cálculo integral

Método de integración por racionalización (cambio de variable). Cálculo integral.

Introducción

Las funciones algebraicas no racionales, son aquellas que contienen radicales. Sólo algunas cuantas de ellas se pueden integrar en términos de funciones elementales. En algunos casos, sustituyendo una nueva variable, dichas funciones pueden transformarse en funciones equivalente que o son racionales o se encuentran directamente integrando (integración directa).

El método de integración por racionalización es un método de integrar una función no racional que consiste en remplazar la variable por una nueva de tal manera que el resultado sea una función racional.

Primer caso. Una expresión que contiene solamente potencias fraccionarias de x pueden transformarse en forma racional mediante la sustitución \displaystyle x = z^n, donde n es el menor denominador común de los exponentes fraccionarios de x.

Problema 1. Hallar la \displaystyle \int{\frac{dt}{\sqrt{t} (1 + \sqrt{t})}}

Solución. Primero se determina la potencia equivalente de cada término de la raíz del integrando.

\displaystyle \int{\frac{dt}{\sqrt{t} (1+\sqrt{t})}} = \int{\frac{dt}{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}})}}

Sea z que va remplazar a \displaystyle t^{\frac{1}{2}}, es decir, \displaystyle z = t^{\frac{1}{2}}. Determinando su diferencial

\displaystyle z = t^{\frac{1}{2}}

\displaystyle z^2=t

\displaystyle 2z \ dz=dt

Haciendo el cambio de variable en la integral del problema

\displaystyle \int{\frac{dt}{t^{\frac{1}{2}} (1+t^{\frac{1}{2}})}} = \int{\frac{2z \ dz}{z(1+z)}}

\displaystyle \int{\frac{dt}{t^{\frac{1}{2}} (1+t^{\frac{1}{2}})}} = 2 \int{\frac{dz}{(1+z)}}

\displaystyle \int{\frac{dt}{t^{\frac{1}{2}} (1+t^{\frac{1}{2}})}} = 2\ln{(1+z)} + C

Y recordando la sustitución \displaystyle z = t^{\frac{1}{2}} en la que fue utilizada al principio

\displaystyle \int{\frac{dt}{t^{\frac{1}{2}} (1+t^{\frac{1}{2}})}} = 2 \ln{(1+z)} + C

\displaystyle \int{\frac{dt}{t^{\frac{1}{2}} (1+t^{\frac{1}{2}})}} = 2 \ln{(1 + t^{\frac{1}{2}})} + C

Aplicando las propiedades de los logaritmos y de las potencias

\displaystyle \int{\frac{dt}{t^{\frac{1}{2}} (1+t^{\frac{1}{2}})}} = 2 \ln{(1+\sqrt{t})} + C = \ln{{(1+\sqrt{t})}^2} + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{\frac{dt}{\sqrt{t} (1+\sqrt{t})}} = \ln{(1+\sqrt{t})^2} + C

Problema 2. Encontrar la \displaystyle \int{\frac{\sqrt{x}}{1+x} \ dx}

Solución. Primero se determina la potencia equivalente de cada término de la raíz del integrando.

\displaystyle \int{\frac{\sqrt{x}}{1+x} \ dx} = \int{\frac{x^{1/2}}{1+x} \ dx}

Sea z que va remplazar a \displaystyle x^{\frac{1}{2}}, es decir, \displaystyle z = x^{\frac{1}{2}}. Determinando su diferencial

\displaystyle z = x^{\frac{1}{2}}

\displaystyle z^2 = x

\displaystyle 2z \ dz = dx

Realizando al cambio de variable

\displaystyle \int{\frac{\sqrt{x}}{1+x} \ dx} = \int{\frac{x^{1/2}}{1+x} \ dx}

\displaystyle \int{\frac{\sqrt{x}}{1+x} \ dx} = \int{\frac{z}{1+z^2} \ (2z \ dz)}

\displaystyle \int{\frac{\sqrt{x}}{1+x} \ dx} = \int{\frac{2z^2}{1+z^2} \ dz} = 2 \int{\frac{z^2}{1+z^2} \ dz}

Esto último ya es una función racional. Ahora hay que encontrar su expresión mixta utilizando la división, ya que tanto el numerador como el denominador poseen los mismos grados de potencia (ambas funciones polinomiales son de segundo grado). Entonces

\displaystyle \int{\frac{\sqrt{x}}{1+x} \ dx} = 2 \int{\frac{z^2}{1+z^2} \ dz} = 2 \int{\left(1 - \frac{1}{1+z^2} \right) \ dz}

\displaystyle \int{\frac{\sqrt{x}}{1+x} \ dx} = 2 \int{dz} - 2 \int{\frac{dz}{1+z^2}}

\displaystyle \int{\frac{\sqrt{x}}{1+x} \ dx} = 2z - 2 \arctan{z} + C

Recordando haber utilizado la sustitución \displaystyle z = x^{\frac{1}{2}}, la integral toma la siguiente forma

\displaystyle \int{\frac{\sqrt{x}}{1+x} \ dx} = 2x^{1/2} - 2 \arctan{x^{1/2}} + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{\frac{\sqrt{x}}{1+x} \ dx} = 2 \sqrt{x} - 2 \arctan{\sqrt{x}} + C

Segundo caso. Una expresión que contiene solamente potencias fraccionarias de ax + b pueden transformarse en forma racional en forma racional mediante la sustitución \displaystyle (ax+b) = z^n, donde n es el menor denominador común de los exponentes fraccionarios de la expresión (ax + b).

Problema 3. Hallar la \displaystyle \int{\frac{dx}{x\sqrt{4x+1}}}

Solución. Primero se determina la potencia equivalente de cada término de la raíz del integrando.

\displaystyle \int{\frac{dx}{x\sqrt{4x+1}}} = \int{\frac{dx}{x {(4x+1)}^{1/2} }}

Sea z la variable que a remplazar a \displaystyle \sqrt{4x+1}, es decir, \displaystyle z=\sqrt{4x+1}. Determinando su diferencial

\displaystyle z = (4x+1)^{\frac{1}{2}}

\displaystyle z^2=4x+1

\displaystyle \frac{z^2}{4} - \frac{1}{4} = x

\displaystyle \frac{1}{2} z \ dz=dx

Entonces

\displaystyle \int{\frac{dx}{x\sqrt{4x+1}}} = \int{\frac{dx}{x {(4x+1)}^{1/2} }}

\displaystyle \int{\frac{dx}{x\sqrt{4x+1}}} = \int{\frac{\frac{1}{2} z \ dz}{(\frac{z^2}{4} - \frac{1}{4})z}} = \frac{1}{2} \int{\frac{dz}{\frac{z^2}{4} - \frac{1}{4}}}

\displaystyle \int{\frac{dx}{x\sqrt{4x+1}}} = \frac{1}{2} \int{\frac{dz}{\frac{1}{4} (z^2-1)}} = \frac{1}{2} \int{\frac{4 \ dz}{z^2-1}}

\displaystyle \int{\frac{dx}{x\sqrt{4x+1}}} = \frac{4}{2} \int{\frac{dz}{z^2-1}}= 2 \int{\frac{dz}{z^2-1}}

Para esta integral, se observa que \displaystyle a^2=1 y \displaystyle z^2=u^2. Para este caso, resultado es

\displaystyle \int{\frac{dz}{z^2-1}} = \frac{1}{2} \ln{\left(\frac{z-1}{z+1} \right)}

Continuando

\displaystyle \int{\frac{dx}{x\sqrt{4x+1}}} = \frac{4}{2} \int{\frac{dz}{z^2-1}}= 2 \int{\frac{dz}{z^2-1}}

\displaystyle \int{\frac{dx}{x\sqrt{4x+1}}} = 2 \left[\frac{1}{2} \ln{\left(\frac{z-1}{z+1} \right)} \right] + C

\displaystyle \int{\frac{dx}{x\sqrt{4x+1}}} = \ln{\left(\frac{z-1}{z+1} \right)} + C

Recordando la sustitución \displaystyle z=\sqrt{4x+1} que fue utilizada al principio

\displaystyle \int{\frac{dx}{x\sqrt{4x+1}}}= \ln{\left(\frac{\sqrt{4x+1}-1}{\sqrt{4x+1}+1} \right)} + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{\frac{dx}{x \sqrt{4x+1}}} = \ln{\left[\frac{\sqrt{4x+1}-1}{\sqrt{4x+1}+1}\right]} + C

Problema 4. Determinar la \displaystyle \int{x \sqrt[3]{a+x} \ dx}.

Solución. Primero se determina la potencia equivalente de cada término de la raíz del integrando.

\displaystyle \int{x \sqrt[3]{a+x} \ dx} = \int{x {(a+x)}^{1/3} \ dx}

Sea z la variable que a remplazar a \displaystyle {(a+x)}^{1/3}, es decir, \displaystyle z={(a+x)}^{1/3}. Determinando su diferencial

\displaystyle z={(a+x)}^{1/3}

\displaystyle z^3 = a+x

\displaystyle z^3 - a = x

\displaystyle 3z^2 \ dz = dx

Aplicando el cambio de variable en la integral del problema, se observa que

\displaystyle \int{x \sqrt[3]{a+x} \ dx} = \int{x {(a+x)}^{1/3} \ dx}

\displaystyle \int{x \sqrt[3]{a+x} \ dx} = \int{(z^3-a) z \ (3z^2 \ dz)}

\displaystyle \int{x \sqrt[3]{a+x} \ dx} = 3\int{(z^3-a) z^3 \ dz}

\displaystyle \int{x \sqrt[3]{a+x} \ dx} = 3\int{(z^6-az^3) \ dz}

\displaystyle \int{x \sqrt[3]{a+x} \ dx} = 3\int{z^6 \ dz} - 3a \int{z^3 \ dz}

\displaystyle \int{x \sqrt[3]{a+x} \ dx} = 3 \left(\frac{z^7}{7} \right) - 3a \left(\frac{z^4}{4} \right) + C

\displaystyle \int{x \sqrt[3]{a+x} \ dx} = \frac{3}{7} z^7 - \frac{3}{4} az^4 + C

Recordando haber realizado la sustitución \displaystyle z={(a+x)}^{1/3}

\displaystyle \int{x \sqrt[3]{a+x} \ dx} = \frac{3}{7} {(a+x)}^{7/3} - \frac{3}{4} a{(a+x)}^{4/3} + C

Continuando

\displaystyle \int{x \sqrt[3]{a+x} \ dx} = 3{(a+x)}^{4/3} \left[\frac{1}{7} (a+x) - \frac{1}{4}a \right] + C

\displaystyle \int{x \sqrt[3]{a+x} \ dx} = 3{(a+x)}^{4/3} \left( \frac{1}{7} a + \frac{1}{7} x - \frac{1}{4}a \right) + C

\displaystyle \int{x \sqrt[3]{a+x} \ dx} = 3{(a+x)}^{4/3} \left(- \frac{3}{28} a + \frac{1}{7} x \right) + C

\displaystyle \int{x \sqrt[3]{a+x} \ dx} = 3{(a+x)}^{4/3} \left(\frac{1}{7} x - \frac{3}{28} a \right) + C

\displaystyle \int{x \sqrt[3]{a+x} \ dx} = 3{(a+x)}^{4/3} \left(\frac{4}{28} x - \frac{3}{28} a \right) + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{x \sqrt[3]{a+x} \ dx} = \frac{3}{28} {(a+x)}^{4/3} (4x- 3a) + C


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