control digital

Criterio de estabilidad de Jury. Control digital.

Introducción

Al aplicar la prueba de estabilidad de Jury a una ecuación característica dad P(z)=0, se construye una cuyos elementos se basan en los coeficientes de P(z). La ecuación característica P(z) es un polinomio en z:

P(z) = a_0 z^{-n} + a_1 z^{n-1} + \cdots +a_{n-1} z + a_n

Donde a_0>0.

tabla criterio de estabilidad de Jury

Fórmulas para obtener los siguientes coeficientes

b_k = \begin{bmatrix} a_n & a_{n-1-k} \\ a_0 & a_{k+1} \end{bmatrix}

c_k = \begin{bmatrix} b_{n-1} & b_{n-2-k} \\ b_0 & b_{k+1} \end{bmatrix}

q_k = \begin{bmatrix} p_3 & p_{2-k} \\ p_0 & p_{k+1} \end{bmatrix}

Un sistema con la ecuación característica P(z)=0, se debe tomar las siguientes condiciones:

  1. |a_n | < a_0.
  2. P(1) > 0.
  3. P(-1) > 0 para n par y P(-1)<0 para n impar.
  4. |b_{n-1}| > |b_0 |, |c_{n-2}|>|c_0| , … , |q_2| > |q_0|.

Problemas resueltos

Problema 1. Examine la estabilidad de la ecuación característica siguiente:

P(z) = z^4 - 1.2z^3 + 0.07z^2 + 0.3z - 0.08

Solución. De la ecuación característica, se igual a cero

P(z)=0

z^4 - 1.2z^3 + 0.07z^2 + 0.3z - 0.08 = 0

Entonces, los coeficientes son a_0=1, a_1=-1.2, a_2=0.07, a_3=0.3, a_4=-0.08, n=4

Analizando las condiciones

  1. |a_4 |<a_00.08<1
  2. P(1)>0P(1) = {(1)}^4 - 1.2{(1)}^3 + 0.07{(1)}^2 + 0.3(1) - 0.08 = 0.09 > 0.
  3. P(-1) = {(-1)}^4 - 1.2{(-1)}^3 + 0.07{(-1)}^2 + 0.3(-1) - 0.08 = 1.89 > 0, n es par
tabla criterio de estabilidad de Jury 1

Utilizando algunas fórmulas (de acuerdo con la tabla anterior), se compara b_3 con b_0

|b_{n-1}| > |b_0|

|b_3| > |b_0|

0.9936>0.204

Y comparando c_2 con c_0

|c_{n-2} |>|c_0 |

|c_2 |>|c_0 |

0.9456>0.3154

Por lo tanto, el sistema es estable.

Problema 2. Examine la estabilidad de la ecuación característica dada

P(z) = z^3-1.1z^2-0.1z+0.2

Solución. Igualando a cero la ecuación característica

P(z)=0

\displaystyle z^3-1.1z^2-0.1z+0.2=0

Entonces, los coeficientes son a_0=1, a_1=-1.1, a_2=-0.1, a_3=0.2, n=3

Analizando las condiciones se refieren a

  1. |a_3 |< a_00.2<1
  2. P(1)>0P(1) = {(1)}^3 - 1.1{(1)}^2 - 0.1(1) + 0.2 = 0
  3. P(-1) = {(-1)}^3 - 1.1 {(-1)}^2 - 0.1(-1) + 0.2 = -1.8 < 0, n es impar
tabla criterio de estabilidad de Jury 2.png

Realizando la siguiente comparación

|b_{n-1}| > |b_0|

|b_2| > |b_0|

0.96>0.12

Se concluye que el sistema es críticamente estable.

Problema 3. Un sistema de control tiene la siguiente ecuación característica:

P(z) = z^3-1.3z^2-0.08z+0.24

Determinar su estabilidad.

Solución. Igualando a cero la ecuación característica

P(z) = 0

z^3-1.3z^2-0.08z+0.24=0

Entonces, los coeficientes son a_0=1, a_1=-1.3, a_2=-0.08, a_3=0.24, n=3

Analizando las condiciones

  1. |a_3 | < a_00.24<1.
  2. P(1)>0P(1) = {(1)}^3 - 1.3{(1)}^2 - 0.08(1) + 0.24 = -0.14 < 0.

Así que,como no se cumple la segunda condición, se concluye que el sistema no es estable; ya no es necesario estudiar las condiciones restantes.


2 comentarios en “Criterio de estabilidad de Jury. Control digital.”

  1. Estimado Sr. Cesar.
    Hay algunos errores en el Problema 2.
    Los números -1.1 y -0.1 están cambiados.
    La condición 3 P(-1) tiene un termo con 0.3 que no se encuentra en P(z). Yo creo que sea una cópia de la resolución del Problema 1.

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  2. Estimado Sr. Cesar.
    Existe errores en las formulas que usted propone menciona que le ck=[bn-1 bn-1-k; b0 bk+1] y lo correcto es ck=[bn-1 bn-2-k; b0 bk+1]

    Me gusta

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