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Muestreo mediante impulsos. Control digital

Muestreador mediante impulsos

La salida de este muestreador se considera un tren de impulsos que comienza en t=0, el período de muestreo igual a T y la magnitud de cada impulso igual al valor muestreado de la señal en tiempo continuo en el instante del muestreo correspondiente. En la figura 1 se muestra un diagrama de un muestreador  mediante impulsos, donde x(t) = 0 para t<0. En cálculo, un impulso está definido como una función que tiene una amplitud infinita con duración cero, mostrándose gráficamente como una flecha con una amplitud que representa la magnitud del impulso.

muestreador mediante impulsos
Figura 1. Muestreador mediante impulsos.

La salida muestreada mediante impulsos es una secuencia de impulsos, con la magnitud de cada impulso igual al valor de x(t) en el instante de tiempo correspondiente. Esto es, en el tiempo t=kT, el impulso es x(kT) \delta (t-kT). Observe que \delta (t-kT) = 0 a menos que t = kT. Se empleará la notación x^* (t) para representar la salida muestreada mediante impulsos. La señal muestreada x^* (t), un tren de impulsos, se puede expresar como una sumatoria infinita

\displaystyle x^* (t) = \sum_{k=0}^{\infty}{x(kT) \delta (t-kT)}

x^* (t) = x(0) \delta (t) + x(T) \delta(t-T) + x(2T) \delta(t - 2T) + ... + x(kT) \delta (t - kT)

Definiendo un tren de impulsos unitarios como {\delta}_{T} (t), entonces

\displaystyle {\delta}_{T} (t) = \sum_{k=0}^{\infty}{\delta (t - kT)}

La salida del muestreador es igual al producto de la señal en tiempo continuo de entrada x(t) por el tren de impulsos unitarios {\delta}_T (t). En consecuencia, el muestreador puede considerar como un modulador de entrada x(t) como la señal modulada y el tren de impulsos {\delta}_T (t) como la portadora, como se observa en la figura 2.

muestreador mediante impulsos como muestreador
Figura 2. Muestreador mediante impuslso como modulador.

Utilizando la transformada de Laplace

x^* (t) = x(0) \delta (t) + x(T) \delta(t-T) + x(2T) \delta(t - 2T) + ... + x(kT) \delta (t - kT)

\mathcal{L}[x^* (t)] = \mathcal{L} [x(0) \delta (t) + x(T) \delta(t-T) + x(2T) \delta(t - 2T) + ... + x(kT) \delta (t - kT)]

\mathcal{L}[x^* (t)] = x(0) \mathcal{L}[\delta (t)] + x(T) \mathcal{L}[\delta(t-T)] + x(2T) \mathcal{L}[\delta(t - 2T)] + ... + x(kT) \mathcal{L}[\delta (t - kT)]

X^* (s) = x(0) \cdot (1) + x(T) \cdot e^{-Ts} + x(2T) \cdot e^{-2T} + ... + x(kT) \cdot e^{- kT}

\displaystyle X^*(s) = \sum_{k=0}^{\infty}{x(kT) \cdot e^{-kTs}}

\displaystyle X^*(s) = \sum_{k=0}^{\infty}{x(kT) \cdot {\left( e^{Ts} \right)}^{-k}}

Al definir \displaystyle z = e^{Ts}, donde al despejar la variable s, la expresión es

\displaystyle s = \frac{1}{T} \ln{z}

Sustituyendo en la ecuación X^*(s), se tiene los siguiente

\displaystyle X^*(s) |_{s=\frac{1}{T} \ln{z}} = \sum_{k=0}^{\infty}{x(kT) \cdot z^{-k}}

En esta última ecuación, en el segundo miembro, es la expresión de la transformada z de la secuencia x(0), x(T), x(2T), … , generada a partir de x(t) en t=kT, donde k=0,1,2,.... Por tanto se puede escribir

\displaystyle X^*(s) |_{s=\frac{1}{T} \ln{z}} = X(z)

Además

\displaystyle X^*(s) |_{s=\frac{1}{T} \ln{z}} = X^* (\frac{1}{T} \ln{z}) = X(z) = \sum_{k=0}^{\infty}{x(kT) \cdot z^{-k}}

Se observa que la variable z es una variable compleja y T es el período de muestreo.


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