control digital

Método de la división directa para obtener la transformada z inversa. Control digital.

Introducción

El método de la división directa se obtiene mediante la expansión de X(z) en una serie infinita de potencias de z^{-1}. Este método es útil cuando sea difícil obtener una expresión en forma cerrada para la transformada z inversa o desea encontrar sólo algunos de los primeros términos de x(k).

El método de la división directa proviene el hecho de que si X(z) está expandida en una serie de potencias de z^{-1}, esto es, si

\displaystyle X(z) = \sum_{k=0}^{\infty}{x(kT) z^{-k}}

\displaystyle X(z) =x(0) + x(T) z^{-1} + x(2T) z^{-2} + ... + x(kT) x^{-k} + ...

O también

\displaystyle X(z) =x(0) + x(1) z^{-1} + x(2) z^{-2} + ... + x(k) x^{-k} + ...

entonces x(kT) o x(k) es el coeficiente del término z^{-k}. Por lo tanto, los valores de x(kT) o x(k) para k=0,1,2,... se pueden determinar por inspección.

Si X(z) está dada en la forma de una función racional, la expansión en una serie de potencias infinita en potencias crecientes de z^{-1} se puede lograr dividir el numerador entre el denominador, donde tanto el numerador como el denominador de X(z) se pueden escribir en potencias crecientes de z^{-1}. Si la serie es convergente, los coeficientes de los términos z^{-k} son los valores de x(kT) de la secuencia del tiempo o los valores de x(k) de la secuencia de números.

Problema resuelto

Problema. Encuente x(k) para k = 0, 1, 2, 3, 4, cuando X(z) está dada por

\displaystyle X(z) = \frac{10z+5}{(z-1)(z-0.2)}

Solución. Se reescribe el polinomio del denominador: multiplicando ambos binomios y desarrollar que sus términos sean z^{-1}.

\displaystyle X(z) = \frac{10z+5}{(z-1)(z-0.2)} \cdot \frac{z^{-2}}{z^{-2}}

\displaystyle X(z) = \frac{10z + 5}{z^{2} - 1.2 z + 0.2} \cdot \frac{z^{-2}}{z^{-2}}

\displaystyle X(z) = \frac{10z^{-1} + 5z^{-2}}{1 - 1.2 z^{-1} + 0.2 z^{-2}}

Realizando la división directa

division directa

Entonces, la expasión es

X(z) = 10z^{-1} + 17 z^{-2} + 18.4z^{-3} + 18.68 z^{-4} + \cdots

Y comparando esta expansión de X(z) en una serie infinita con \displaystyle X(z) = \sum_{k=0}^{\infty}{x(k)z^{-k}}, se obtiene que

x(0) = 0

x(1) = 10

x(2) = 17

x(3) = 18.4

x(4) = 18.68


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