control digital

Enfoque MATLAB y enfoque en ecuaciones en diferencias para obtener la transformada z inversa. Control digital.

Introducción

Al considerar un sistema G(z) definido mediante

\displaystyle G(z) = \frac{0.4673z^{-1}-0.3393z^{-2}}{1-1.5327z^{-1}+0.6607z^{-2}}

Para encontrar la transformada z inversa, se utiliza la función “delta de Kronecker” \delta_0 (kT), donde: \delta_0 (kT)= 1, para k=0 y 0, para k\ne 0

Suponiendo que x(k), la entrada al sistema G(z), es la entrada “delta de Kronecker”, o: \delta_0 (kT) = , 1, para k=0, 0, para k \ne 0

La transformada z de la entrada “delta de Kronecker” es:

x(k) = \delta_0

\mathcal{Z} [x(k)] = \mathcal{Z} [\delta_0 (kT)]

X(z) = 1

Mediante la entrada “delta de Kronecker”, la primera ecuación se puede reescribir como:

\displaystyle G(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{0.4673z^{-1}-0.3393z^{-2}}{1-1.5327z^{-1}+0.6607z^{-2}} \cdot \frac{z^2}{z^2} = \frac{0.4673z-0.3393}{z^2-1.5327z+0.6607}

Enfoque MATLAB

A partir de la nueva ecuación, la entrada X(z) es la transformada z de la entrada “delta de Kronecker”. En MATLAB la entrada “delta de Kronecker” está dada por:

x = [1   zeros(1,N)]

Donde N corresponde al final de la duración del tiempo discreto del proceso considerado.

Puesto que la transformada z de la entrada “delta de Kronecker” X(z) es igual a la unidad, la respuesta del sistema a esta entrada es:

\displaystyle Y(z) = G(z) = \frac{0.4673z^(-1)-0.3393z^(-2)}{1-1.5327z^(-1)+0.6607z^(-2)} = \frac{0.4673z-0.3393}{z^2-1.5327z+0.6607}

Por lo tanto, la transformada z inversa de G(z)  está dada por y(0), y(1), y(2), … . Se obtendrá y(k) hasta k=40.

Para obtener la transformada z inversa de G(z) con MATLAB, se escrie el siguiente código

num=[0   0.4673   -0.3393];  %numerador
den=[1   -1.5327   0.6607];  %denominador
x=[1   zeros(1, 40)];  %Entrada “delta de Kronecker”
y=filter(num,den,x)  %Comando para obtener la respuesta y(k) desde k=0 hasta k=40.

Para graficar la respuesta a la entrada “delta de Kronecker”

num=[0   0.4673   -0.3393]; %numerador
den=[1   -1.5327   0.6607]; %denominador
x=[1   zeros(1, 40)]; %Entrada “delta de Kronecker”
v=[0   40   -1   1];
axis(v);
k=0:40;
y=filter(num,den,x) %Comando para obtener la respuesta y(k) desde k=0 hasta k=40.
plot(k,y,’o’) ó plot (k,y,’-‘);
grid on
title(‘Respuesta a la entrada “delta de Kronecker”’);
xlabel(´k’);

Enfoque en ecuación en diferencias

De la última ecuación obtenida, se puede escribir como:

\displaystyle G(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}

\displaystyle Y(z) = G(z)X(z)

\displaystyle Y(z) = \left[\frac{0.4673z-0.3393}{z^2-1.5327z+0.6607} \right] X(z)

Entonces:

\displaystyle Y(z) = \frac{0.4673z-0.3393}{z^2-1.5327z+0.6607} \cdot X(z)

\displaystyle (z^2-1.5327z+0.6607) \cdot Y(z) = (0.4673z-0.3393) \cdot X(z)

z^2 Y(z)-1.5327zY(z)+0.6607Y(z) = 0.4673zX(z)-0.3393X(z)

z^2 Y(z)-1.5327zY(z)+0.6607Y(z)=0.4673zX(z)-0.3393X(z)

Aplicando transformada z inversa

Z^{-1} [z^2 Y(z)]-1.5327 \cdot Z^{-1} [zY(z)]+0.6607 \cdot Z^{-1} [Y(z)] = 0.4673 \cdot Z^{-1} [zX(z)] - 0.3393 \cdot Z^{-1} [X(z)]

y(k+2)-1.5327y(k+1)+0.6607y(k)=0.4673x(k+1)-0.3393x(k)

Donde x(0) = 1 y x(k) = 0 para k \ne 0, y y(k)=0 para k<0. x(k) es la entrada “delta de Kronecker”. Para hallar los datos iniciales y(0) y y(1) se puede determinar de la siguiente manera: para k= - 2

y(k+2)-1.5327y(k+1)+0.6607y(k)=0.4673x(k+1)-0.3393x(k)

y(-2+2)-1.5327y(-2+1)+0.6607y(-2)=0.4673x(-2+1)-0.3393x(-2)

y(0)-1.5327y(-1)+0.6607y(-2)=0.4673x(-1)-0.3393x(-2)

\therefore y(0)=0

Para k=-1

y(k+2)-1.5327y(k+1)+0.6607y(k)=0.4673x(k+1)-0.3393x(k)

y(-1+2)-1.5327y(-1+1)+0.6607y(-1)=0.4673x(-1+1)-0.3393x(-1)

y(1)-1.5327y(0)+0.6607y(-1)=0.4673x(0)-0.3393x(-1)

\therefore y(1)=0.4673

Por lo tanto

y(k+2)-1.5327y(k+1)+0.6607y(k)=0.4673x(k+1)-0.3393x(k)

Donde

x(0)=1 y x(k)=0 para k \ne 0

y(0)=0, y(1)=0.4673, y(k)=0 para k<0


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