métodos numéricos

Método de aproximaciones sucesivas. Primer método abierto. Métodos numéricos.

Introducción

De una función y = f(x), igualándola a cero

f(x) = 0

Donde, la función f(x)  presenta al menos una raíz (cambio de signo) y a partir de allí se obtiene la solución aproximada (punto medio).

x = x_0

De la función f(x) se despeja la variable «x» sólo una parte, quedando de la siguiente manera

x = q(x)

Sustituyendo x = x_0 en q(x), se obtiene x_1

x_1 = q(x_0 )

Y el  primer error, E_1, es

E_1 = |x_1 - x_0 |

Sustituyendo x = x_1 en q(x), se obtiene x_2

x_2 = q(x_1 )

Y el segundo error, E_2, es

E_2 = |x_2 - x_1 |

Sustituyendo x = x_2 en q(x), se obtiene x_3

x_3 = q(x_2 )

Y el tercer error, E_3, es

E_3 = |x_3 - x_2 |

Sustituyendo x = x_n en q(x), se obtiene {x}_{n+1}

{x}_{n+1} = q(x_n )

Y el «n» error, E_n, es

{E}_{n+1} = |{x}_{n+1} - x_n |

Donde n = 0, 1, 2, ...

Problemas resueltos

Problema 1. Encontrar la raíz positiva para x^2 - 3x = 8 con tolerancia de 1 \times {10}^{-2} = 0.01.

Solución. Se elabora una tabulación donde los valores de «x» serán positivos, comenzado a partir de x=0.

Imagen1

En la tabulación, la función presenta un cambio de signo, entre x=4 y x=5. Entonces, los valores son a=4 y b=5.

Se calcula el punto medio

\displaystyle x_0 = \frac{b+a}{n}

\displaystyle x_0 = \frac{5+4}{2} = \frac{9}{2}

x_0 = 4.5

De la función dada, se despeja una variable x

x^2 - 3x = 8

x^2 = 3x + 8

\displaystyle x = \pm \sqrt{3x+8}

\displaystyle x = \sqrt{3x+8}

La función a usar es

\displaystyle q(x) = \sqrt{3x+8}

En la primera iteración, x_0 = 4.5

\displaystyle x_1 = q(x_0 )

\displaystyle x_1 = q(4.5) = \sqrt{3(4.5)+8} = \sqrt{21.5}

x_1 = 4.637

El primer error es

E_1 = |x_1 - x_0 |

E_1 = |4.637 - 4.5| = |0.137|

E_1 = 0.137

Comparando el valor de E_1 con el valor de la tolerancia

0.137 > 0.01

Este error es mayor que la tolerancia deseada por lo que se pasa a la siguiente iteración. En la segunda iteración, se utiliza el valor de x_1.

\displaystyle x_2 = q(x_1 ) = q(4.637)

\displaystyle x_2 = \sqrt{3(4.5)+8} = \sqrt{21.5}

x_2 = 4.681

El segundo error es

E_2 = |x_2 - x_1 |

E_2 = |4.681 - 4.637| = |0.044|

E_2 = 0.044

Comparando con el valor de E_2 con el valor de la tolerancia

0.044 > 0.01

Este error es mayor que la tolerancia deseada por lo que se pasa a la siguiente iteración. En la tercera iteración, sustituyendo el valor de x_2

\displaystyle x_3 = q(x_2 ) = q(4.681)

\displaystyle x_3 = \sqrt{3(4.681)+8} = \sqrt{22.043}

x_3 = 4.695

El tercer error es

E_3 = |x_1 - x_0 |

E_3 = |4.695 - 4.681|=|0.014|

E_3 = 0.014

Comparando con el valor de E_3 con el valor de la tolerancia

0.014 > 0.01

Este error es mayor que la tolerancia por lo que se pasa a la siguiente iteración. En la cuarta iteración se utiliza el valor de x_3

\displaystyle x_4 = q(x_3 ) = q(4.695)

\displaystyle x_4 = \sqrt{3(4.695)+8} = \sqrt{22.085}

x_4 = 4.699

El cuarto error es

E_4 = |x_4 - x_3 |

E_4 = |4.699 - 4.695| = |0.004|

E_4 = 0.004

Comparando con el valor de E_4 con el valor de la tolerancia

0.004 < 0.01

Este error es menor que la tolerancia. Por lo tanto, la raíz encontrada es

\therefore x = 4.699

Problema 2. Encontrar las raíces para 5x^2 - e^x = 0 con tolerancia de 1 \times 10^{-3} = 0.001.

Solución. Se elabora una tabulación tomando en cuenta primero los valores negativos de «x», luego el cero, y finalmente, los valores positivos; comenzando a partir de x=-3 hasta x=3.

Imagen1

La función presenta tres cambios de signo, entre x=-1 y x=0, entre x=0 y x=1, y entre x=4 y x=5.

Para [-1 , 0], el valor de x_0 es

\displaystyle x_0 = \frac{b+a}{n}

\displaystyle x_0 = \frac{0+(-1)}{2} = -\frac{1}{2}

x_0 = - 0.5

De la función del problema, se despeja una variable «x» y estará ubicado en el primer miembro mientras que lo restante se coloca en el segundo miembro

5x^2 - e^x = 0

5x^2 = e^x

\displaystyle x = \pm \sqrt{\frac{e^x}{5}} = - \sqrt{\frac{e^{-x}}{5}}

\displaystyle q(x) = - \sqrt{\frac{e^x}{5}}

En la primera iteración (con x_0 = -0.5)

\displaystyle x_1 = q(x_0 ) = q(-0.5)

\displaystyle x_1 = -\sqrt{\frac{e^{-0.5}}{5}}

x_1 = -0.348

El primer error es

E_1 = |x_1 - x_0 |

E_1 = |(-0.348) - (-0.5)| = |-0.348 + 0.5| = |0.152|

E_1 = 0.152

Comparando con el valor de E_1 con el valor de la tolerancia

0.152 > 0.001

Este error es mayor que la tolerancia, por lo que, se pasa a la segunda iteración (con x_1 = -0.348), y es

\displaystyle x_2 = q(x_1 ) = q(-0.348)

\displaystyle x_2 = -\sqrt{\frac{e^{-0.348}}{5}}

x_2 = -0.376

El segundo error es

E_2 = |x_2 - x_1 |

E_2 = |(-0.376) - (-0.348)| =  |-0.376+0.348| = |-0.028|

E_2 = 0.028

Comparando con el valor de E_2 con el valor de la tolerancia

0.028 > 0.01

En la tercera iteración (con x_2 = -0.376)

\displaystyle x_3 = q(x_2 ) = q(-0.376)

\displaystyle x_3 = -\sqrt{\frac{e^{-0.376}}{5}}

x_3 = -0.371

El tercer error es

E_3 = |x_3 - x_2 |

E_3 = |(-0.371) - (-0.376)| = |-0.371+0.376| = |0.005|

E_3 = 0.005

Comparando con el valor de E_3 con el valor de la tolerancia

0.005 > 0.001

En la cuarta iteración (con x_3 = -0.371)

\displaystyle x_4 = q(x_3 ) = q(-0.371)

\displaystyle x_4 = -\sqrt{\frac{e^{-0.371}}{5}}

x_4 = -0.371

El cuarto error es

E_4 = |x_4 - x_3 |

E_4 = |(-0.371) - (-0.371)| = |-0.371+0.371|  = |0|

E_4 = 0

Comparando con el valor de E_4 con el valor de la tolerancia

0 < 0.001

El error ya es menor que la tolerancia, por lo que, el último valor calculado (cuarta iteración, x_4) es el indicado para el intervalo [-1,0]. Finalmente

\therefore x = -0.371

Para [0 , 1], el valor de x_0 es

\displaystyle x_0 = \frac{b+a}{n}

\displaystyle x_0 = \frac{1+0}{2} = \frac{1}{2}

x_0 = 0.5

Utilizando la ecuación despejada que fue obtenida en el intervalo [-1,0]

\displaystyle q(x) = +\sqrt{\frac{e^x}{5}} = \sqrt{\frac{e^x}{5}}

En la primera iteración (con x_0 = 0.5) es

x_1 = q(x_0 ) = q(0.5)

x_1 = \sqrt{\frac{e^{0.5}}{5}}

x_1 = 0.574

El primer error es

E_1 = |x_1 - x_0 |

E_1 = |0.574 - 0.5| = |0.074|

E_1 = 0.074

Comparando con el valor de E_1 con el valor de la tolerancia

0.074 > 0.001

En la segunda iteración (con x_1 = 0.574) es

\displaystyle x_2 = q(x_1 ) = q(0.574)

\displaystyle x_2 = \sqrt{\frac{e^{0.574}}{5}}

x_2 = 0.596

El segundo error es

E_2 = |x_2 - x_1 |

E_2 = |0.596 - 0.574| = |0.022|

E_2 = 0.022

Comparando con el valor de E_2 con el valor de la tolerancia

0.022 > 0.001

La tercera iteración (con x_2 = 0.596) es

x_3 = q(x_2 ) = q(0.596)

x_3 = \sqrt{\frac{e^{0.596}}{5}}

x_3 = 0.602

El tercer error es

E_3 = |x_3 - x_2 |

E_3 = |0.602 - 0.596| = |0.006|

E_3 = 0.006

Comparando con el valor de E_3 con el valor de la tolerancia

0.006 > 0.001

La cuarta iteración (con x_3 = 0.602) es

\displaystyle x_4 = q(x_3 ) = q(0.602)

\displaystyle x_4 = \sqrt{\frac{e^{0.602}}{5}}

x_4 = 0.604

El cuarto error es

E_4 = |x_4 - x_3 |

E_4 = |0.604 - 0.602| = |0.002|

E_4 = 0.002

Comparando con el valor de E_4 con el valor de la tolerancia

E_4 > Tolerancia

La quinta iteración (con x_4 = 0.604) es

\displaystyle x_5 = q(x_5 ) = q(0.604)

\displaystyle x_5 = \sqrt{\frac{e^{0.604}}{5}}

x_5 = 0.605

El quinto error es

E_5 = |x_5 - x_4 |

E_5 = |0.605 - 0.604| = |0.001|

E_5 = 0.001

Comparando con el valor de E_5 con el valor de la tolerancia

E_5 = \text{Tolerancia}

0.001 = 0.001

Como el error ya es igual que la tolerancia, el último valor de «x» es el indicado (es decir, x_5)

\therefore x = 0.605

Para [4 , 5], el valor de x_0 es

\displaystyle x_0 = \frac{b+a}{2}

\displaystyle x_0 = \frac{5+4}{2} = \frac{9}{2}

x_0 = 4.5

Se toma función despejada obtenida en el intervalo [-1,0]

\displaystyle q(x) = +\sqrt{\frac{e^x}{5}} = \sqrt{e^x/5}

Para la primera iteración (con x_0 = 4.5) es

\displaystyle x_1 = q(x_0 ) = q(4.5)

\displaystyle x_1 = \sqrt{\frac{e^{4.5}}{5}}

x_1 = 4.243

El primer error es

E_1 = |x_1 - x_0 |

E_1 = |4.243 - 4.5| = |-0.257|

E_1 = 0.257

Comparando con el valor de E_1 con el valor de la tolerancia

0.257 > 0.001

La segunda iteración (con x_1 = 4.243) es

\displaystyle x_2 = q(x_1 ) = q(4.243)

\displaystyle x_2 = \sqrt{\frac{e^{4.243}}{5}}

x_2 = 3.731

El segundo error es

E_2 = |x_2 - x_1 |

E_2 = |3.731 - 4.243| = |-0.512|

E_2 = 0.512

Comparando con el valor de E_2 con el valor de la tolerancia

0.512 > 0.001

La tercera iteración

\displaystyle x_3 = q(x_2 ) = q(3.731)

\displaystyle x_3 = \sqrt{\frac{e^{3.731}}{5}}

x_3 = 2.889

El tercer error es

E_3 = |x_3 - x_2 |

E_3 = |2.889 - 3.731| = |0.842|

E_3 = 0.842

Comparando con el valor de E_3 con el valor de la tolerancia

0.842 > 0.001

La cuarta iteración (con x_3 = 2.889) es

x_4 = q(x_3 ) = q(2.889)

\displaystyle x_4 = \sqrt{\frac{e^{2.889}}{5}}

x_4 = 1.891

El cuarto error es

E_4 = |x_4 - x_3 |

E_4 = |1.891 - 2.889| = |0.998|

E_4 = 0.998

Comparando con el valor de E_4 con el valor de la tolerancia

0.998 > 0.001

La quinta iteración (con x_5 = 1.891) es

\displaystyle  x_5 = q(x_5 ) = q(1.891)

\displaystyle  x_5 = \sqrt{\frac{e^{1.891}}{5}}

x_5 = 1.151

El quinto error es

E_5 = |x_5 - x_4 |

E_5 = |1.151 - 1.891| = |-0.74|

E_5 = 0.74

Comparando con el valor de E_5 con el valor de la tolerancia

0.74 > 0.001

La sexta iteración (con x_5 = 1.151) es

\displaystyle x_6 = q(x_6 ) = q(1.151)

\displaystyle x_6 = \sqrt{\frac{e^{1.151}}{5}}

x_6 = 0.795

El sexto error es

E_6 = |x_6 - x_5 |

E_6 = |0.795 - 1.151| = |-0.356|

E_6 = 0.356

Comparando con el valor de E_6 con el valor de la tolerancia

0.356 > 0.001

La séptima iteración (con x_6 = 0.795) es

x_7 = q(x_7 ) = q(0.795)

x_7 = \sqrt{\frac{e^{0.795}}{5}}

x_7 = 0.665

El séptimo error es

E_7 = |x_7 - x_6 |

E_7 = |0.665 - 0.795| = |-0.13|

E_7 = 0.13

Comparando con el valor de E_7 con el valor de la tolerancia

0.13 > 0.001

La octava iteración (con x_7 = 0.665) es

\displaystyle x_8 = q(x_8 ) = q(0.665)

\displaystyle x_8 = \sqrt{\frac{e^{0.665}}{5}}

x_8 = 0.624

El octavo error es

E_8 = |x_8 - x_7 |

E_8 = |0.624 - 0.665|=|-0.031|

E_8 = 0.031

Comparando con el valor de E_8 con el valor de la tolerancia

E_8 > \text{Tolerancia}

La novena iteración (con x_8 = 0.624) es

\displaystyle x_9 = q(x_8 ) = q(0.624)

\displaystyle x_9 = \sqrt{\frac{e^{0.624}}{5}}

x_9 = 0.611

El noveno error es

E_9 = |x_9 - x_8 |

E_9 = |0.611 - 0.624|=|-0.013|

E_9 = 0.013

Comparando con el valor de E_9 con el valor de la tolerancia

0.013 > 0.01

La décima iteración (con x_9 = 0.611) es

\displaystyle x_{10} = q(x_9 ) = q(0.611)

\displaystyle x_{10} = \sqrt{\frac{e^{0.611}}{5}}

x_{10} = 0.607

El décimo error es

E_{10} = |x_{10} - x_9 |

E_{10} = |0.607 - 0.611|=|-0.004|

E_{10} = 0.004

Comparando con el valor de E_{10} con el valor de la tolerancia

0.004 > 0.001

La undécima iteración (con x_{10} = 0.607) es

\displaystyle x_{11} = q(x_{10}) = q(0.607)

\displaystyle x_{11} = \sqrt{\frac{e^{0.607}}{5}}

x_{11} = 0.605

El undécimo error es

E_{11} = |x_{11} - x_{10}|

E_{11} = |0.605 - 0.607|=|-0.002|

E_{11} = 0.002

Comparando con el valor de E_{11} con el valor de la tolerancia

0.002 > 0.001

La duodécima iteración (con x_{11} = 0.605) es

\displaystyle x_{12} = q(x_{11}) = q(0.605)

\displaystyle x_{12} = \sqrt{\frac{e^{0.605}}{5}}

x_{12} = 0.605

El duodécima error es

E_{12} = |x_{12} - x_{11}|

E_{12} = |0.605 - 0.605| = |0|

E_{12} = 0

Comparando con el valor de E_{12} con el valor de la tolerancia

0 < 0.001

Este último error ya es menor que la tolerancia, por lo tanto, el último valor de x (es decir, x_{11}) es el resultado final. Entonces

\therefore x = 0.605

Problema 3. Encontrar la raíz negativa para x^3 - 2x + 5 = 0 con tolerancia de 1 \times {10}^{-2}.

Solución. Se elabora una tabulación tomando sólo los valores negativos de «x» desde x=-4 hasta x=0.

Imagen3

Existe un cambio de signo, entre x=-3 y x=-2. El valor de x_0 es

\displaystyle x_0 = \frac{b+a}{2}

\displaystyle x_0 = - \frac{5}{2}

x_0 = -2.5

De la función dada por el problema, se despeja una variable «x» y se coloca en el primer miembro mientras que lo restante se posiciona en el segundo miembro

x^3 - 2x + 5 = 0

x^3 = 2x - 5

\displaystyle x = \sqrt[3]{2x-5}

\displaystyle q(x) = \sqrt[3]{2x-5}

La primera iteración (con x_0 = -2.5) es

\displaystyle x_1 = q(x_0 ) = q(-2.5)

\displaystyle x_1 = \sqrt[3]{2(-2.5)-5}

x_1 = -2.154

El primer error es

E_1 = |x_1 - x_0 |

E_1 = |(-2.154) - (-2.5)| = |-2.154+2.5| = |0.346|

E_1 = 0.346

Comparando con el valor de E_1 con el valor de la tolerancia

0.346 > 0.01

Este error es mayor que la tolerancia, por lo que, se pasa a la segunda iteración (con x_1 = -2.154), y es

\displaystyle x_2 = q(x_1 ) = q(-2.154)

\displaystyle x_2 = \sqrt[3]{2(-2.154)-5}

x_2 = -2.104

El segundo error es

E_2 = |x_2 - x_1 |

E_2 = |(-2.104) - (-2.154)| = |-2.104+2.154| = |0.05|

E_2 = 0.05

Comparando con el valor de E_2 con el valor de la tolerancia

0.05 > 0.01

La tercera iteración (con x_2 = -2.104) es

\displaystyle x_3 = q(x_2 ) = q(-2.104)

\displaystyle x_3 = \sqrt[2]{2(-2.104)-5}

x_3 = -2.096

El tercer error es

E_3 = |x_3 - x_2 |

E_3 = |(-2.096) - (-2.104)|=|-2.096+2.104|=|0.008|

E_3 = 0.008

Comparando con el valor de E_3 con el valor de la tolerancia

0.008 < 0.01

Este error ya es menor que la tolerancia, por lo tanto, el último valor de «x» calculado es el resultado final. Por lo tanto

\therefore x = -2.096

Problema 4. Encontrar la raíz positiva para 2x^2 - x - 4 = 0 con tolerancia de 1 \times {10}^{-2} = 0.01.

Solución. Se lleva a cabo una tabulación tomando sólo los valores positivos de «x», comenzando desde x=0 hasta x=3.

Imagen4

En la tabulación se presentan un sólo cambio de signo (raíz), entre x=1 y x=2. El valor de x_0 es

\displaystyle x_0 = \frac{b+a}{2}

\displaystyle x_0 = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2}

x_0 = 1.5

De la función brindada por el problema se despeja solo una variable «x» (variable independiente) y se coloca en el primer miembro mientras que lo restante se ubicará en el segundo miembro

2x^2 - x - 4 = 0

\displaystyle x^2 = \frac{(x+4}{2}

\displaystyle x = \pm \sqrt{\frac{x+4}{2}} = \sqrt{\frac{x+4}{2}}

\displaystyle q(x) = \sqrt{\frac{x+4}{2}}

La primera iteración (con x_0 = 1.5) es

\displaystyle x_1 = q(x_0 ) = q(1.5)

\displaystyle x_1 = \sqrt{\frac{1.5+4}{2}}

x_1 = 1.658

El primer error es

E_1 = |x_1 - x_0 |

E_1 = |1.658 - 1.5|=|0.158|

E_1 = 0.158

Comparando con el valor de E_1 con el valor de la tolerancia

0.158 > 0.01

Este error es mayor que la tolerancia, por lo que, se pasa a la segunda iteración (con x_1 = 1.658), y es

\displaystyle x_2 = q(x_1 ) = q(1.658)

\displaystyle x_2 = \sqrt{\frac{1.658+4}{2}}

x_2 = 1.682

El segundo error es

E_2 = |x_2 - x_1 |

E_2 = |1.682 - 1.658|=|0.024|

E_2 = 0.024

Comparando con el valor de E_2 con el valor de la tolerancia

0.024 > 0.01

La tercera iteración (con x_2 = 1.682) es

\displaystyle x_3 = q(x_2 ) = q(1.682)

\displaystyle x_3 = \sqrt{\frac{1.682+4}{2}}

x_3 = 1.686

El tercer error es

E_3 = |x_3 - x_2 |

E_3 = |1.686 - 1.682|=|0.004|

E_3 = 0.004

Comparando con el valor de E_3 con el valor de la tolerancia

0.004 < 0.01

Este error ya es menor que la tolerancia, por lo tanto, el último valor de x es el indicado. Finalmente

\therefore x = 1.686


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