmula tiene la siguiente expresión

\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{y \, dx} = \int_a^b{\frac{k^2}{x} \, dx} = k^2 \int_a^b{\frac{dx}{x}}

Resolviéndolo como una integral indefinida

\displaystyle \int_a^b{\frac{dx}{x}} \quad \rightarrow \quad \int{\frac{dx}{x}}

Es similar a

\displaystyle \int{\frac{dv}{v}} = \ln{v} + C

Entonces

\displaystyle \int{\frac{dx}{x}} = \ln{x} + C

Reemplazando la variable x por los límites

\displaystyle \int_a^b{\frac{dx}{x}} = [\ln{x} + C]_a^b

\displaystyle \int_a^b{\frac{dx}{x}} = \ln{b} - \ln{a} = \ln{\frac{b}{a}}

Finalmente

\displaystyle \text{Area} = k^2 \int_a^b{\frac{dx}{x}}

\displaystyle \therefore \text{Area} = k^2 \ln{\frac{b}{a}} \ \text{u}^2

Problema 5. Hallar el área de la superficie limitada por la curva y^2=4x, el eje de las y y las rectas y=0 y y=4.

Solución. El enunciado menciona que la curva va sobre el eje de las y, por tanto, la variable x se despejará.

y^2=4x

\displaystyle x = \frac{y^2}{4} = \frac{1}{4} y^2

Tomando los límites (las rectas) y=0 y y=4 y la ecuación despejada y sustituirlos en la fórmula para determinar el área en el eje y, se tiene que

\displaystyle \text{Area} = \int_c^d{x \, dy} = \int_0^4{\frac{1}{4} y^2 \, dy} = \frac{1}{4} \int_0^4{y^2 \, dy}

Resolviéndolo como una integral indefinida

\displaystyle \int_0^4{y^2 \, dy} \quad \rightarrow \quad \int{y^2 \, dy}

Se observa que es similar a

\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{1}{n+1} v^{n+1} + C

Entonces

\displaystyle \int{y^2 \, dy} = \frac{1}{2+1} y^{2+1} + C = \frac{1}{3} y^3 + C

Reemplazando la variable por los límites, resulta

\displaystyle \int_0^4{y^2 \, dy} = \left[\frac{1}{3} y^3 + C\right]_0^4

\displaystyle \int_0^4{y^2 \, dy} = \frac{1}{3} (4)^3 - \frac{1}{3} (0)^3

\displaystyle \int_0^4{y^2 \, dy} = \frac{64}{3}

Finalmente

\displaystyle \text{Area} = \int_0^4{x \, dy} = \frac{1}{4} \left( \frac{64}{3} \right)

\displaystyle \text{Area} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}

\displaystyle \therefore \text{Area} = \frac{16}{3} \ \text{u}^2 \approx 5.333 \ \text{u}^2

Problema 6. Bosquejar la curva \displaystyle y = 2 \sin{\frac{\pi}{2} x} y hallar el área de una arcada.

Solución. Realizando la tabulación de la curva basándose en la ecuación del problema

valores2

Graficando la función en base a la tabulación

figura 4.2.4
Figura 4. Representación gráfica de la función \displaystyle y=\sin{\frac{\pi}{2}x}.

En la gráfica se observa que la arcada forma los límites necesarios para calcular su respectiva área, y son x=0 y x=2. Tomando todos estos datos y utilizando la fórmula para determinar el área requerida bajo en el eje x, se tiene que

\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{y \, dx} = \int_0^2{2 \sin{\frac{\pi}{2} x} \, dx} = 2 \int_0^2{\sin{\frac{\pi}{2}x} \, dx}

Resolviéndolo como una integral indefinida

\displaystyle \int_0^2{\sin{\frac{\pi}{2}x} \, dx} \quad \rightarrow \quad \int{\sin{\frac{\pi}{2} x} \, dx}

Esta integral es similar a

\displaystyle \int{\sin{v} \, dv} = -\cos{v} + C

Analizando la variable v

\displaystyle v = \frac{\pi}{2} x
\displaystyle dv = \frac{\pi}{2} \, dx \rightarrow dx = \frac{2}{\pi} \, dv

Aplicando el método de sustitución, resulta

\displaystyle \int{\sin{\frac{\pi}{2} x} \, dx} = \int{\sin{v \cdot \frac{2}{\pi}} \, dv}

\displaystyle \int{\sin{\frac{\pi}{2} x} \, dx} = \frac{2}{\pi} \int{\sin{v} \, dv} = -\frac{2}{\pi} \cos{v} + C

\displaystyle \int{\sin{\frac{\pi}{2} x} \, dx} = -\frac{2}{\pi} \cos{\frac{\pi}{2} x} + C

Regresando y reemplazando la variable por sus límites, se tiene

\displaystyle \int_0^2{\sin{\frac{2}{\pi} x} \, dx} = \left[-\frac{2}{\pi} \cos{\frac{\pi}{2} x}+C\right]_0^2

\displaystyle \int_0^2{\sin{\frac{2}{\pi} x} \, dx} = \left[-\frac{2}{\pi} \cos{\frac{\pi}{2} (2)}\right] - \left[-\frac{2}{\pi} \cos{\frac{\pi}{2} (0)} \right]

\displaystyle \int_0^2{\sin{\frac{2}{\pi} x} \, dx} = -\frac{2}{\pi} \cos{\pi} + \frac{2}{\pi} \cos{0} = -\frac{2}{\pi} (-1) + \frac{2}{\pi} (1)

\displaystyle \int_0^2{\sin{\frac{2}{\pi} x} \, dx} = \frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi}

Finalmente

\displaystyle \text{Area} = 2\int_0^2{\sin{\frac{2}{\pi} x} \, dx}

\displaystyle \text{Area} = 2 \left(\frac{4}{\pi} \right)

\displaystyle \therefore Area = \frac{8}{\pi} \ \text{u}^2 = 2.546 \ \text{u}^2

Problema 7. Bosquejar la curva y = \cos{2x} y hallar el área de una arcada.

Solución. Se realiza una tabulación comenzando desde -\pi hasta \pi.

valores3

Graficando con los puntos obtenidos en la tabulación, se tiene que

figura 4.2.5
Figura 5. Representación gráfica de la función y=cos{2x}

En la gráfica, se observa que la arcada se formada desde \displaystyle x = -\frac{\pi}{4} hasta \displaystyle x = \frac{\pi}{4}. Tomando los límites (donde forma la arcada), la función de la curva y la fórmula para determinar el área de la arcada bajo el eje x, se tiene lo siguiente

\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{y \, dx} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\cos{2x} \, dx}

Resolviéndolo como una integral indefinida

\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\cos{2x} \, dx} \quad \rightarrow \quad \int{\cos{2x} \, dx}

Es similar a

\displaystyle \int{\cos{v} \, dv} = \sin{v} + C

Analizando la variable v

v=2x
\displaystyle dv=2 dx \rightarrow dx = \frac{1}{2} \, dv

Su resultado es

\displaystyle \int{\cos{2x} \, dx} = \int{\cos{v} \frac{1}{2} \, dv}

\displaystyle \int{\cos{2x} \, dx} = \frac{1}{2} \int{\cos{v} \, dv} = \frac{1}{2} \sin{v} + C

\displaystyle \int{\cos{2x} \, dx} = \frac{1}{2} \sin{2x} + C

Regresando y reemplazando la variable x por los límites, resulta

\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\cos{2x} \, dx} = \left[\frac{1}{2} \sin {2x} + C \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}

\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\cos{2x} \, dx} = \left[\frac{1}{2} \sin{2(\frac{\pi}{4})} + C\right] - \left[\frac{1}{2} \sin {2(-\frac{\pi}{4})} + C\right] = \frac{1}{2} \sin{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2} \sin{(-\frac{\pi}{2})}

\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\cos{2x} \, dx} = \frac{1}{2} (1) - \frac{1}{2} (-1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

Finalmente, el área de la arcada es

\displaystyle \text{Area} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\cos{2x} \, dx}

\displaystyle \text{Area} = 1 \ \text{u}^2


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