Diferenciación numérica. Métodos numéricos.

Introducción

De una función $f(x)$ , se puede calcular el valor de la primera derivada de manera numérica utilizando la siguiente fórmula (teniendo los valores de $h$ y de $x_0$ )

$\displaystyle f^{'} (x) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Si se desea calcular el valor de su segunda derivada (teniendo los valores de $h$ y de $x_0$ ) de manera numérica, la fórmula es la siguiente

$\displaystyle f^{''} (x) = \frac{1}{h^2} \left[ f(x_0+h)-2f(x_0 )+f(x_0-h) \right]$

Problema resuelto

Problema 1. Sea $\displaystyle f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x^2} + 1$ . Obtener $f^{'} (1.5)$ y $f^{''} (1.5)$ para $h=0.10$ (tomando solo 3 cifras después del punto).

Solución. De la función del problema, se evalúa para $x_0 = 1.5$ (obtenido de $f^{'} (1.5)$ y $f^{''} (1.5)$ , respectivamente).

$\displaystyle f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x^2} + 1$

$\displaystyle f(1.5) = \sqrt{1.5} + \frac{1}{{(1.5)}^2} + 1$

$f(1.5) = 2.669$

Realizando la siguiente suma

$x_0 + h = 1.5 + 0.1 = 1.6$

$x_0 + h = 1.6$

Y también, la siguiente resta

$x_0 - h = 1.5 - 0.1$

$x_0 - h = 1.4$

Evaluando la función del problema con los valores de $x_0 + h = 1.6$ y $x_0 + h = 1.4$ respectivamente

\displaystyle f(1.6) = \sqrt{1.6} + \frac{1}{{(1.6)}^2} + 1

\displaystyle f(1.4) = \sqrt{1.4} + \frac{1}{{(1.4)}^2} + 1

Calculando la primera derivada

$\displaystyle f^{'} (x) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

$\displaystyle f^{'} (1.5) = \frac{f(1.6)-f(1.5)}{0.10} = \frac{2.656-2.669}{0.10}$

Finalmente

$\therefore f^{'} (1.5) = -0.13$

Y calculando la segunda derivada

$\displaystyle f^{''} (x) = \frac{1}{h^2} [f(x_0 + h) - 2f(x_0 ) + f(x_0 - h)]$

$\displaystyle f^{''} (1.5) = \frac{1}{{(0.10)}^2} [f(1.6) - 2f(1.5) + f(1.4)]$

$\displaystyle f^{''} (1.5) = \frac{1}{0.01} [2.656 - (2)(2.669) + 2.693]$

Finalmente

$\therefore f^{''} (1.5) = 1.1$

Antes de calcular el error (para comparar el valor exacto con el valor aproximado de la primera y segunda derivada), se obtiene la primera derivada de la función

$\displaystyle \frac{df}{dx} = \frac{d}{dx} (\sqrt{x} + \frac{1}{x^2} + 1)$

$\displaystyle f^{'} (x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x^3}$

Evaluando la primera derivada con $x = x_0 = 1.5$

$\displaystyle f^{'} (1.5) = \frac{1}{2\sqrt{1.5}} - \frac{2}{{(1.5)}^3}$

$f^{'} (1.5) = -0.185$

Y para la segunda derivada de la función

$\displaystyle \frac{d}{dx} [f^{'} (x)] = \frac{d}{dx} (\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x^3})$

$\displaystyle f^{''} (x) = -\frac{1}{4\sqrt{x^3}} + \frac{6}{x^4}$

Evaluando la segunda derivada con $x = x_0 = 1.5$

$\displaystyle f^{''} (1.5) = -\frac{1}{4\sqrt{{(1.5)}^3}} + \frac{6}{{(1.5)}^4}$

$f^{''} (x) = 1.049$

Se determina el primer error en base a los resultados de la primera derivada evaluados en el punto $x = x_0 = 1.5$ .

$E_{f^{'} (x)} = |V.E - V.A.|$

$E_{f^{'} (x)} = |-0.185+0.13|$

$E_{f^{'} (x)} = 0.055$

Y el segundo error esta basado en los resultados de la segunda derivada evaluados en el punto $x = x_0 = 1.5$ .

$E_{f^{''} (x)} = |V.E.-V.A.|$

$E_{f^{''} (x)} = |1.049-1.1|$

$E_{f^{''} (x)} = 0.051$

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$\displaystyle f(1.6) = \sqrt{1.6} + \frac{1}{{(1.6)}^2} + 1$	$\displaystyle f(1.4) = \sqrt{1.4} + \frac{1}{{(1.4)}^2} + 1$
$f(1.6) = 2.656$	$f(1.4) = 2.693$

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Publicado por Cesar Reyes

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