control digital

Funciones elementales, propiedades y teoremas de la transformada z. Control digital.

Funciones elementales de la transformada z

Función escalón unitario «1(t)»

\displaystyle x(t) = \left\{\begin{matrix} 1(t) = u(t) & , & t \ge 0 \\ 0 & , & t<0 \end{matrix} \right.

Si T=1, x(t) = x(kT) = x(k). Por lo que

\displaystyle x(k) = \left\{ \begin{matrix} 1(k) = u(k) & , & k \ge 0 \\ 0 & , & k<0 \end{matrix} \right.

La transformada z de la función escalón unitario es

\displaystyle \mathcal{Z} [x(k)] = \sum_{k=0}^{\infty}{1(k) \ z^{-k}} = \sum_{k=0}^{\infty}{u(k) \ z^{-k}}

\displaystyle \mathcal{Z} [x(k)] = \sum_{k=0}^{\infty}{z^{-k}}

\displaystyle \mathcal{Z} [x(k)] = 1 + z^{-1} + z^{-2} + z^{-3} + \cdots + = \frac{1}{1-z^{-1}} = \frac{z}{z-1}

Finalmente,

\displaystyle \therefore \mathcal{Z} [1(k)] = \mathcal{Z} [u(k)] = \frac{1}{1-z^{-1}} = \frac{z}{z-1}

Función polinomial «a^k»

\displaystyle x(t) = \left\{\begin{matrix} a^t & , & t \ge 0 \\ 0 & , & t<0 \end{matrix} \right.

Si T=1, x(t) = x(kT) = x(k). Por lo que

\displaystyle x(k) = \left\{ \begin{matrix} a^k & , & k \ge 0 \\ 0 & , & k<0 \end{matrix} \right.

La transformada z de la función polinomial es

\displaystyle \mathcal{Z} [x(k)] = \mathcal{Z} [a^k]

\displaystyle \mathcal{Z} [x(k)] = \sum_{k=0}^{\infty}{a^k \ z^{-k}}

\displaystyle \mathcal{Z} [x(k)] = 1 + a z^{-1} + a^2 z^{-2} + a^3 z^{-3} + \cdots + = \frac{1}{1 - a z^{-1}} = \frac{z}{z-a}

Finalmente,

\displaystyle \therefore \mathcal{Z} [a^k] = \frac{1}{1 - a z^{-1}} = \frac{z}{z-a}

Función rampa unitaria «t»

\displaystyle x(t) = \left\{\begin{matrix} t & , & t \ge 0 \\ 0 & , & t<0 \end{matrix} \right.

Si t=kT, x(t) = x(kT). Por lo que

\displaystyle x(kT) = \left\{ \begin{matrix} kT & , & k \ge 0 \\ 0 & , & k<0 \end{matrix} \right.

La transformada z de la función rampa unitaria es

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \mathcal{Z} [kT]

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \sum_{k=0}^{\infty}{kT \ z^{-k}} = T \sum_{k=0}^{\infty}{T \ z^{-k}}

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = T(0 + z^{-1} +2 z^{-2} + 3 z^{-3} + \cdots +) = T \left[\frac{z^{-1}}{(1 - z^{-1})^2} \right]

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{T z^{-1}}{(1 - z^{-1})^2} = \frac{T z}{(z - 1)^2}

Finalmente,

\displaystyle \therefore \mathcal{Z} [kT] = \frac{T z^{-1}}{(1 - z^{-1})^2} = \frac{T z}{(z - 1)^2}

Función exponencial «e^{-at}»

\displaystyle x(t) = \left\{\begin{matrix} e^{-at} & , & t \ge 0 \\ 0 & , & t<0 \end{matrix} \right.

Si t=kT, x(t) = x(kT). Por lo que

\displaystyle x(kT) = \left\{ \begin{matrix} e^{-akT} & , & k \ge 0 \\ 0 & , & k<0 \end{matrix} \right.

La transformada z de la función exponencial es

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \mathcal{Z} [e^{-akT}]

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \sum_{k=0}^{\infty}{e^{-akT} \ z^{-k}}

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = 1 + e^{-aT} z^{-1} + e^{-2aT} z^{-2} + e^{-3aT} z^{-3} + \cdots +

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{1 - e^{-aT} z^{-1}} = \frac{z}{z - e^{-aT}}

Finalmente,

\displaystyle \therefore \mathcal{Z} [e^{-akT}] = \frac{1}{1 - e^{-aT} z^{-1}} = \frac{z}{z - e^{-aT}}

Función seno «sen ωt»

\displaystyle x(t) = \left\{\begin{matrix} \sin{\omega t} & , & t \ge 0 \\ 0 & , & t<0 \end{matrix} \right.

Si t=kT, x(t) = x(kT). Por lo que

\displaystyle x(kT) = \left\{ \begin{matrix} \sin{\omega kT} & , & k \ge 0 \\ 0 & , & k<0 \end{matrix} \right.

La transformada z de la función exponencial es

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \mathcal{Z} [\sin{\omega kT}]

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \mathcal{Z} \left[\frac{e^{j\omega kT} - e^{-j\omega kT}}{j2} \right] = \frac{1}{j2} \mathcal{Z} \left[e^{j\omega kT} - e^{-j\omega kT} \right]

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{j2} \mathcal{Z} \left[e^{j\omega kT} \right] -  \frac{1}{j2} \mathcal{Z} \left[e^{-j\omega kT} \right]

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{j2} \left[\sum_{k=0}^{\infty}{e^{j\omega kT} \ z^{-k}} \right] -  \frac{1}{j2} \left[\sum_{k=0}^{\infty}{e^{-j\omega kT} \ z^{-k}} \right]

\displaystyle \begin{matrix} \mathcal{Z} [x(kT)]  = & \frac{1}{j2} \left[1 + e^{j\omega T} z^{-1} + e^{j2 \omega T} z^{-2} + e^{j3 \omega T} z^{-3} + \cdots \right] \\ \\ & - \frac{1}{j2} \left[1 + e^{-j\omega T} z^{-1} + e^{-j2 \omega T} z^{-2} + e^{-j3 \omega T} z^{-3} + \cdots \right] \end{matrix}

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{j2} \left(\frac{1}{1 - e^{-j \omega T} z^{-1}} \right) -  \frac{1}{j2} \left(\frac{1}{1 - e^{j \omega T} z^{-1}} \right)

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)]  = \frac{1}{j2} \left(\frac{1}{1 - e^{-j \omega T} z^{-1}} - \frac{1}{1 - e^{j \omega T} z^{-1}} \right)

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{j2} \left[\frac{z^{-1} (e^{j\omega T} - e^{-j \omega T})}{(1 - e^{-j \omega T} z^{-1})(1 - e^{j \omega T} z^{-1})} \right]

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \left(\frac{e^{j\omega T} - e^{-j \omega T}}{j2} \right) \left[\frac{z^{-1}}{(1 - e^{-j \omega T} z^{-1})(1 - e^{j \omega T} z^{-1})} \right]

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \left(\sin{\omega T} \right) \left[\frac{z^{-1}}{(1 - e^{-j \omega T} z^{-1})(1 - e^{j \omega T} z^{-1})} \right]

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \left(\sin{\omega T} \right) \left(\frac{z^{-1}}{1 - z^-1 e^{-j \omega T} - z^{-1} e^{j \omega T} + z{-2} e^{0}} \right)

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \left(\sin{\omega T} \right) \left(\frac{z^{-1}}{1 - z^{-1} (e^{j \omega T} + e^{-j \omega T}) + z^{-2}} \right)

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \left(\sin{\omega T} \right) \left[\frac{z^{-1}}{1 - 2z^{-1} \cos{\omega T} + z^{-2}} \right] = \frac{z^{-1} \sin{\omega T}}{1 - 2z^{-1} \cos{\omega T} + z^{-2}}

Finalmente,

\displaystyle \therefore \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{z^{-1} \sin{\omega T}}{1 - 2z^{-1} \cos{\omega T} + z^{-2}} = \frac{z \sin{\omega T}}{z^2 - 2z \cos{\omega T} + 1}

Función coseno «cos ωt»

\displaystyle x(t) = \left\{\begin{matrix} \cos{\omega t} & , & t \ge 0 \\ 0 & , & t<0 \end{matrix} \right.

Si t=kT, x(t) = x(kT). Por lo que

\displaystyle x(kT) = \left\{ \begin{matrix} \cos{\omega kT} & , & k \ge 0 \\ 0 & , & k<0 \end{matrix} \right.

La transformada z de la función exponencial es

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \mathcal{Z} [\cos{\omega kT}]

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \mathcal{Z} \left[\frac{e^{j\omega kT} + e^{-j\omega kT}}{2} \right] = \frac{1}{2} \mathcal{Z} \left[e^{j\omega kT} + e^{-j\omega kT} \right]

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{2} \mathcal{Z} \left[e^{j\omega kT} \right] +  \frac{1}{2} \mathcal{Z} \left[e^{-j\omega kT} \right]

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{2} \left[\sum_{k=0}^{\infty}{e^{j\omega kT} \ z^{-k}} \right] + \frac{1}{2} \left[\sum_{k=0}^{\infty}{e^{-j\omega kT} \ z^{-k}} \right]

\displaystyle \begin{matrix} \mathcal{Z} [x(kT)]  = & \frac{1}{2} \left[1 + e^{j\omega T} z^{-1} + e^{j2 \omega T} z^{-2} + e^{j3 \omega T} z^{-3} + \cdots \right] \\ \\ & + \frac{1}{2} \left[1 + e^{-j\omega T} z^{-1} + e^{-j2 \omega T} z^{-2} + e^{-j3 \omega T} z^{-3} + \cdots \right] \end{matrix}

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1 - e^{-j \omega T} z^{-1}} \right) + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1 - e^{j \omega T} z^{-1}} \right)

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)]  = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1 - e^{-j \omega T} z^{-1}} + \frac{1}{1 - e^{j \omega T} z^{-1}} \right)

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{2} \left[\frac{2 - z^{-1} (e^{j\omega T} + e^{-j \omega T})}{(1 - e^{-j \omega T} z^{-1})(1 - e^{j \omega T} z^{-1})} \right]

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{2} \left[\frac{2 - z^{-1} (e^{j\omega T} + e^{-j \omega T}) \cdot \frac{2}{2}}{(1 - e^{-j \omega T} z^{-1})(1 - e^{j \omega T} z^{-1})} \right]

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{2} \left[\frac{2 - 2 z^{-1} \left(\frac{e^{j\omega T} + e^{-j \omega T}}{2} \right) }{(1 - e^{-j \omega T} z^{-1})(1 - e^{j \omega T} z^{-1})} \right]

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1}{2} \left[\frac{2 - 2 z^{-1} \cos{\omega T}}{(1 - e^{-j \omega T} z^{-1})(1 - e^{j \omega T} z^{-1})} \right] = \frac{1 - z^{-1} \cos{\omega T}}{(1 - e^{-j \omega T} z^{-1})(1 - e^{j \omega T} z^{-1})}

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1 - z^{-1} \cos{\omega T}}{(1 - e^{-j \omega T} z^{-1})(1 - e^{j \omega T} z^{-1})}

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1 - z^{-1} \cos{\omega T}}{1 - e^{-j \omega T} z^{-1} - e^{j \omega T} z^{-1} + z^{-2} e^{0}}

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1 - z^{-1} \cos{\omega T}}{1 - z^{-1}(e^{-j \omega T} - e^{j \omega T}) + z^{-2}}

\displaystyle \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1 - z^{-1} \cos{\omega T}}{1 - 2 z^{-1} \cos{\omega T} + z^{-2}} = \frac{z^2 - z \cos{\omega T}}{z^2 - 2 z \cos{\omega T} + 1}

Finalmente,

\displaystyle \therefore \mathcal{Z} [x(kT)] = \frac{1 - z^{-1} \cos{\omega T}}{1 - 2 z^{-1} \cos{\omega T} + z^{-2}} = \frac{z^2 - z \cos{\omega T}}{z^2 - 2 z \cos{\omega T} + 1}

Propiedades de la transformada z

Multiplicación por una constante

Si X(z) es la transformada z de x(t), entonces

\mathcal{Z}[ax(t)] = a \mathcal{Z} [x(t)] = a X(z)

Donde a es una constante.

Para probar esto, se observa que

\displaystyle \mathcal{Z} [a x(t)] = a \mathcal{Z}[x(t)] = a \sum_{k=0}^{\infty}{x(t)  z^{-k}} = a \ X(z)

Linealidad de la transformada z

La transformada z posee la linealidad, es decir, si f(k) y g(k) tienen transformada z y \alpha y \beta son escalares, entonces x(k) formada de una combinación lineal

x(k) = \alpha f(k) + \beta g(k)

tiene la transformada z

\mathcal{Z} [x(k)] = \mathcal{Z} [\alpha f(k)] + \mathcal{Z} [\beta g(k)]

\mathcal{Z} [x(k)] = \alpha \mathcal{Z} [f(k)] + \beta \mathcal{Z} [g(k)]

Utilizando la propiedad de linealidad, se tiene lo siguiente

\displaystyle \mathcal{Z} [x(k)] = \alpha \sum_{k=0}^{\infty}{f(k) z^{-k}} + \beta \sum_{k=0}^{\infty}{g(k) z^{-k} }

\mathcal{Z} [x(k)] =  \alpha F(z) + \beta G(z)

Donde \alpha y \beta son constantes.

Multiplicación por a^k

Si X(z) es la transformada z de x(k), entonces la transformada z de a^k x(k) está dada por X(a^{-1} z).

\mathcal{Z} [a^{k} x(k)] = X[a^{-1} z]

Probando lo siguiente

\displaystyle \mathcal{Z} [a^k x(k)] = \sum_{k=0}^{\infty}{a^k x(k) z^{-k}}

\displaystyle \mathcal{Z} [a^k x(k)] = \sum_{k=0}^{\infty}{{(a^{-1} z)}^{-k} x(k)}

\mathcal{Z} [a^k x(k)] = X(a^{-1} z)

Teoremas para la transformada z

Teorema de corrimiento

Este teorema es también llamada teorema de traslación real. Si x(t)=0 para t<0 y x(t) tiene la transformada z X(z), entonces

\mathcal{Z} [x(t-nT)] = z^{-n} X(z)

Y también

\displaystyle \mathcal{Z} [x(t+nT)] = z^n \left[X(z) - \sum_{k=0}^{n-1}{x(kT) z^{-k}} \right]

donde n es cero o un entero positivo.

Teorema de traslación compleja

Si x(t) tiene la transformada z, X(z), entonces la transformada z de e^{-at} x(t) está dada por X(ze^{aT})

\mathcal{Z} [e^{-at} x(t)] = \mathcal{Z} [e^{-akT} x(kT)]

\displaystyle \mathcal{Z} [e^{-at} x(t)] = \sum_{k=0}^{\infty}{e^{-akT} x(kT) z^{-k}} = \sum_{k=0}^{\infty}{x(kT) (e^{aT} z)^{-k}}

\displaystyle \mathcal{Z} [e^{-at} x(t)] = X(ze^{aT} )

Teorema del valor inicial

Si x(t) tiene la transformada z X(z) y si el \displaystyle \lim_{z \rightarrow \infty}{X(z)} existe, entonces el valor inicial x(0) de x(t) o x(k) está dado por

\displaystyle \lim_{k \rightarrow 0}{x(k)} = x(0) = \lim_{z \rightarrow \infty}{X(z)}

Debido a que x(0) normalmente se conoce, una verificación del valor inicial mediante \displaystyle \lim_{z \rightarrow \infty}{X(z)} puede facilitar errores en X(z), si éstos existe.

Teorema del valor final

Al suponer que x(k), donde x(k)=0 para k<0, tiene transformada z, X(z), que todos los polos de X(z) están dentro del círculo unitario, con la posible excepción de un solo polo en z=1. Ésta es la condición para la estabilidad de X(z), o la condición para que x(k) donde k=0, 1, 2, 3, … permanezca infinita.

\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}{x(k)} = x(\infty) = \lim_{z \rightarrow 1}{[(1-z^{-1} )X(z)]}


Deja una respuesta

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Salir /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Salir /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Salir /  Cambiar )

Conectando a %s

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.