Solución de un sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss – Seidel. Métodos numéricos.

Introducción

Este método método ayuda a calcular los valores de las variables cercanos al valor exacto de un sistema de ecuaciones lineales en base al siguiente procedimiento.

Dado un sistema de ecuaciones lineales, formar una diagonal hacia la izquierda donde representen los coeficiente con mayor valor absoluto (sin importar su signo) quedando un nuevo sistema de ecuaciones lineales.
Del nuevo sistema de ecuaciones lineales, despejar cada variable: la primera ecuación se despejará con respecto a $x$ , la segunda ecuación se despeja con respecto a $y$ y la tercera se despeja con respecto a $z$ .
El problema debe brindar una iteración, así que, se toma esa iteración y se sustituye en cada ecuación despejada.
Realizar una diferencia (aplicar la fórmula del error) entre el valor nuevo y el valor anterior.
De los resultados de cada diferencia, identificar que valor es mayor y compararlo con la tolerancia (brindado por el problema o por el usuario), si el valor es mayor que la tolerancia se pasa a la siguiente iteración sino es el resultado esperado.

Problema resuelto

Problema 1. Encontrar los valores de $x$ , $y$ y $z$ del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Con tolerancia de 0.010 a partir del origen (0,0,0).

Solución. Se acomodan las ecuaciones de tal manera que al formar una diagonal positiva se visualicen los coeficientes con mayores valores absoluto. Entonces

Ahora, despejando la primera ecuación con respecto a $x$

$3x-0.35y-0.85z=1$

$\displaystyle x = \frac{1+0.35y+0.85z}{3}$

Despejando la segunda ecuación con respecto a $y$

$-0.3x-2y+0.5z=2$

$\displaystyle y=\frac{2+0.3x-0.5z}{-2}$

Y despejando la tercera ecuación con respecto a $z$

$0.25x+0.75y+2z=-5$

$\displaystyle z = \frac{-5-0.25x-0.75y}{2}$

En la primera iteración, tomando el punto inicial, con $(0, 0, 0)$ , se sustituye en la primera ecuación

$\displaystyle x_1 = \frac{1+0.35y_0+0.85z_0}{3}$

$\displaystyle x_1 = \frac{1+0.35(0)+0.85(0)}{3}$

$x_1=0.333$

Del valor de $x_1$ , se genera un siguiente punto, es decir, de $(0, 0, 0)$ ahora es $(0.333 0, 0)$ . Utilizándolo para sustituir en la segunda ecuación

$\displaystyle y_1 = \frac{2+0.3x_1-0.5z_0}{-2}$

$\displaystyle y_1 = \frac{2+0.3(0.333)-0.5(0)}{-2}$

$y_1 = -1.050$

Del valor de $y_1$ , se genera un siguiente intervalo (incluyendo el valor de $x_1$ ), es decir, de $(0.333, 0, 0)$ ahora es $(0.333, -1.050, 0)$ . Utilizándolo para sustituir en la tercera ecuación

$\displaystyle z_1 = \frac{-5-0.25x_1-0.75y_1}{2}$

$\displaystyle z_1 = \frac{-5-0.25(0.333)-0.75(-1.050)}{2}$

$z_1=-2.148$

En la primera iteración, el nuevo punto es

$(x_1, y_1, z_1 )=(0.333, -1.050, -2.148)$

Calculando el primer error máximo

$E_1 = \max{||x_1-x_0 |,|y_1-y_0 |,|z_1-z_0 ||}$

$E_1 = \max{||0.333-0|,|-1.050-0|,|-2.148-0||}$

$E_1 = \max{||0.333|,|-1.050|,|-2.148||}$

$E_1 = \max{|0.333, 1.050, 2.148|}$

Tomando el valor máximo de $E_1$

$E_1=2.148$

Comparando el valor del primer error con el valor de la tolerancia

$E_1 > \text{Tolerancia}$

$2.148>0.010$

El valor de este error es mayor que la tolerancia, así que, continua el procedimiento con la siguiente iteración.

En la segunda iteración, tomando el punto $(0.333, -1.050, -2.148)$ , se sustituye en la primera ecuación

$\displaystyle x_2 = \frac{1+0.35y_1+0.85z_1}{3}$

$\displaystyle x_2 = \frac{1+0.35(-1.050)+0.85(-2.148)}{3}$

$x_2=-0.398$

Del valor de $x_2$ , se genera un siguiente punto, es decir, de $(0.333, -1.050, -2.148)$ ahora es $(-0.398, -1.050, -2.148)$ . Utilizándolo para sustituir en la segunda ecuación

$\displaystyle y_2 = \frac{2+0.3x_2-0.5z_1}{-2}$

$\displaystyle y_2 = \frac{2+0.3(-0.398)-0.5(-2.148)}{-2}$

$y_2=-1.477$

Del valor de $y_2$ , se genera un siguiente intervalo (incluyendo el valor de $x_2$ ), es decir, de $(-0.398, -1.050, -2.148)$ ahora es $(-0.398, -1.477, -2.148)$ . Utilizándolo para sustituir en la tercera ecuación

$\displaystyle z_2 = \frac{-5-0.25x_2-0.75y_2}{2}$

$\displaystyle z_2 = \frac{-5-0.25(-0.398)-0.75(-1.477)}{2}$

$z_2 = -1.896$

En la segunda iteración, el nuevo punto es

$(x_2, y_2, z_2 ) = (-0.398, -1.477, -1.896)$

Calculando el segundo error máximo

$E_2 = \max{||x_2-x_1 |,|y_2-y_1 |,|z_2-z_1 ||}$

$E_2 = \max{||-0.398-0.333|,|-1.477+1.050|,|-1.896+2.148||}$

$E_2 = \max{||0.731|,|-0.427|,|-0.252||}$

$E_2 = \max{|0.731, 0.427, 0.252|}$

Tomando el valor máximo de $E_2$

$E_2 = 0.731$

Comparando el valor del segundo error con el valor de la tolerancia

$E_2 > \text{Tolerancia}$

$0.731>0.010$

El valor de este error es mayor que la tolerancia, así que, continua el procedimiento con la siguiente iteración.

En la tercera iteración, tomando el punto $(-0.398, -1.477, -1.896)$ , se sustituye en la primera ecuación

$\displaystyle x_3 = \frac{1+0.35y_2+0.85z_2}{3}$

$\displaystyle x_3 = \frac{1+0.35(-1.477)+0.85(-1.896)}{3}$

$x_3 = -0.376$

Del valor de $x_3$ , se genera un siguiente punto, es decir, de $(-0.398, -1.477, -1.896)$ ahora es $(-0.376, -1.477, -1.896)$ . Utilizándolo para sustituir en la segunda ecuación

$\displaystyle y_3 = \frac{2+0.3x_3-0.5z_2}{-2}$

$\displaystyle y_3 = \frac{2+0.3(-0.376)-0.5(-1.896)}{-2}$

$y_3=-1.418$

Del valor de $y_3$ , se genera un siguiente intervalo (incluyendo el valor de $x_3$ ), es decir, de $(-0.376, -1.477, -1.896)$ ahora es $(-0.376, -1.418, -1.896)$ . Utilizándolo para sustituir en la tercera ecuación

$\displaystyle z_3 = \frac{-5-0.25x_3-0.75y_3}{2}$

$\displaystyle z_3 = \frac{-5-0.25(-0.376)-0.75(-1.418)}{2}$

$z_3 = -1.921$

En la tercera iteración, el nuevo punto es

$(x_3, y_3, z_3 )=(-0.376, -1.418, -1.921)$

Calculando el tercer error máximo

$E_3 = \max{||x_3-x_2 |,|y_3-y_2 |,|z_3-z_2 ||}$

$E_3 = \max{||-0.376+0.398|,|-1.418+1.477|,|-1.921+1.896||}$

$E_3 = \max{||0.022|,|0.059|,|-0.025||}$

$E_3 = \max{|0.022, 0.059, 0.025|}$

Tomando el valor máximo de $E_3$

$E_3 = 0.059$

Comparando el valor del tercer error con el valor de la tolerancia

$E_3 > \text{Tolerancia}$

$0.059>0.010$

El valor de este error es mayor que la tolerancia, así que, continua el procedimiento con la siguiente iteración.

En la cuarta iteración, tomando el punto $(-0.376, -1.418, -1.921)$ , se sustituye en la primera ecuación

$\displaystyle x_4 = \frac{1+0.35y_3+0.85z_3}{3}$

$\displaystyle x_4 = \frac{1+0.35(-1.418)+0.85(-1.921)}{3}$

$x_4 = -0.376$

Del valor de $x_4$ , se genera un siguiente punto, es decir, de $(-0.376, -1.418, -1.921)$ ahora es $(-0.376, -1.418, -1.921)$ . Utilizándolo para sustituir en la segunda ecuación

$\displaystyle y_4 = \frac{2+0.3x_4-0.5z_3}{-2}$

$\displaystyle y_4 = \frac{2+0.3(-0.376)-0.5(-1.921)}{-2}$

$y_4 = -1.424$

Del valor de $y_4$ , se genera un siguiente intervalo (incluyendo el valor de $x_4$ ), es decir, de $(-0.376, -1.418, -1.921)$ ahora es $(-0.376, -1.424, -1.921)$ . Utilizándolo para sustituir en la tercera ecuación

$\displaystyle z_4 = \frac{-5-0.25x_4-0.75y_4}{2}$

$\displaystyle z_4 = \frac{-5-0.25(-0.376)-0.75(-1.424)}{2}$

$z_4=-1.919$

En la cuarta iteración, el nuevo punto es

$(x_4, y_4, z_4 ) = (-0.376, -1.424, -1.919)$

Calculando el cuarto error máximo

$E_4 = \max{||x_4-x_3 |,|y_4-y_3 |,|z_4-z_3 ||}$

$E_4 = \max{||-0.376+0.376|,|-1.424+1.418|,|-1.919+1.921||}$

$E_4 = \max{||0|,|-0.006|,|0.002||}$

$E_4 = \max{|0, 0.006, 0.002|}$

Tomando el valor máximo de $E_4$

$E_4 = 0.006$

Comparando el valor del cuarto error con el valor de la tolerancia

$E_4 > \text{Tolerancia}$

$0.006<0.010$

El valor de este error ya es menor que la tolerancia, por lo tanto, los últimos valores de $x$ calculados son los valores adecuados. Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones es

$\therefore x=-0.376 \quad , \quad y=-1.424 \quad , \quad z=-1.919$