métodos numéricos

Diferenciación numérica. Métodos numéricos.

Introducción

De una función f(x), se puede calcular el valor de la primera derivada de manera numérica utilizando la siguiente fórmula (teniendo los valores de h y de x_0)

\displaystyle f^{'} (x) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Si se desea calcular el valor de su segunda derivada (teniendo los valores de h y de x_0) de manera numérica, la fórmula es la siguiente

\displaystyle f^{''} (x) = \frac{1}{h^2} \left[ f(x_0+h)-2f(x_0 )+f(x_0-h) \right]

Problema resuelto

Problema 1. Sea \displaystyle f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x^2} + 1. Obtener f^{'} (1.5) y f^{''} (1.5) para h=0.10 (tomando solo 3 cifras después del punto).

Solución. De la función del problema, se evalúa para x_0 = 1.5 (obtenido de f^{'} (1.5) y f^{''} (1.5), respectivamente).

\displaystyle f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x^2} + 1

\displaystyle f(1.5) = \sqrt{1.5} + \frac{1}{{(1.5)}^2} + 1

f(1.5) = 2.669

Realizando la siguiente suma

x_0 + h = 1.5 + 0.1 = 1.6

x_0 + h = 1.6

Y también, la siguiente resta

x_0 - h = 1.5 - 0.1

x_0 - h = 1.4

Evaluando la función del problema con los valores de x_0 + h = 1.6 y x_0 + h = 1.4 respectivamente

\displaystyle f(1.6) = \sqrt{1.6} + \frac{1}{{(1.6)}^2} + 1\displaystyle f(1.4) = \sqrt{1.4} + \frac{1}{{(1.4)}^2} + 1
f(1.6) = 2.656f(1.4) = 2.693

Calculando la primera derivada

\displaystyle f^{'} (x) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

\displaystyle f^{'} (1.5) = \frac{f(1.6)-f(1.5)}{0.10} = \frac{2.656-2.669}{0.10}

Finalmente

\therefore f^{'} (1.5) = -0.13

Y calculando la segunda derivada

\displaystyle f^{''} (x) = \frac{1}{h^2} [f(x_0 + h) - 2f(x_0 ) + f(x_0 - h)]

\displaystyle f^{''} (1.5) = \frac{1}{{(0.10)}^2} [f(1.6) - 2f(1.5) + f(1.4)]

\displaystyle f^{''} (1.5) = \frac{1}{0.01} [2.656 - (2)(2.669) + 2.693]

Finalmente

\therefore f^{''} (1.5) = 1.1

Antes de calcular el error (para comparar el valor exacto con el valor aproximado de la primera y segunda derivada), se obtiene la primera derivada de la función

\displaystyle \frac{df}{dx} = \frac{d}{dx} (\sqrt{x} + \frac{1}{x^2} + 1)

\displaystyle f^{'} (x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x^3}

Evaluando la primera derivada con x = x_0 = 1.5

\displaystyle f^{'} (1.5) = \frac{1}{2\sqrt{1.5}} - \frac{2}{{(1.5)}^3}

f^{'} (1.5) = -0.185

Y para la segunda derivada de la función

\displaystyle \frac{d}{dx} [f^{'} (x)] = \frac{d}{dx} (\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x^3})

\displaystyle f^{''} (x) = -\frac{1}{4\sqrt{x^3}} + \frac{6}{x^4}

Evaluando la segunda derivada con x = x_0 = 1.5

\displaystyle f^{''} (1.5) = -\frac{1}{4\sqrt{{(1.5)}^3}} + \frac{6}{{(1.5)}^4}

f^{''} (x) = 1.049

Se determina el primer error en base a los resultados de la primera derivada evaluados en el punto x = x_0 = 1.5.

E_{f^{'} (x)} = |V.E - V.A.|

E_{f^{'} (x)} = |-0.185+0.13|

E_{f^{'} (x)} = 0.055

Y el segundo error esta basado en los resultados de la segunda derivada evaluados en el punto x = x_0 = 1.5.

E_{f^{''} (x)} = |V.E.-V.A.|

E_{f^{''} (x)} = |1.049-1.1|

E_{f^{''} (x)} = 0.051


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