métodos numéricos

Solución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden utilizando el método de Euler. Métodos numéricos.

Introducción

Una ecuación diferencial ordinaria lineal está representado de la siguiente manera

\displaystyle y^{'} (x) = \frac{dy}{dx} = f(x,y)

Y debe tener una condición inicial y(x_0 ) = y_0 en un intervalo cerrado a \le x \le b. Con el método de Euler, si x_0 = a y y_0 = \alpha, la condición inicial también puede escribirse de la siguiente manera y(a) = \alpha; remplazando y(a) por \omega_0, el primer dato que toma este método es el siguiente

\omega_0 = \alpha

Con x_0 = a.

La fórmula general del método de Euler es

\omega_i = \omega_{i-1} + h \cdot f(x_{i-1} , \omega_{i-1} )

Donde

  • \omega_i y \omega_{i-1} representan los valores de y_i y y_{i-1} por medio de y_n.
  • h es el tamaño de paso y se calcula por la fórmula

\displaystyle h = \frac{b-a}{n}

  • a es el valor inferior del intervalo cerrado
  • b es el valor superior del intervalo cerrado
  • n es el tamaño o las iteraciones a considerar (n=0, 1, 2, 3, ... )
  • x_{i-1} es el valor de la abscisa anterior calculado basado en x_n, que es la variable a calcular y su fórmula es x_n = a + n \cdot h

Problema resuelto

Problema 1. Encontrar x_i, \omega_i para \displaystyle y^{'} = \frac{3}{x} + 2x^2, con valor inicial de y(1)=2 y con n=4.

Solución. En la ecuación diferencial, se observa que

\displaystyle y^{'} = \frac{3}{x} + 2x^2

\displaystyle f(x,y) = \frac{3}{x} + 2x^2

Al analizar la condición inicial \displaystyle y(1) = 2, se observa que a=1 y \omega_0 = b = 2. El valor de h es

\displaystyle h = \frac{b-a}{n}

\displaystyle h = \frac{2-1}{4} = \frac{1}{4}

h = 0.25

Por medio de la fórmula x_n = a + n \cdot h, se muestra los siguientes valores

mn-p1-s-euler-tabla1

Por el método de Euler

\omega_i = \omega_{i-1} + h \cdot (x_{i-1},\omega_{i-1} )

La primera iteración es (con i=1)

\omega_1 = \omega_{1-1} + h \cdot f(x_{1-1} , \omega_{1-1} ) = \omega_0 + h \cdot f(x_0, \omega_0 )

\displaystyle \omega_1 = 2 + (0.25) \cdot f(1,2) = 2 + (0.25) \left[ \frac{3}{1} + 2{(1)}^2 \right]

\omega_1 = 2 + (0.25)(5) = 2 + 1.25 = 3.25

\therefore \omega_1 = 3.25

La segunda iteración es (con i = 2)

\omega_2 = \omega_{2-1} + h \cdot f(x_{2-1}, \omega_{2-1} ) = \omega_1 + h \cdot f(x_1, \omega_1 )

\displaystyle \omega_2 = 3.25 + (0.25) \cdot f(1.25, 3.25) = 3.25 + (0.25)\left [\frac{3}{1.25} + 2{(1.25)}^{2} \right]

\omega_2 = 3.25 + (0.25)(5.525) = 3.25 + 1.381 = 4.631

\therefore \omega_2 = 4.631

La tercera iteración (con i=3) es

\omega_3 = \omega_{3-1} + h \cdot f(x_{3-1}, \omega_{3-1} ) = \omega_{2} + h \cdot f(x_2, \omega_2 )

\displaystyle \omega_3 = 4.631 + (0.25) \cdot f(1.5, 4.631) = 4.631 + (0.25) \left[ \frac{3}{1.5} + 2{(1.5)}^2 \right]

\omega_3 = 4.631 + (0.25)(6.5) = 4.631 + 1.625

\therefore \omega_3 = 6.256

La cuarta iteración (con i=4) es

\omega_4 = \omega_{4-1} + h \cdot f(x_{4-1}, \omega_{4-1} ) = \omega_3 + h \cdot f(x_3, \omega_3 )

\displaystyle \omega_4 = 6.256 + (0.25) \cdot f(1.75, 6.256) = 6.256 + (0.25) \left[\frac{3}{1.75} + 2{(1.75)}^{2} \right]

\omega_4 = 6.256 + (0.25)(7.839) = 6.256 + 1.96

\therefore \omega_4 = 8.216

Finalmente, en un resumen se visualizan estos resultados aplicados por el método de Euler

mn-p1-s-euler-tabla2

Ahora, antes de calcular los valores exactos, primer se resuelve la ecuación diferencial aplicando el método de separación de variables.

\displaystyle y^{'} = \frac{3}{x} + 2x^2

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{3}{x} + 2x^2

\displaystyle dy = (\frac{3}{x}+2x^2 ) dx

\displaystyle \int{dy} = \int{(\frac{3}{x} + 2x^2 ) dx}

\displaystyle y = 3 \ln{x} + \frac{2}{3} x^3 + C

Esta expresión es la solución general de la ecuación diferencial del problema. Obteniendo el valor de C por medio del punto inicial y(1) = 2

\displaystyle y = 3 \ln{x} + \frac{2}{3} x^3 + C

\displaystyle y(1) = 3 \ln{1} + \frac{2}{3} {(1)}^3 + C

\displaystyle 2 = 0 + \frac{2}{3} + C

\displaystyle C = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

Entonces

\displaystyle y = 3 \ln{x} + \frac{2}{3} x^3 + C

\displaystyle y = 3 \ln{x} + \frac{2}{3} x^3 + \frac{4}{3}

Este resultado es la solución particular de la ecuación diferencial del problema. Tomando los valores de x_n (desde x_0 hasta x_4), se evalúan en la función y = 3 \ln{x} + \frac{2}{3} x^3 + \frac{4}{3}, obtenida de la ecuación diferencial; los resultados se muestran en la siguiente tabla

mn-p1-s-euler-tabla3

Al graficar los puntos calculados por el método de Euler (valores aproximados) y por evaluación directa (valores exactos), se tiene lo siguiente

Figura 1. Representación gráfica de los resultados obtenidos con el método de Euler.
mn-p1-s-euler-imagen2
Figura 2. Representación gráfica de los resultados obtenidos tabulando la solución particular.
mn-p1-s-euler-imagen3
Figura 3. Comparación de gráficas que fueron obtenido por el método de Euler (valor aproximado, línea rosa) y por tabulación de la solución particular de la ecuación diferencial (valor exacto, línea verde).

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