control digital

Método de expansión en fracciones parciales para obtener la transformada z inversa. Control digital.

Introducción

Una función racional R(z) se define como el cociente de dos funciones racionales enteras, es decir, funciones polinomiales en que la variable no está afectada por exponentes negativos o fraccionarios.

\displaystyle R(z) = \frac{P(z)}{Q(z)} \begin{matrix} \rightarrow \text{Funcion polinomial (numerador)} \\ \quad \rightarrow \text{Funcion polinomial (denominador)}  \end{matrix}

Si el grado del numerador P(z) es igual o mayor que el del denominador Q(z), se tiene una fracción impropia (racional); entonces, se debe dividir el numerador entre el denominador, para obtener una expresión mixta (un polinomio y una fracción propia).

\displaystyle \begin{matrix} \text{Fraccion impropia} \\ \text{o racional} \end{matrix} \ \left\{\frac{z^5-5z^3+7z^2-5}{z^3-8} \right. = \underbrace{\overbrace{z^2 - 5}^{\text{Polinomio}} + \overbrace{\frac{15z^2 - 45}{z^3-8}}^{\text{Fraccion propia}}}_{\text{Expresion mixta}}

El último término es una función reducida (fracción propia) a su más simple expresión, en el cual el grado del numerador P(z) es menor que el grado del denominador Q(z). Por último, debe integrarse término por término de la expresión mixta (integrar cada término del polinomio y la fracción propia).

Para integrar una expresión diferencial que contenga la fracción racional, por lo general es necesario escribirla como la suma de fracciones parciales. Los denominadores de las fracciones parciales se obtienen factorizando el denominador Q(z) como un producto de factores lineales y cuadráticos; lo anterior es siempre posible si se aplica el siguiente teorema algebraico:

«Todos los polinomios con coeficientes reales puede ser expresado como un producto de factores lineales y cuadráticos, de manera de que cada uno de los factores tenga coeficiente reales.»

Caso 1. Los factores del denominador son todos del primer grado (lineales), y ninguno se repite.

En este caso, se tiene una descomposición en fracciones parciales de la forma:

\displaystyle \frac{P(z)}{Q(z)} = \frac{A}{(z - a_1)} + \frac{B}{(z-a_2)} + \frac{C}{(z -a_3)} + ... + \frac{K}{(z - a_i)}

Aquí no debe haber dos a_i idénticas, y A, B, C, …, K, son constantes que van a ser determinadas. Se hace notar que el número de constantes por terminar es igual al gado del denominador.

Caso 2. Los factores del denominador son todos de primer grado (lineales), y algunos se repiten.

En este caso, el factor (z-a_1) que se repite n veces, corresponde a la suma de n fracciones parciales de la forma:

\displaystyle \frac{P(z)}{Q(z)} = \frac{A}{{(z-a_1)}^n} + \frac{B}{{(z-a_1)}^{n-1}} + \frac{C}{{(z-a_1)}^{n-2}} + ... + \frac{K}{(z-a_1)}

Caso 3. Los factores del denominador son lineales y cuadráticos (primer y segundo grado) y ninguno de los factores cuadráticos se repiten.

En este caso, a todo factor cuadrático z^2 + pz + q, no repetido en el denominador, le corresponde una fracción parcial de la forma

\displaystyle \frac{P(z)}{Q(z)} = \frac{Az+B}{z^2+pz+q}

El método para integrar expresiones de esta forma consiste en reducir la integral a una integral inmediata por sustitución algebraica (primero o segundo método).

Caso 4. Los factores del nominador son lineales y cuadráticos (primeros y segundos grados) y algunos de los factores cuadráticos se repiten.

En este caso, a todo factor cuadrático z^2 + pz+ q que se repite n veces le corresponderá la suma de n fracciones parciales, de la forma:

\displaystyle \frac{P(z)}{Q(z)} = \frac{Az+B}{(z^2+pz+q)^n} + \frac{Cz+D}{(z^2+pz+q)^{n-1}} + ... + \frac{Kz+L}{(z^2+pz+q)}

Problema resuelto

Problema 1. Obtener la transformada z inversa de la siguiente función

\displaystyle X(z) = \frac{z^2+z+2}{(z-1)(z^2-z+1)}

Solución. Expandiendo X(z) en fracciones parciales

\displaystyle X(z) = \frac{z^2+z+2}{(z-1)(z^2-z+1)} = \frac{A}{(z-1)} + \frac{Bz+C}{(z^2-z+1)}

\displaystyle \frac{z^2+z+2}{(z-1)(z^2-z+1)} = A(z^2-z+1) + \frac{(Bz+C)(z-1)}{(z-1)(z^2-z+1)}

\displaystyle \frac{z^2+z+2}{(z-1)(z^2-z+1)} = \frac{Az^2-Az+A+Bz^2-Bz+Cz-C}{(z-1)(z^2-z+1)}

\displaystyle \frac{z^2+z+2}{(z-1)(z^2-z+1)} = \frac{(A+B) z^2+(-A-B+C)z+(A-C)}{(z-1)(z^2-z+1)}

\displaystyle \frac{z^2+z+2}{(z-1)(z^2-z+1)} = \frac{(A+B) z^2+(-A-B+C)z+(A-C)}{(z-1)(z^2-z+1)}

z^2+z+2=(A+B) z^2+(-A-B+C)z+(A-C)

Desarrollando las ecuaciones y resolviéndolas

A+B=1(1)
-A-B+C=1(2)
A - C = 2(3)

Entonces

(1)B = 1 - A
(2)A - C = 2C = A - 2
(3)- A - B + C = 1- A - 1 + A + A - 2 = 1A=4

Si B = - 4

B=1-A=1-4=-3 C=A-2=4-2=2

Por lo tanto

A=4B=-3C=2

Sustituyendo con respecto a los valores de los coeficientes:

\displaystyle \frac{z^2+z+2}{(z-1)(z^2-z+1)} = \frac{A}{(z-1)} + \frac{Bz+C}{(z^2-z+1)}

\displaystyle \frac{z^2+z+2}{(z-1)(z^2-z+1)} = \frac{4}{(z-1)} + \frac{(-3z+2)}{(z^2-z+1)}

 \displaystyle \frac{z^2+z+2}{(z-1)(z^2-z+1)} = \frac{4}{(z-1)} + \frac{(-3z+1.5+0.5)}{(z^2-z+1)}

\displaystyle \frac{z^2+z+2}{(z-1)(z^2-z+1)} = \frac{4}{(z-1)} + \frac{(-3z+1.5)}{(z^2-z+1)} + \frac{0.5}{(z^2-z+1)}

\displaystyle \frac{z^2+z+2}{(z-1)(z^2-z+1)} = \frac{4}{(z-1)} - \frac{(3z-1.5)}{(z^2-z+1)} + \frac{0.5}{(z^2-z+1)}

\displaystyle \frac{z^2+z+2}{(z-1)(z^2-z+1)} = \frac{4}{(z-1)} - 3 \cdot \frac{(z-0.5)}{(z^2-z+1)} + \frac{0.5}{(z^2-z+1)}

\displaystyle \frac{z^2+z+2}{(z-1)(z^2-z+1)} = \frac{4}{(z-1)} \cdot \frac{z^{-1}}{z^{-1}} - 3 \cdot \frac{(z-0.5)}{(z^2-z+1)} \cdot \frac{z^{-2}}{z^{-2}} + \frac{0.5}{(z^2-z+1} \cdot \frac{z^{-2}}{z^{-2}}

\displaystyle \frac{z^2+z+2}{(z-1)(z^2-z+1)} = \frac{4z^{-1}}{(1-z^{-1})} - 3 \cdot \frac{(z^{-1}-0.5z^{-2} )}{(1-z^{-1}+z^{-2})} + \frac{(0.5z^{-2})}{(1-z^{-1}+z^{-2} )}

\displaystyle \frac{z^2+z+2}{(z-1)(z^2-z+1)} = z^{-1} \cdot \frac{4}{(1-z^{-1})} - 3z^{-1} \cdot \frac{(1-0.5z^{-1})}{(1-z^{-1}+z^{-2})} + z^{-1} \cdot \frac{(0.5z^{-1})}{(1-z^{-1} + z^{-2})}

Para el segundo factor e ignorando temporalmente el -3z^{-1}, se realizará una comparación con respecto a la fórmula de la transformada de \cos{\omega kT}:

\displaystyle \frac{(1-0.5z^{-1})}{(1-z^{-1}+z^{-2})} = \frac{1 - e^{-aT} z^{-1} \cos{\omega T}}{1 - 2e^{-aT} z^{-1} \cos{\omega T} + e^{-2aT} z^{-2}}

Del numerador

1-0.5z^{-1} = 1-e^{-aT} z^{-1} \cos{\omega T}

-0.5z^{-1} = -e^{-aT} z^{-1} \cos{\omega T}

0.5z^{-1} = e^{-aT} z^{-1} \cos{\omega T}

0.5 = e^{-aT} \cos{\omega T}

Del denominador

1-z^{-1} + z^{-2} = 1 - 2e^{-aT} z^{-1} \cos{\omega T} + e^{-2aT} z^{-2}

-z^{-1}+z^{-2} = -2e^{-aT} z^{-1} \cos{\omega T} + e^{-2aT} z^{-2}

Del segundo término, en ambos miembros

z^{-2} = e^{-2aT} z^{-2}

1 = e^{-2aT} = {(e^{-aT})}^{2}

\displaystyle \sqrt{1} = e^{-aT}

1 = e^{-aT}

Regresando con el análisis del numerador y sustituyendo el equivalente de e^{-aT} = 1, se puede obtener \omega t

0.5 = e^{-aT} \cos{\omega T}

0.5 = (1) \cos{\omega T}

0.5 = \cos{\omega T}

\cos{\omega T} = 0.5

\displaystyle \omega T = \arccos{(0.5)} = 60^o = \frac{\pi}{3}

Ahora, recordando la fórmula equivalente para la transformada z de \cos{\omega T} y tomando en cuenta el teorema de traslación compleja

\displaystyle \mathcal{Z} [\cos{\omega kT}] = \frac{1-z^{-1}\cos{\omega T}}{1-2 \cos{\omega T} z^{-1}+z^{-2}}

\displaystyle \mathcal{Z} [e^{-akT} \cos{\omega kT}] = \frac{{1-(e^{aT} z)}^{-1} \cos{\omega T}}{1 - 2 \cos{\omega T} {(e^{aT} z)}^{-1} + {(e^{aT} z)}^{-2}}

\displaystyle \mathcal{Z} [{(e^{-aT})}^{k} \cos{k\omega T}] = \frac{1-e^{-aT} z^{-1} \cos{\omega T}}{1 - 2 \cos{\omega T} e^{-aT} z^{-1} + e^{-2aT} z^{-2}}

\displaystyle \mathcal{Z} [{(e^{-aT})}^{k} \cos{k\omega T}] = \frac{1-e^{-aT} z^{-1} \cos{\omega T}}{1 - 2 \cos{\omega T} e^{-aT} z^{-1} + {(e^{-aT})}^{2} z^{-2}}

\displaystyle \mathcal{Z} \left[ {(1)}^{k} \cos{\frac{k\pi}{3}} \right] = \frac{1-(1) z^{-1} (0.5)}{1 - 2(0.5)(1) z^{-1} + {(1)}^{2} z^{-2}}

\displaystyle \mathcal{Z} \left[{(1)}^{k} \cos{\frac{k\pi}{3}} \right] = \frac{1-0.5z^{-1}}{1-z^{-1}+z^{-2}}

\displaystyle {(1)}^{k} \cos{\frac{k\pi}{3}} = Z^{-1} \left[ \frac{1-0.5z^{-1}}{1-z^{-1}+z^{-2}} \right]

Por lo tanto

\displaystyle \mathcal{Z}^{-1} \left[ \frac{1-0.5z^{-1}}{1-z^{-1} + z^{-2}} \right] = {(1)}^{k} \cos{\frac{k\pi}{3}}

Ahora para el último factor se tomarán solo los valores para \displaystyle \omega T = \frac{\pi}{3} , \cos{\omega T} = 0.5 y e^{-aT}=1; para ello se inicia con realizar una segunda comparación utilizando la fórmula para la transformada z del \sin{\omega kT} y tomando en cuenta la fórmula de traslación compleja:

\displaystyle \mathcal{Z} [\sin{\omega kT}] = \frac{z^{-1} \sin{\omega T}}{1 - 2 \cos{\omega T} z^{-1} + z^{-2}}

\displaystyle \mathcal{Z} [e^{-akT}\sin{\omega kT} ] = \frac{{(e^{aT} z)}^{-1} \sin{\omega T}}{1 - 2 \cos{\omega T} {(e^{aT} z)}^{-1} + {(e^{aT} z)}^{-2}}

\displaystyle \mathcal{Z} [e^{-akT}\sin{\omega kT} ] = \frac{e^{-aT} z^{-1} \sin{\omega T}}{1 - 2 \cos{\omega T} (e^{-aT}) z^{-1} + {(e^{-aT})}^{2} z^{-2} }

\displaystyle \mathcal{Z} \left[ {(1)}^{k} \sin{\frac{k\pi}{3}} \right] = \frac{(1) z^{-1} \sin{\frac{\pi}{3}}}{1 - 2(0.5)(1) z^{-1} + {(1)}^{2} z^{-2}}

\displaystyle \mathcal{Z} \left[ {(1)}^{k} \sin{\frac{k\pi}{3}} \right] = \frac{z^{-1} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})}{1-z^{-1}+z^{-2}}

\displaystyle \mathcal{Z} \left[ {(1)}^{k} \sin{\frac{k\pi}{3}} \right] = \frac{(\sqrt{3})(\frac{1}{2}) z^{-1}}{1 - z^{-1}+z^{-2}}

\displaystyle \mathcal{Z} \left[ {(1)}^{k} \sin{\frac{k\pi}{3}} \right] = \frac{(\sqrt{3}) \cdot 0.5z^{-1}}{1 - z^{-1} + z^{-2}}

\displaystyle {(1)}^{k} \sin{\frac{k\pi}{3}} = \sqrt{3} \cdot Z^{-1} \left[ \frac{0.5z^{-1}}{1-z^{-1}+z^{-2}} \right]

Por lo tanto

\displaystyle \mathcal{Z}^{-1} \left[ \frac{0.5z^{-1}}{1-z^{-1}+z^{-2}} \right] = \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) {(1)}^{k}\sin{\frac{k\pi}{3}}

Regresando y aplicando transformada z inversa

\displaystyle X(z) = z^{-1}  \cdot \frac{4}{(1-z^{-1})} - 3z^{-1} \cdot \frac{1-0.5z^{-1}}{1-z^{-1}+z^{-2}} + z^{-1} \cdot \frac{0.5z^{-1}}{1-z^{-1}+z^{-2}}

\displaystyle X(z) = 4 \cdot \frac{z^{-1}}{1-z^{-1}} - 3z^{-1} \cdot \frac{1-0.5z^{-1}}{1-z^{-1}+z^{-2}} + z^{-1} \cdot \frac{0.5z^{-1}}{1-z^{-1}+z^{-2}}

\displaystyle x(k) = 4 \cdot Z^{-1} \left[ \frac{z^{-1}}{1-z^{-1}} \right] - 3 \cdot Z^{-1} \left[ z^{-1} \cdot \frac{1-0.5z^{-1}}{1-z^{-1}+z^{-2}} \right] + Z^{-1} \left[ z^{-1} \cdot \frac{0.5z^{-1}}{1-z^{-1} + z^{-2}} \right]

Aplicando teorema de corrimiento para el segundo y tercer factor de las fracciones parciales resultantes

\displaystyle x(k) = 4 \cdot Z^{-1} \left[ \frac{z^{-1}}{1-z^{-1}} \right] - 3 \cdot Z^{-1} \left[ z^{-1} \frac{1-0.5z^{-1}}{1-z^{-1}+z^{-2}} \right] + Z^{-1} \left[ z^{-1} \cdot \frac{0.5z^{-1}}{1-z^{-1}+z^{-2}} \right]

\displaystyle x(k) = 4(1^{k-1}) - 3(1^{k-1}) \cos{\frac{(k-1)\pi}{3}} + \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) (1^{k-1}) \sin{\frac{(k-1)\pi}{3}}

Pero 1^{k-1} = 1, por lo tanto el resultado final es:

\displaystyle x(k) = 4 - 3\cos{\frac{(k-1)\pi}{3}} + \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \sin{\frac{(k-1)\pi}{3}}

Para k = 1 , 2 , 3 , \cdots y  para k \le 0 , x(k)=0.


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