métodos numéricos

Polinomio interpolante utilizando el método de Newton. Métodos numéricos.

Introducción

El método de Newton (también llamado diferencias divididas) consiste en realizar una división entre la diferencia de los valores de las funciones evaluadas y la diferencia entre los valores que se utilizaron para obtener los resultados de esas funciones; los datos que se debe brindar el problema o el usuario son nodos (valores arbitrarios pertenecientes al domino de la función).

Si un nodo contiene tres valores (x_0, x_1, x_2), por medio de este método, se determina la primera diferencia

\displaystyle f(x_0, x_1 ) = \frac{f(x_1 )-f(x_0 )}{x_1-x_0}\displaystyle f(x_1, x_2 ) = \frac{f(x_2 )-f(x_1 )}{x_2-x_1}

Y la segunda diferencia

\displaystyle f(x_0, x_1, x_2 ) = \frac{f(x_1, x_2 )-f(x_0,x_1 )}{x_2-x_0}

El polinomio interpolante esperado es el siguiente

P(x) = f(x_0 ) + f(x_0, x_1 ) \cdot (x- x_0 ) + f(x_0, x_1, x_2 ) \cdot (x-x_0 ) \cdot (x- x_1 )

Si un nodo contiene cuatro valores (x_0, x_1, x_2, x_3), por medio de este método, se determina la primera diferencia

\displaystyle f(x_0, x_1 ) = \frac{f(x_1 )-f(x_0 )}{x_1-x_0}\displaystyle f(x_1, x_2 ) = \frac{f(x_2 )-f(x_1 )}{x_2-x_1}\displaystyle f(x_3, x_2 ) = \frac{f(x_3 )-f(x_2 )}{x_3-x_2}

la segunda diferencia es

\displaystyle f(x_0, x_1, x_2 ) = \frac{f(x_1, x_2 )-f(x_0,x_1 )}{x_2-x_0}\displaystyle f(x_1, x_2, x_3 ) = \frac{f(x_2, x_3 )-f(x_1,x_2 )}{x_2-x_0}

y la tercera diferencia es

\displaystyle f(x_0, x_1, x_2, x_3 ) = \frac{f(x_1,x_2,x_3 )-f(x_0,x_1,x_2 )}{x_3-x_0}

El polinomio interpolante esperado es el siguiente

P(x) = f(x_0 ) + f(x_0, x_1 ) \cdot (x- x_0 ) + f(x_0, x_1, x_2 ) \cdot (x-x_0 ) \cdot (x- x_1 ) + f(x_0, x_1, x_2, x_3 ) \cdot (x- x_0 ) \cdot (x-x_1 ) \cdot (x- x_2 )

Problemas resueltos

Problema 1. De la función f(x) = 2xe^{-x} para los nodos (1, 2, 3), obtener el polinomio interpolante por medio del método de Newton para interpolar en f(1.5).

Solución. De los tres nodos brindados por el problema, se evalúan cada uno de ellos en la función del problema

mn-p41-s-tabla1

Después, se calcula la primera diferencia

\displaystyle f(x_0, x_1 ) = \frac{f(x_1 )-f(x_0 )}{x_1-x_0}

\displaystyle f(1, 2) = \frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \frac{0.541-0.736}{2-1} = -0.195

\displaystyle f(x_1, x_2 ) = \frac{f(x_2 )-f(x_1 )}{x_2-x_1}

\displaystyle f(2, 3) = \frac{f(3)-f(2)}{3-2} = \frac{0.299-0.541}{3-2} = -0.242

Y para la segunda diferencia

\displaystyle f(x_0, x_1, x_2 ) = \frac{f(x_1, x_2 )-f(x_0,x_1 )}{x_2-x_0}

\displaystyle f(1, 2, 3) = \frac{f(2,3)-f(1,2)}{3-1} = \frac{-0.242+0.195}{3-1} = -0.024

La fórmula del polinomio interpolante por el método de Newton es la siguiente

P(x) = f(x_0 ) + f(x_0, x_1 ) \cdot (x- x_0 ) + f(x_0, x_1, x_2 ) \cdot (x-x_0 ) \cdot (x- x_1 )

Sustituyendo

P(x) = f(1) + f(1, 2) \cdot (x- 1) + f(1, 2, 3) \cdot (x-1) \cdot (x- 2)

P(x) = 0.736 + (-0.195) \cdot (x-1) + (-0.024) \cdot (x-1) \cdot (x-2)

Simplificando la expresión de P(x)

P(x) = 0.736 - 0.195x + 0.195 - 0.024(x^2-3x+2)

P(x) = 0.736-0.195x+0.195-0.024x^2+0.072x-0.048

El polinomio interpolante es

\therefore P(x) = -0.024x^2-0.123x+0.883

El valor de x=1.5 se evalúa en la ecuación polinomio interpolante

P(x) = -0.024x^2-0.123x+0.883

P(1.5)=-0.024(1.5)^2-0.123(1.5)+0.883

\therefore P(1.5) = 0.6445

Antes de calcular el error, se evalúa el valor de x=1.5 (obtenido de f(1.5)) en la función del problema

f(x)=2x{e}^{-x}

f(1.5)=2(1.5) e^{-1.5}

f(1.5)=0.6694

El valor del error E

E=|f(1.5)-P(1.5)|

E=|0.6694-0.6445| = |0.0249|

E=0.0249

Esto se refiere a que entre el valor de f(1.5) y el valor de P(1.5) existe una diferencia del 0.0249 unidades.


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