control digital

De la transformada de Laplace a la transformada z. Control digital.

Problema resuelto

Problema 1. Obtener X(z) para

\displaystyle X(s) = \frac{1}{s(s+1)}

Solución. Por fracciones parciales, se determinan los coeficientes A y B.

\displaystyle X(s) = \frac{1}{s(s+1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{(s+1)}

Resolviéndolo por fracciones parciales

\displaystyle \frac{1}{s(s+1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{(s+1)} = \frac{A(s+1)+Bs}{s(s+1)}

\displaystyle \frac{1}{s(s+1)} = \frac{As+A+Bs}{s(s+1)}

\displaystyle \frac{1}{s(s+1)} = \frac{s(A+B)+A}{s(s+1)}

1 = s(A+B) + A

De las cuales, las ecuaciones y resolviéndolas, queda de la siguiente manera

A=1
A +B=0   →  1+B=0    →    B=-1

Sustituyendo:

\displaystyle X(s) = \frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s} + \frac{(-1)}{(s+1)}

\displaystyle x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s} + \frac{(-1)}{(s+1)} \right] = \mathcal{L}{-1} \left[ \frac{1}{s} \right] - \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{(s+1)} \right]

x(t)=1-e^{-t}

Si x(t)=x(kT)

x(kT)=1-e^{-kT}

Aplicando la transformada z:

x(kT) = 1 - e^{-kT}

\mathcal{Z} [x(kT)] = Z[1 - e^{-kT}]

X(z) = Z[1(t)] - Z[e^{-kT}]

\displaystyle X(z) = \sum_{k=0}^{\infty}{1(t) z^{-k}} - \sum_{k=0}^{\infty}{e^{-kT} z^{-k}}

\displaystyle X(z) = \frac{1}{(1-z^{1})} - \frac{1}{(1-e^{-kT} z^{-1})}

Si se desea expresar como un cociente, entonces

\displaystyle X(z) = \frac{1-e^{-kT} z^{-1} - 1 + z^{-1}}{(1 - z^{-1})(1-e^{-kT} z^{-1})}

\displaystyle X(z) = \frac{e^{-kT} z^{-1} + z^{-1}}{(1 - z^{-1})(1 - e^{-kT} z^{-1})}

\displaystyle X(z)= \frac{(-e^{-kT} + 1) z^{-1}}{(1 - z^{-1})(1 - e^{-kT} z^{-1})}

Finalmente

\displaystyle \therefore X(z) = \frac{(-e^{-kT} + 1) z^{-1}}{(1 - z^{-1})(1 - e^{-kT} z^{-1})}


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