Cálculo del área bajo una curva dada. Cálculo integral.

Introducción

Para determinar el área de una curva con respeto al eje $x$ y las ordenadas $x=a$ y $x=b$ , se utiliza la fórmula

$\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{y \, dx}$

Se sustituye el valor de $y$ en términos de $x$ según se obtiene de la ecuación de la curva dada.

Para determinar el área de una curva con respecto al eje $y$ y las abscisas $y=a$ y $y=b$ , se utiliza la fórmula

$\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{x \, dy}$

Se sustituye el valor de $x$ en términos de $y$ según se obtiene de la ecuación de la curva dada.

Problemas resueltos

Problema 1. Calcular por integración el área del triángulo limitado por la recta $y=5x$ , el eje de las $x$ y la ordenada $x=6$ . Comprobar el resultado, determinando el área como la mitad del producto de la base por la altura.

Solución. Graficando la función, se tiene los siguiente

figura 4.2.1 — Figura 1. Representación gráfica de la función y=5x.

Si $y=5x$ y va $x=0$ hasta $x=6$ (donde la curva va con respecto al eje $x$ ), tomando la fórmula, resulta

$\displaystyle \text{Area}= \int_a^b{y \, dx} = \int_0^6{5x \, dx} = 5\int_0^6{x \, dx}$

Resolviéndolo como una integral indefinida

$\displaystyle \int_0^6{x \, dx} \quad \rightarrow \quad \int{x \, dx}$

Esta integral es similar a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{1}{n+1} v^{n+1} + C$

Entonces

$\displaystyle \int{x \, dx} = \left(\frac{1}{1+1} \right) x^{1+1} + C = \frac{1}{2} x^2 + C$

Reemplazando la variable $x$ por los límites de la integral

$\displaystyle \int_0^6{x \, dx} = \left[\frac{1}{2} x^2 + C\right]_0^6$

$\displaystyle \int_0^6{x \, dx} = \left[\frac{1}{2} (6)^2 + C\right] - \left[\frac{1}{2} (0)^2 + C\right]$

$\displaystyle \int_0^6{x \, dx} = \frac{1}{2} (36) - 0 = 18$

Finalmente

$\displaystyle \text{Area} = 5 \int_0^6{x \, dx}$

$\displaystyle \text{Area} = 5 (18)$

$\displaystyle \therefore \text{Area} = 90 \ \text{u}^2$

Comprobando este resultado por medio de la fórmula del triángulo

$\displaystyle A = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2}$

Donde $x=6$ es la base y $y=30$ es la altura, resulta

$\displaystyle A = \frac{6 \times 30}{2} = 90$

$\displaystyle \therefore A = 90 \ \text{u}^2$

Problema 2. Hallar el área limitada por la parábola $y=x^2$ , el eje de las $x$ y las ordenadas $x=1$ y $x=5$ .

Solución. Graficando la función $y=x^2$ , resulta

figura 4.2.2 — Figura 2. Representación gráfica de la función $y=x^2$ .

Figura 2. Representación gráfica de la función $y=x^2$ .

Si $\displaystyle y=x^2$ y los límites son $x=1$ y $x=5$ (donde la curva va con respecto al eje $x$ ), tomando la fórmula, resulta

$\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{y \, dx} = \int_1^5{x^2 \, dx}$

Resolviéndolo como una integral indefinida

$\displaystyle \int_1^5{x^2 \, dx} \quad \rightarrow \quad \int{x^2 \, dx}$

Es similar a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{1}{n+1} v^{n+1} + C$

Entonces

$\displaystyle \int{x^2 \, dx} = \frac{1}{2+1} x^{2+1} + C = \frac{1}{3} x^3 + C$

Reemplazando la variable $x$ por los límites de la integral, se tiene que

$\displaystyle \int_1^5{x^2 \, dx} = \left[ \frac{1}{3} x^3 + C\right]_1^5$

$\displaystyle \int_1^5{x^2 \, dx} = \left[ \frac{1}{3} (5)^3 + C\right] - \left[\frac{1}{3} (1) + C\right]$

$\displaystyle \int_1^5{x^2 \, dx} = \frac{125}{3} - \frac{1}{3} = \frac{124}{3}$

Finalmente

$\displaystyle \text{Area} = \int_1^5{x^2 \, dx}$

$\displaystyle \therefore \text{Area} = \frac{124}{3} \approx 41.333 \text{u}^2$

Problema 3. Hallar el área limitada por el círculo $x^2+y^2=36$ , el eje de las $x$ y las ordenadas $x=-4$ y $x=5$ .

Solución. Se despeja la variable $y$ de la ecuación del círculo.

$\displaystyle x^2+y^2=36$

$y^2=36-x^2$

$\displaystyle y = \pm \sqrt{36-x^2}$

Graficando la expresión $y$ , se tiene

figura 4.2.3 — Figura 3. Representación gráfica de la ecuación $\displaystyle y = \pm \sqrt{36-x^2}$

Figura 3. Representación gráfica de la ecuación $\displaystyle y = \pm \sqrt{36-x^2}$

Tomando la parte positiva de la ecuación $y$ (ya que forma parte del área requerida) y los límites $x=-4$ y $x=5$ , se sustituyen en la fórmula para calcular su área

$\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{y \, dx} = \int_{-4}^5{\sqrt{36-x^2} \, dx}$

Resolviéndolo como una integral indefinida

$\displaystyle \int_{-4}^5{\sqrt{36-x^2} \, dx} \quad \rightarrow \quad \int{\sqrt{36-x^2} \, dx}$

Es similar a

$\displaystyle \int{\sqrt{a^2-v^2} \, dv} = \frac{1}{2} v \sqrt{a^2-v^2} + \frac{1}{2} a^2 \arcsin{(\frac{v}{a})} + C$

Analizando las variables de la integral

Entonces

$\displaystyle \int{\sqrt{36-x^2} \, dx} = \frac{1}{2} x\sqrt{36-x^2} + \frac{1}{2} (36) \arcsin{(\frac{x}{6})} + C$

$\displaystyle \int{\sqrt{36-x^2} \, dx} = \frac{1}{2} x\sqrt{36-x^2} + 18 \arcsin{(\frac{x}{6})} + C$

Reemplazando la variable por los límites, resulta

$\displaystyle \int_{-4}^5{\sqrt{36-x^2} \, dx} = \left[ \frac{1}{2} x\sqrt{36-x^2} + 18 \arcsin{(\frac{x}{6})} + C \right]_{-4}^5$

$\displaystyle \int_{-4}^5{\sqrt{36-x^2} \, dx} = \left[\frac{1}{2} (5) \sqrt{36 - (5)^2} + 18 \arcsin{(\frac{5}{6})} + C \right] - \left[\frac{1}{2} (-4) \sqrt{36-{-4}^2} + 18 \arcsin{(-\frac{4}{6})} + C\right]$

$\displaystyle \int_{-4}^5{\sqrt{36-x^2} \, dx} = \left[\frac{5}{2} \sqrt{36-25} + 18 \arcsin{(\frac{5}{6})} + C\right] - \left[-\frac{4}{2} \sqrt{36-16} + 18 \arcsin{(-\frac{4}{6})} + C\right]$

$\displaystyle \int_{-4}^5{\sqrt{36-x^2} \, dx} = \left[\frac{5}{2} \sqrt{11} + 18 \arcsin{(\frac{5}{6})} + C\right] -\left[-2\sqrt{20} + 18 \arcsin{(-\frac{4}{6})} + C\right]$

$\displaystyle \int_{-4}^5{\sqrt{36-x^2} \, dx} = \frac{5}{2} \sqrt{11} + 18 \arcsin{(\frac{5}{6})} + 2\sqrt{20} - 18 \arcsin{(-\frac{4}{6})}$

$\displaystyle \int_{-4}^5{\sqrt{36-x^2} \, dx} = 8.292 + 17.732 + 8.944 + 13.135 = 48.103$

Finalmente

$\displaystyle \text{Area} = \int_{-4}^5{\sqrt{36-x^2} \, dx}$

$\displaystyle \therefore \text{Area} = 48.103 \ \text{u}^2$

Problema 4. Hallar el área de la superficie limitada por la curva $xy=k^2$ , el eje de las $x$ y las ordenadas $x=a$ y $x=b$ .

Solución. Analizando el enunciado, se tienen los límites que van con respecto al eje $x$ , por tanto, se despejará la variable $y$

$\displaystyle xy=k^2$

$\displaystyle y = \frac{k^2}{x}$

Tomando la ecuación despejada y los límites $x=a$ y $x=b$ , la fórmula tiene la siguiente expresión

$\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{y \, dx} = \int_a^b{\frac{k^2}{x} \, dx} = k^2 \int_a^b{\frac{dx}{x}}$

Resolviéndolo como una integral indefinida

$\displaystyle \int_a^b{\frac{dx}{x}} \quad \rightarrow \quad \int{\frac{dx}{x}}$

Es similar a

$\displaystyle \int{\frac{dv}{v}} = \ln{v} + C$

Entonces

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x}} = \ln{x} + C$

Reemplazando la variable $x$ por los límites

$\displaystyle \int_a^b{\frac{dx}{x}} = [\ln{x} + C]_a^b$

$\displaystyle \int_a^b{\frac{dx}{x}} = \ln{b} - \ln{a} = \ln{\frac{b}{a}}$

Finalmente

$\displaystyle \text{Area} = k^2 \int_a^b{\frac{dx}{x}}$

$\displaystyle \therefore \text{Area} = k^2 \ln{\frac{b}{a}} \ \text{u}^2$

Problema 5. Hallar el área de la superficie limitada por la curva $y^2=4x$ , el eje de las $y$ y las rectas $y=0$ y $y=4$ .

Solución. El enunciado menciona que la curva va sobre el eje de las $y$ , por tanto, la variable $x$ se despejará.

$y^2=4x$

$\displaystyle x = \frac{y^2}{4} = \frac{1}{4} y^2$

Tomando los límites (las rectas) $y=0$ y $y=4$ y la ecuación despejada $y$ sustituirlos en la fórmula para determinar el área en el eje $y$ , se tiene que

$\displaystyle \text{Area} = \int_c^d{x \, dy} = \int_0^4{\frac{1}{4} y^2 \, dy} = \frac{1}{4} \int_0^4{y^2 \, dy}$

Resolviéndolo como una integral indefinida

$\displaystyle \int_0^4{y^2 \, dy} \quad \rightarrow \quad \int{y^2 \, dy}$

Se observa que es similar a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{1}{n+1} v^{n+1} + C$

Entonces

$\displaystyle \int{y^2 \, dy} = \frac{1}{2+1} y^{2+1} + C = \frac{1}{3} y^3 + C$

Reemplazando la variable por los límites, resulta

$\displaystyle \int_0^4{y^2 \, dy} = \left[\frac{1}{3} y^3 + C\right]_0^4$

$\displaystyle \int_0^4{y^2 \, dy} = \frac{1}{3} (4)^3 - \frac{1}{3} (0)^3$

$\displaystyle \int_0^4{y^2 \, dy} = \frac{64}{3}$

Finalmente

$\displaystyle \text{Area} = \int_0^4{x \, dy} = \frac{1}{4} \left( \frac{64}{3} \right)$

$\displaystyle \text{Area} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$

$\displaystyle \therefore \text{Area} = \frac{16}{3} \ \text{u}^2 \approx 5.333 \ \text{u}^2$

Problema 6. Bosquejar la curva $\displaystyle y = 2 \sin{\frac{\pi}{2} x}$ y hallar el área de una arcada.

Solución. Realizando la tabulación de la curva basándose en la ecuación del problema

Graficando la función en base a la tabulación

figura 4.2.4 — Figura 4. Representación gráfica de la función $\displaystyle y=\sin{\frac{\pi}{2}x}$ .

Figura 4. Representación gráfica de la función $\displaystyle y=\sin{\frac{\pi}{2}x}$ .

En la gráfica se observa que la arcada forma los límites necesarios para calcular su respectiva área, y son $x=0$ y $x=2$ . Tomando todos estos datos y utilizando la fórmula para determinar el área requerida bajo en el eje $x$ , se tiene que

$\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{y \, dx} = \int_0^2{2 \sin{\frac{\pi}{2} x} \, dx} = 2 \int_0^2{\sin{\frac{\pi}{2}x} \, dx}$

Resolviéndolo como una integral indefinida

$\displaystyle \int_0^2{\sin{\frac{\pi}{2}x} \, dx} \quad \rightarrow \quad \int{\sin{\frac{\pi}{2} x} \, dx}$

Esta integral es similar a

$\displaystyle \int{\sin{v} \, dv} = -\cos{v} + C$

Analizando la variable $v$

\displaystyle dv = \frac{\pi}{2} \, dx \rightarrow dx = \frac{2}{\pi} \, dv

Aplicando el método de sustitución, resulta

$\displaystyle \int{\sin{\frac{\pi}{2} x} \, dx} = \int{\sin{v \cdot \frac{2}{\pi}} \, dv}$

$\displaystyle \int{\sin{\frac{\pi}{2} x} \, dx} = \frac{2}{\pi} \int{\sin{v} \, dv} = -\frac{2}{\pi} \cos{v} + C$

$\displaystyle \int{\sin{\frac{\pi}{2} x} \, dx} = -\frac{2}{\pi} \cos{\frac{\pi}{2} x} + C$

Regresando y reemplazando la variable por sus límites, se tiene

$\displaystyle \int_0^2{\sin{\frac{2}{\pi} x} \, dx} = \left[-\frac{2}{\pi} \cos{\frac{\pi}{2} x}+C\right]_0^2$

$\displaystyle \int_0^2{\sin{\frac{2}{\pi} x} \, dx} = \left[-\frac{2}{\pi} \cos{\frac{\pi}{2} (2)}\right] - \left[-\frac{2}{\pi} \cos{\frac{\pi}{2} (0)} \right]$

$\displaystyle \int_0^2{\sin{\frac{2}{\pi} x} \, dx} = -\frac{2}{\pi} \cos{\pi} + \frac{2}{\pi} \cos{0} = -\frac{2}{\pi} (-1) + \frac{2}{\pi} (1)$

$\displaystyle \int_0^2{\sin{\frac{2}{\pi} x} \, dx} = \frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi}$

Finalmente

$\displaystyle \text{Area} = 2\int_0^2{\sin{\frac{2}{\pi} x} \, dx}$

$\displaystyle \text{Area} = 2 \left(\frac{4}{\pi} \right)$

$\displaystyle \therefore Area = \frac{8}{\pi} \ \text{u}^2 = 2.546 \ \text{u}^2$

Problema 7. Bosquejar la curva $y = \cos{2x}$ y hallar el área de una arcada.

Solución. Se realiza una tabulación comenzando desde $-\pi$ hasta $\pi$ .

Graficando con los puntos obtenidos en la tabulación, se tiene que

figura 4.2.5 — Figura 5. Representación gráfica de la función $y=cos{2x}$

Figura 5. Representación gráfica de la función $y=cos{2x}$

En la gráfica, se observa que la arcada se formada desde $\displaystyle x = -\frac{\pi}{4}$ hasta $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ . Tomando los límites (donde forma la arcada), la función de la curva y la fórmula para determinar el área de la arcada bajo el eje $x$ , se tiene lo siguiente

$\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{y \, dx} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\cos{2x} \, dx}$

Resolviéndolo como una integral indefinida

$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\cos{2x} \, dx} \quad \rightarrow \quad \int{\cos{2x} \, dx}$

Es similar a

$\displaystyle \int{\cos{v} \, dv} = \sin{v} + C$

Analizando la variable $v$

\displaystyle dv=2 dx \rightarrow dx = \frac{1}{2} \, dv

Su resultado es

$\displaystyle \int{\cos{2x} \, dx} = \int{\cos{v} \frac{1}{2} \, dv}$

$\displaystyle \int{\cos{2x} \, dx} = \frac{1}{2} \int{\cos{v} \, dv} = \frac{1}{2} \sin{v} + C$

$\displaystyle \int{\cos{2x} \, dx} = \frac{1}{2} \sin{2x} + C$

Regresando y reemplazando la variable $x$ por los límites, resulta

$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\cos{2x} \, dx} = \left[\frac{1}{2} \sin {2x} + C \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}$

$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\cos{2x} \, dx} = \left[\frac{1}{2} \sin{2(\frac{\pi}{4})} + C\right] - \left[\frac{1}{2} \sin {2(-\frac{\pi}{4})} + C\right] = \frac{1}{2} \sin{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2} \sin{(-\frac{\pi}{2})}$