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Integración de productos de potencias de tangentes y secantes o cotangentes y cosecantes. Cálculo integral.

Introducción


Caso 6. Solución de integrales de la forma: \displaystyle \int{\tan^m{u} \sec^n{u} \, du} o \displaystyle \int{\cot^m{u} \sec^n{u} \, du}, donde el valor de n debe ser un número entero positivo par o m debe ser impar.


Para integrar algunas diferenciales trigonométricas fácilmente, es necesario transformarlas en integrales inmediatas por medio de reducciones trigonométricas sencillas.

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar \displaystyle \int{\tan^4{3x} \sec^2{3x} \, dx}

Solución. Esta integral tiene la forma \displaystyle \int{\tan^m{u} \sec^n{u} \, du}, donde m=4 y n=2, donde n es par, es decir, cumple con la condición del caso 6. Esta integral se puede resolver directamente, ya que es similar a

\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{1}{n+1} v^{n+1} + C

donde la variable v está representando a \tan{3x}, es decir, sea v=\tan{3x}; su diferencial dv=3 \sec^2{3x} \ dx o \displaystyle \frac{1}{3} dv = \sec^2{3x} \ dv. Su resultado es

\displaystyle \int{\tan^4{3x} \sec^2{3x} \, dx} = \int{v^4 \left(\frac{1}{3} dv \right)}

\displaystyle \int{\tan^4{3x} \sec^2{3x} \, dx} = \frac{1}{3} \int{v^4 \, dv} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{5} v^5 \right) + C = \frac{1}{15} v^5 + C

\displaystyle \int{\tan^4{3x} \sec^2{3x} \, dx} = \frac{1}{15} \tan^5{3x} + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{\tan^4{3x} \sec^2{3x} \, dx} = \frac{1}{15} \tan^5{3x} + C

Problema 2. Hallar \displaystyle \int{\cot^5{2z} \csc^2{2z} \, dz}.

Solución. Esta integral tiene la forma \displaystyle \int{\cot^m{u} \csc^n{u} \, du}, donde m=5 y n=2, donde m es impar y n es par, es decir, cumple con la condición del caso 6. Esta es similar a

\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C

donde la variable v está representando a \cot{2z}, es decir, sea \displaystyle v = \cot{2z}; su diferencial es dv=-2 \csc^2{2z} \ dz o \displaystyle \csc^2{2z} dz = -\frac{1}{2} dv. Su resultado es

\displaystyle \int{\cot^5{2z} \csc^2{2z} \, dz} = \int{v^5 \left(-\frac{1}{2} dv \right)}

\displaystyle \int{\cot^5{2z} \csc^2{2z} \, dz} = -\frac{1}{2} \int{v^5 \, dv} = -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{6} v^6 \right) + C = -\frac{1}{12} v^6 + C

\displaystyle \int{\cot^5{2z} \csc^2{2z} \, dz} = -\frac{1}{12} \cot^6{2z} + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{\cot^5{2z} \csc^2{2z} \, dz} = -\frac{1}{12} \cot^6{2z} + C

Problema 3. Hallar \displaystyle \int{\tan^3{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta}.

Solución. Esta integral tiene la forma \displaystyle \int{\tan^m{u} \sec^n{u} \, du}, donde m=1 (m es impar), esto cumple con la condición del caso 6. Para resolver esta integral, primero se factoriza la función tangente del integrando

\displaystyle \int{\tan^3{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta} = \int{\tan^2{\theta} \tan{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta}

Después, se aplica la identidad trigonométrica \tan^2{\theta} = \sec^2{\theta} - 1

\displaystyle \int{\tan^2{\theta} \tan{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta} = \int{(\sec^2{\theta} - 1) \tan{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta}

Resolviendo

\displaystyle \int{\tan^2{\theta} \tan{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta} = \int{\tan{\theta} \sec^{\frac{9}{2}}{\theta} \, d\theta} -\int{\tan{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta}

\displaystyle \int{\tan^2{\theta} \tan{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta} = \int{\tan{\theta} \sec{\theta} \sec^{\frac{7}{2}}{\theta} \, d\theta} -\int{\tan{\theta} \sec{\theta} \sec^{\frac{3}{2}}{\theta} \, d\theta}

\displaystyle \int{\tan^2{\theta} \tan{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta} = \int{\sec^{\frac{7}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta} -\int{\sec^{\frac{3}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta}

\displaystyle \int{\tan^2{\theta} \tan{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta} = \underbrace{\int{\sec^{\frac{7}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta}}_{1 \textdegree} - \underbrace{\int{\sec^{\frac{3}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta}}_{2 \textdegree}

La primera integral es similar a

\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C

donde la variable v está representando a \sec{\theta}, es decir, sea \displaystyle v = \sec{\theta}; su diferencial es dv = \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta. El resultado para esta primera integral es

\displaystyle \int{\sec^{\frac{7}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta} = \int{v^{\frac{7}{2}} \, dv}

\displaystyle \int{\sec^{\frac{7}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta} = \frac{v^{7/2 + 1}}{\frac{7}{2}+1} +  C = \frac{v^{9/2}}{\frac{9}{2}} + C = \frac{1}{\frac{9}{2}} v^{\frac{9}{2}} + C = \frac{2}{9} v^{\frac{9}{2}} + C

\displaystyle \int{\sec^{\frac{7}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta} = \frac{2}{9} \sec^{\frac{9}{2}}{\theta} + C

La segunda integral es similar a

\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C

donde la variable v está representando a \sec{\theta}, es decir sea v = \sec{\theta}; su diferencial es dv = \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta. El resultadopara esta segunda integral es

\displaystyle \int{\sec^{\frac{3}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta} = \int{v^{\frac{3}{2}} \, dv}

\displaystyle \int{\sec^{\frac{3}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta} = \frac{v^{3/2+1}}{\frac{3}{2} + 1} + C= \frac{v^{5/2}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{1}{\frac{5}{2}} v^{5/2} + C = \frac{2}{5} v^{5/2} + C

\displaystyle \int{\sec^{\frac{3}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta} = \frac{2}{5} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} + C

Regresando y sustituyendo los resultados obtenidos

\displaystyle \int{\tan^3{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta} = \int{\sec^{\frac{7}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta} - \int{\sec^{\frac{3}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta}

\displaystyle \int{\tan^3{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta} = \frac{2}{9} \sec^{\frac{9}{2}}{\theta} - \left(\frac{2}{5} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \right) + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{\tan^3{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta} = \frac{2}{9} \sec^{\frac{9}{2}}{\theta} - \frac{2}{5} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} + C

Problema 4. Hallar \displaystyle \int{\cot^3{mx} \csc{mx} \, dx}

Solución. Esta integral tiene la forma \displaystyle \int{\cot^m{u} \csc^n{u} \, du}, donde m=3 (es impar), esto cumple con la condición del caso 6. Para resolver eta integral, primero se factoriza la función cotangente del integrando

\displaystyle \int{\cot^3{mx} \csc{mx} \, dx} = \int{\cot^2{mx} \cot{mx} \csc{mx} \, dx}

Aplicando la identidad trigonométrica \cot^2{mx} = \csc^2{mx} - 1, resulta

\displaystyle \int{\cot^2{mx} \cot{mx} \csc{mx} dx} = \int{(\csc^2{mx} - 1) \cot{mx} \csc{mx} \, dx}

\displaystyle \int{\cot^2{mx} \cot{mx} \csc{mx} dx} = \int{\csc^3{mx} \cot{mx} \, dx} - \int{\cot{mx} \csc{mx} \, dx}

\displaystyle \int{\cot^2{mx} \cot{mx} \csc{mx} dx} = \int{\csc^2{mx} \csc{mx} \cot{mx} \, dx} - \int{\cot{mx} \csc{mx} \, dx}

\displaystyle \int{\cot^2{mx} \cot{mx} \csc{mx} dx} = \underbrace{\int{\csc^2{mx} \csc{mx} \cot{mx} \, dx}}_{1 \textdegree} - \underbrace{\int{\cot{mx} \csc{mx} \, dx}}_{2 \textdegree}

La primera integral es similar a

\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C

donde la variable v está representando a \csc{mx}, es decir, sea v = \csc{mx}; su diferencial es \displaystyle dv = -m \cot{mx} \csc{mx} \, dx o \displaystyle \cot{mx} \csc{mx} \, dx = -\frac{1}{m} \, dv. El resultado para esta primera integral es es

\displaystyle \int{\csc^2{mx} \cot{mx} \csc{mx} \, dx} = \int{v^2 \left(-\frac{1}{m} \right) \, dv}

\displaystyle \int{\csc^2{mx} \cot{mx} \csc{mx} \, dx} = -\frac{1}{m} \int{v^2 \, dv}

\displaystyle \int{\csc^2{mx} \cot{mx} \csc{mx} \, dx} = - \frac{1}{m} \left(\frac{1}{3} v^3 \right) + C = -\frac{1}{3m} v^3 + C

\displaystyle \int{\csc^2{mx} \cot{mx} \csc{mx} \, dx} = -\frac{1}{3m} \csc^3{mx} + C

La segunda integral es similar a

\displaystyle \int{\cot{v} \csc{v} \, dv} = -\csc{v} + C

donde la variable v está representando a mx, es decir, sea v = mx; su diferencial es \displaystyle dv = m \ dx o \displaystyle dx = \frac{1}{m} dv. El resultado ara esta segunda integral es

\displaystyle \int{\cot{mx} \csc{mx} \, dx} = \int{\cot{v} \csc{v} \left(\frac{1}{m} dv \right)}

\displaystyle \int{\cot{mx} \csc{mx} \, dx} = \frac{1}{m} \int{\cot{v} \csc{v} \, dv} = -\frac{1}{m} \csc{v} + C

\displaystyle \int{\cot{mx} \csc{mx} \, dx} = -\frac{1}{m} \csc{mx} + C

Regresando y sustituyendo los resultados obtenidos

\displaystyle \int{\cot^3{mx} \csc{mx} \, dx} = \int{\csc^2{mx} \cot{mx} \csc{mx} \, dx} - \int{\cot{mx} \csc{mx} \, dx}

\displaystyle \int{\cot^3{mx} \csc{mx} \, dx} = -\frac{1}{3m} \csc^3{mx} - \left(-\frac{1}{m} \csc{mx} \right) + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{\cot^3{mx} \csc{mx} \, dx} = -\frac{1}{3m} \csc^3{mx} + \frac{1}{m} \csc{mx} + C


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