Funciones elementales, propiedades y teoremas de la transformada z. Control digital.

Funciones elementales de la transformada z

Función escalón unitario «1(t)»

$\displaystyle x(t) = \left\{\begin{matrix} 1(t) = u(t) & , & t \ge 0 \\ 0 & , & t<0 \end{matrix} \right.$

Si $T=1$ , $x(t) = x(kT) = x(k)$ . Por lo que

$\displaystyle x(k) = \left\{ \begin{matrix} 1(k) = u(k) & , & k \ge 0 \\ 0 & , & k<0 \end{matrix} \right.$

La transformada $z$ de la función escalón unitario es

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(k)] = \sum_{k=0}^{\infty}{1(k) \ z^{-k}} = \sum_{k=0}^{\infty}{u(k) \ z^{-k}}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(k)] = \sum_{k=0}^{\infty}{z^{-k}}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(k)] = 1 + z^{-1} + z^{-2} + z^{-3} + \cdots + = \frac{1}{1-z^{-1}} = \frac{z}{z-1}$

Finalmente,

$\displaystyle \therefore \mathcal{Z} [1(k)] = \mathcal{Z} [u(k)] = \frac{1}{1-z^{-1}} = \frac{z}{z-1}$

Función polinomial «a^k»

$\displaystyle x(t) = \left\{\begin{matrix} a^t & , & t \ge 0 \\ 0 & , & t<0 \end{matrix} \right.$

Si $T=1$ , $x(t) = x(kT) = x(k)$ . Por lo que

$\displaystyle x(k) = \left\{ \begin{matrix} a^k & , & k \ge 0 \\ 0 & , & k<0 \end{matrix} \right.$

La transformada $z$ de la función polinomial es

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(k)] = \mathcal{Z} [a^k]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(k)] = \sum_{k=0}^{\infty}{a^k \ z^{-k}}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(k)] = 1 + a z^{-1} + a^2 z^{-2} + a^3 z^{-3} + \cdots + = \frac{1}{1 - a z^{-1}} = \frac{z}{z-a}$

Finalmente,

$\displaystyle \therefore \mathcal{Z} [a^k] = \frac{1}{1 - a z^{-1}} = \frac{z}{z-a}$

Función rampa unitaria «t»

$\displaystyle x(t) = \left\{\begin{matrix} t & , & t \ge 0 \\ 0 & , & t<0 \end{matrix} \right.$

Si $t=kT$ , $x(t) = x(kT)$ . Por lo que

$\displaystyle x(kT) = \left\{ \begin{matrix} kT & , & k \ge 0 \\ 0 & , & k<0 \end{matrix} \right.$

La transformada $z$ de la función rampa unitaria es

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \mathcal{Z} [kT]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \sum_{k=0}^{\infty}{kT \ z^{-k}} = T \sum_{k=0}^{\infty}{T \ z^{-k}}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = T(0 + z^{-1} +2 z^{-2} + 3 z^{-3} + \cdots +) = T \left[\frac{z^{-1}}{(1 - z^{-1})^2} \right]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{T z^{-1}}{(1 - z^{-1})^2} = \frac{T z}{(z - 1)^2}$

Finalmente,

$\displaystyle \therefore \mathcal{Z} [kT] = \frac{T z^{-1}}{(1 - z^{-1})^2} = \frac{T z}{(z - 1)^2}$

Función exponencial «e^{-at}»

$\displaystyle x(t) = \left\{\begin{matrix} e^{-at} & , & t \ge 0 \\ 0 & , & t<0 \end{matrix} \right.$

Si $t=kT$ , $x(t) = x(kT)$ . Por lo que

$\displaystyle x(kT) = \left\{ \begin{matrix} e^{-akT} & , & k \ge 0 \\ 0 & , & k<0 \end{matrix} \right.$

La transformada $z$ de la función exponencial es

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \mathcal{Z} [e^{-akT}]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \sum_{k=0}^{\infty}{e^{-akT} \ z^{-k}}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = 1 + e^{-aT} z^{-1} + e^{-2aT} z^{-2} + e^{-3aT} z^{-3} + \cdots +$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{1 - e^{-aT} z^{-1}} = \frac{z}{z - e^{-aT}}$

Finalmente,

$\displaystyle \therefore \mathcal{Z} [e^{-akT}] = \frac{1}{1 - e^{-aT} z^{-1}} = \frac{z}{z - e^{-aT}}$

Función seno «sen ωt»

$\displaystyle x(t) = \left\{\begin{matrix} \sin{\omega t} & , & t \ge 0 \\ 0 & , & t<0 \end{matrix} \right.$

Si $t=kT$ , $x(t) = x(kT)$ . Por lo que

$\displaystyle x(kT) = \left\{ \begin{matrix} \sin{\omega kT} & , & k \ge 0 \\ 0 & , & k<0 \end{matrix} \right.$

La transformada $z$ de la función exponencial es

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \mathcal{Z} [\sin{\omega kT}]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \mathcal{Z} \left[\frac{e^{j\omega kT} - e^{-j\omega kT}}{j2} \right] = \frac{1}{j2} \mathcal{Z} \left[e^{j\omega kT} - e^{-j\omega kT} \right]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{j2} \mathcal{Z} \left[e^{j\omega kT} \right] - \frac{1}{j2} \mathcal{Z} \left[e^{-j\omega kT} \right]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{j2} \left[\sum_{k=0}^{\infty}{e^{j\omega kT} \ z^{-k}} \right] - \frac{1}{j2} \left[\sum_{k=0}^{\infty}{e^{-j\omega kT} \ z^{-k}} \right]$

$\displaystyle \begin{matrix} \mathcal{Z} [x(kT)] = & \frac{1}{j2} \left[1 + e^{j\omega T} z^{-1} + e^{j2 \omega T} z^{-2} + e^{j3 \omega T} z^{-3} + \cdots \right] \\ \\ & - \frac{1}{j2} \left[1 + e^{-j\omega T} z^{-1} + e^{-j2 \omega T} z^{-2} + e^{-j3 \omega T} z^{-3} + \cdots \right] \end{matrix}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{j2} \left(\frac{1}{1 - e^{-j \omega T} z^{-1}} \right) - \frac{1}{j2} \left(\frac{1}{1 - e^{j \omega T} z^{-1}} \right)$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{j2} \left(\frac{1}{1 - e^{-j \omega T} z^{-1}} - \frac{1}{1 - e^{j \omega T} z^{-1}} \right)$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{j2} \left[\frac{z^{-1} (e^{j\omega T} - e^{-j \omega T})}{(1 - e^{-j \omega T} z^{-1})(1 - e^{j \omega T} z^{-1})} \right]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \left(\frac{e^{j\omega T} - e^{-j \omega T}}{j2} \right) \left[\frac{z^{-1}}{(1 - e^{-j \omega T} z^{-1})(1 - e^{j \omega T} z^{-1})} \right]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \left(\sin{\omega T} \right) \left[\frac{z^{-1}}{(1 - e^{-j \omega T} z^{-1})(1 - e^{j \omega T} z^{-1})} \right]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \left(\sin{\omega T} \right) \left(\frac{z^{-1}}{1 - z^-1 e^{-j \omega T} - z^{-1} e^{j \omega T} + z{-2} e^{0}} \right)$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \left(\sin{\omega T} \right) \left(\frac{z^{-1}}{1 - z^{-1} (e^{j \omega T} + e^{-j \omega T}) + z^{-2}} \right)$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \left(\sin{\omega T} \right) \left[\frac{z^{-1}}{1 - 2z^{-1} \cos{\omega T} + z^{-2}} \right] = \frac{z^{-1} \sin{\omega T}}{1 - 2z^{-1} \cos{\omega T} + z^{-2}}$

Finalmente,

$\displaystyle \therefore \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{z^{-1} \sin{\omega T}}{1 - 2z^{-1} \cos{\omega T} + z^{-2}} = \frac{z \sin{\omega T}}{z^2 - 2z \cos{\omega T} + 1}$

Función coseno «cos ωt»

$\displaystyle x(t) = \left\{\begin{matrix} \cos{\omega t} & , & t \ge 0 \\ 0 & , & t<0 \end{matrix} \right.$

Si $t=kT$ , $x(t) = x(kT)$ . Por lo que

$\displaystyle x(kT) = \left\{ \begin{matrix} \cos{\omega kT} & , & k \ge 0 \\ 0 & , & k<0 \end{matrix} \right.$

La transformada $z$ de la función exponencial es

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \mathcal{Z} [\cos{\omega kT}]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \mathcal{Z} \left[\frac{e^{j\omega kT} + e^{-j\omega kT}}{2} \right] = \frac{1}{2} \mathcal{Z} \left[e^{j\omega kT} + e^{-j\omega kT} \right]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{2} \mathcal{Z} \left[e^{j\omega kT} \right] + \frac{1}{2} \mathcal{Z} \left[e^{-j\omega kT} \right]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{2} \left[\sum_{k=0}^{\infty}{e^{j\omega kT} \ z^{-k}} \right] + \frac{1}{2} \left[\sum_{k=0}^{\infty}{e^{-j\omega kT} \ z^{-k}} \right]$

$\displaystyle \begin{matrix} \mathcal{Z} [x(kT)] = & \frac{1}{2} \left[1 + e^{j\omega T} z^{-1} + e^{j2 \omega T} z^{-2} + e^{j3 \omega T} z^{-3} + \cdots \right] \\ \\ & + \frac{1}{2} \left[1 + e^{-j\omega T} z^{-1} + e^{-j2 \omega T} z^{-2} + e^{-j3 \omega T} z^{-3} + \cdots \right] \end{matrix}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1 - e^{-j \omega T} z^{-1}} \right) + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1 - e^{j \omega T} z^{-1}} \right)$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1 - e^{-j \omega T} z^{-1}} + \frac{1}{1 - e^{j \omega T} z^{-1}} \right)$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{2} \left[\frac{2 - z^{-1} (e^{j\omega T} + e^{-j \omega T})}{(1 - e^{-j \omega T} z^{-1})(1 - e^{j \omega T} z^{-1})} \right]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{2} \left[\frac{2 - z^{-1} (e^{j\omega T} + e^{-j \omega T}) \cdot \frac{2}{2}}{(1 - e^{-j \omega T} z^{-1})(1 - e^{j \omega T} z^{-1})} \right]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{2} \left[\frac{2 - 2 z^{-1} \left(\frac{e^{j\omega T} + e^{-j \omega T}}{2} \right) }{(1 - e^{-j \omega T} z^{-1})(1 - e^{j \omega T} z^{-1})} \right]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{2} \left[\frac{2 - 2 z^{-1} \cos{\omega T}}{(1 - e^{-j \omega T} z^{-1})(1 - e^{j \omega T} z^{-1})} \right] = \frac{1 - z^{-1} \cos{\omega T}}{(1 - e^{-j \omega T} z^{-1})(1 - e^{j \omega T} z^{-1})}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1 - z^{-1} \cos{\omega T}}{(1 - e^{-j \omega T} z^{-1})(1 - e^{j \omega T} z^{-1})}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1 - z^{-1} \cos{\omega T}}{1 - e^{-j \omega T} z^{-1} - e^{j \omega T} z^{-1} + z^{-2} e^{0}}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1 - z^{-1} \cos{\omega T}}{1 - z^{-1}(e^{-j \omega T} - e^{j \omega T}) + z^{-2}}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1 - z^{-1} \cos{\omega T}}{1 - 2 z^{-1} \cos{\omega T} + z^{-2}} = \frac{z^2 - z \cos{\omega T}}{z^2 - 2 z \cos{\omega T} + 1}$

Finalmente,

$\displaystyle \therefore \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1 - z^{-1} \cos{\omega T}}{1 - 2 z^{-1} \cos{\omega T} + z^{-2}} = \frac{z^2 - z \cos{\omega T}}{z^2 - 2 z \cos{\omega T} + 1}$

Propiedades de la transformada z

Multiplicación por una constante

Si X(z) es la transformada z de x(t), entonces

$\mathcal{Z}[ax(t)] = a \mathcal{Z} [x(t)] = a X(z)$

Donde $a$ es una constante.

Para probar esto, se observa que

$\displaystyle \mathcal{Z} [a x(t)] = a \mathcal{Z}[x(t)] = a \sum_{k=0}^{\infty}{x(t) z^{-k}} = a \ X(z)$

Linealidad de la transformada z

La transformada $z$ posee la linealidad, es decir, si $f(k)$ y $g(k)$ tienen transformada $z$ y $\alpha$ y $\beta$ son escalares, entonces $x(k)$ formada de una combinación lineal

$x(k) = \alpha f(k) + \beta g(k)$

tiene la transformada $z$

$\mathcal{Z} [x(k)] = \mathcal{Z} [\alpha f(k)] + \mathcal{Z} [\beta g(k)]$

$\mathcal{Z} [x(k)] = \alpha \mathcal{Z} [f(k)] + \beta \mathcal{Z} [g(k)]$

Utilizando la propiedad de linealidad, se tiene lo siguiente

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(k)] = \alpha \sum_{k=0}^{\infty}{f(k) z^{-k}} + \beta \sum_{k=0}^{\infty}{g(k) z^{-k} }$

$\mathcal{Z} [x(k)] = \alpha F(z) + \beta G(z)$

Donde $\alpha$ y $\beta$ son constantes.

Multiplicación por a^k

Si $X(z)$ es la transformada $z$ de $x(k)$ , entonces la transformada $z$ de $a^k x(k)$ está dada por $X(a^{-1} z)$ .

$\mathcal{Z} [a^{k} x(k)] = X[a^{-1} z]$

Probando lo siguiente

$\displaystyle \mathcal{Z} [a^k x(k)] = \sum_{k=0}^{\infty}{a^k x(k) z^{-k}}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [a^k x(k)] = \sum_{k=0}^{\infty}{{(a^{-1} z)}^{-k} x(k)}$

$\mathcal{Z} [a^k x(k)] = X(a^{-1} z)$

Teoremas para la transformada z

Teorema de corrimiento

Este teorema es también llamada teorema de traslación real. Si $x(t)=0$ para $t<0$ y $x(t)$ tiene la transformada $z X(z)$ , entonces

$\mathcal{Z} [x(t-nT)] = z^{-n} X(z)$

Y también

$\displaystyle \mathcal{Z} [x(t+nT)] = z^n \left[X(z) - \sum_{k=0}^{n-1}{x(kT) z^{-k}} \right]$

donde $n$ es cero o un entero positivo.

Teorema de traslación compleja

Si $x(t)$ tiene la transformada $z$ , $X(z)$ , entonces la transformada $z$ de $e^{-at} x(t)$ está dada por $X(ze^{aT})$

$\mathcal{Z} [e^{-at} x(t)] = \mathcal{Z} [e^{-akT} x(kT)]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [e^{-at} x(t)] = \sum_{k=0}^{\infty}{e^{-akT} x(kT) z^{-k}} = \sum_{k=0}^{\infty}{x(kT) (e^{aT} z)^{-k}}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [e^{-at} x(t)] = X(ze^{aT} )$

Teorema del valor inicial

Si $x(t)$ tiene la transformada z $X(z)$ y si el $\displaystyle \lim_{z \rightarrow \infty}{X(z)}$ existe, entonces el valor inicial $x(0)$ de $x(t)$ o $x(k)$ está dado por

$\displaystyle \lim_{k \rightarrow 0}{x(k)} = x(0) = \lim_{z \rightarrow \infty}{X(z)}$

Debido a que $x(0)$ normalmente se conoce, una verificación del valor inicial mediante $\displaystyle \lim_{z \rightarrow \infty}{X(z)}$ puede facilitar errores en $X(z)$ , si éstos existe.

Teorema del valor final

Al suponer que $x(k)$ , donde $x(k)=0$ para $k<0$ , tiene transformada z, $X(z)$ , que todos los polos de $X(z)$ están dentro del círculo unitario, con la posible excepción de un solo polo en $z=1$ . Ésta es la condición para la estabilidad de $X(z)$ , o la condición para que $x(k)$ donde $k=0, 1, 2, 3,$ … permanezca infinita.