Criterio de estabilidad de Jury. Control digital.

Introducción

Al aplicar la prueba de estabilidad de Jury a una ecuación característica dad $P(z)=0$ , se construye una cuyos elementos se basan en los coeficientes de $P(z)$ . La ecuación característica $P(z)$ es un polinomio en $z$ :

$P(z) = a_0 z^{-n} + a_1 z^{n-1} + \cdots +a_{n-1} z + a_n$

Donde $a_0>0$ .

Fórmulas para obtener los siguientes coeficientes

$b_k = \begin{bmatrix} a_n & a_{n-1-k} \\ a_0 & a_{k+1} \end{bmatrix}$

$c_k = \begin{bmatrix} b_{n-1} & b_{n-2-k} \\ b_0 & b_{k+1} \end{bmatrix}$

$q_k = \begin{bmatrix} p_3 & p_{2-k} \\ p_0 & p_{k+1} \end{bmatrix}$

Un sistema con la ecuación característica $P(z)=0$ , se debe tomar las siguientes condiciones:

$|a_n | < a_0$ .
$P(1) > 0$ .
$P(-1) > 0$ para $n$ par y $P(-1)<0$ para $n$ impar.
$|b_{n-1}| > |b_0 |$ , $|c_{n-2}|>|c_0|$ , … , $|q_2| > |q_0|$ .

Problemas resueltos

Problema 1. Examine la estabilidad de la ecuación característica siguiente:

$P(z) = z^4 - 1.2z^3 + 0.07z^2 + 0.3z - 0.08$

Solución. De la ecuación característica, se igual a cero

$P(z)=0$

$z^4 - 1.2z^3 + 0.07z^2 + 0.3z - 0.08 = 0$

Entonces, los coeficientes son $a_0=1$ , $a_1=-1.2$ , $a_2=0.07$ , $a_3=0.3$ , $a_4=-0.08$ , $n=4$

Analizando las condiciones

$|a_4 |<a_0$ → $0.08<1$
$P(1)>0$ → $P(1) = {(1)}^4 - 1.2{(1)}^3 + 0.07{(1)}^2 + 0.3(1) - 0.08 = 0.09 > 0$ .
$P(-1) = {(-1)}^4 - 1.2{(-1)}^3 + 0.07{(-1)}^2 + 0.3(-1) - 0.08 = 1.89 > 0$ , $n$ es par

Utilizando algunas fórmulas (de acuerdo con la tabla anterior), se compara $b_3$ con $b_0$

$|b_{n-1}| > |b_0|$

$|b_3| > |b_0|$

$0.9936>0.204$

Y comparando $c_2$ con $c_0$

$|c_{n-2} |>|c_0 |$

$|c_2 |>|c_0 |$

$0.9456>0.3154$

Por lo tanto, el sistema es estable.

Problema 2. Examine la estabilidad de la ecuación característica dada

$P(z) = z^3-1.1z^2-0.1z+0.2$

Solución. Igualando a cero la ecuación característica

$P(z)=0$

$\displaystyle z^3-1.1z^2-0.1z+0.2=0$

Entonces, los coeficientes son $a_0=1$ , $a_1=-1.1$ , $a_2=-0.1$ , $a_3=0.2$ , $n=3$

Analizando las condiciones se refieren a

$|a_3 |< a_0$ → $0.2<1$
$P(1)>0$ → $P(1) = {(1)}^3 - 1.1{(1)}^2 - 0.1(1) + 0.2 = 0$
$P(-1) = {(-1)}^3 - 1.1 {(-1)}^2 - 0.1(-1) + 0.2 = -1.8 < 0$ , $n$ es impar

tabla criterio de estabilidad de Jury 2.png

Realizando la siguiente comparación

$|b_{n-1}| > |b_0|$

$|b_2| > |b_0|$

$0.96>0.12$

Se concluye que el sistema es críticamente estable.

Problema 3. Un sistema de control tiene la siguiente ecuación característica:

$P(z) = z^3-1.3z^2-0.08z+0.24$

Determinar su estabilidad.

Solución. Igualando a cero la ecuación característica

$P(z) = 0$

$z^3-1.3z^2-0.08z+0.24=0$

Entonces, los coeficientes son $a_0=1$ , $a_1=-1.3$ , $a_2=-0.08$ , $a_3=0.24$ , $n=3$

Analizando las condiciones

$|a_3 | < a_0$ → $0.24<1$ .
$P(1)>0$ → $P(1) = {(1)}^3 - 1.3{(1)}^2 - 0.08(1) + 0.24 = -0.14 < 0$ .

Así que,como no se cumple la segunda condición, se concluye que el sistema no es estable; ya no es necesario estudiar las condiciones restantes.

2 comentarios en “Criterio de estabilidad de Jury. Control digital.”

Estimado Sr. Cesar.
Hay algunos errores en el Problema 2.
Los números -1.1 y -0.1 están cambiados.
La condición 3 P(-1) tiene un termo con 0.3 que no se encuentra en P(z). Yo creo que sea una cópia de la resolución del Problema 1.

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Estimado Sr. Cesar.
Existe errores en las formulas que usted propone menciona que le ck=[bn-1 bn-1-k; b0 bk+1] y lo correcto es ck=[bn-1 bn-2-k; b0 bk+1]

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