métodos numéricos

Conversión de base 10 a base 16. Métodos numéricos.

Introducción

La conversión de base decimal a base hexadecimal consiste en dividir el número brindado por el problema (dividendo) entre la base requerido (divisor). Del resultado que se obtenga, nuevamente, se divide entre la base deseada.

Para números enteros, durante la división, el cociente debe ser un valor entero, así que, es importante observar si entre el dividendo y el divisor genera residuos, ya que estos también forman parte de la solución del problema. Además, si los coeficientes o los residuos muestran valores a partir de 10 hasta 15, serán reemplazados por los siguientes caracteres: A = 10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. El procedimiento de la división culmina hasta que el último cociente tenga un resultado menor del valor de la base requerida. El número hexadecimal definitivo será tomando el último resultado del cociente seguido del último residuo y finalmente, los residuos restantes en forma ascendente.

Para números decimales, en ese dato, se toma solo la parte decimal del problema haciendo que el entero tenga un valor de cero y se hace la multiplicación de esa cifra por la base a convertir; del resultado que muestre se extrae todo los decimales y se vuelve a multiplicar por la base requerida. El procedimiento finaliza hasta una cierta cantidad de iteraciones necesarias, o también,  si el último resultado muestra ceros después del punto. La respuesta para los números decimales consiste en tomar todos los valores enteros obtenidos en cada producto en forma descendente.

El resultado de la diferencia del valor exacto (número brindado por el problema) y el valor aproximado (resultado final del problema) se denomina error. Entonces, el error es igual a

E=|V.E.-V.A.|

Problema resuelto

Problema 1. Convertir el número 778.527 expresado e base 10 a base 16 para cuatro iteraciones.

\displaystyle {(778.527)}_{10} = {( \quad \quad \quad )}_{16}

Solución. De la parte entera, llevando a cabo la división (la cifra entera entre la base requerida)

Imagen1

Por tanto, de la parte entera es 3 0 10, donde cambiando el “10” por el carácter “A”,  el resultado 3 0 A.

De la parte decimal, llevando a cabo la multiplicación (los valores decimales por la base requerida)

\displaystyle 0.527 \times 16=8.432

\displaystyle 0.432 \times 16=6.912

\displaystyle 0.912 \times 16=14.592

\displaystyle 0.592 \times 16=9.472

La respuesta en la parte decimal es 8  6  14  9, sin embargo, el número “14” debe reemplazarse por el caracter “E”, por tanto, su resultado es 8  6  E  9.

Finalmente, uniendo el resultado de la parte entera y la parte decimal, el número hexadecimal es

\displaystyle \therefore {(778.527)}_{10} = {(30A.86E9)}_{16}

Para calcular el error, el resultado final debe convertirse de base 16 a base 10, para ello, se elabora la siguiente multiplicación (no olvidar que A=10)

\displaystyle {(30A.86E9)}_{16} = (3 \times {16}^2 ) + (0 \times {16}^1 ) + (10 \times {16}^0 )+(8 \times {16}^{-1} )+(6 \times {16}^{-2} )+(14 \times {16}^{-3} )+(9 \times {16}^{-4} )

\displaystyle {(30A.86E9)}_{16}=768+0+10+0.5+0.0234375+0.003418+0.0001373

\displaystyle {(30A.86E9)}_{16} = {(778.5269928)}_{10}={(778.5269)}_{10}

El valor del error (para números en base 10) es

\displaystyle E=|V.E.-V.A.|=|778.527-778.5269|

\displaystyle E=0.0001

Se concluye que entre el resultado final y el valor del problema solo existe una diferencia del 0.0001, lo cual, es un valor tolerable.


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