Método de integración por partes. Cálculo integral.

Introducción

La siguiente integral

$\displaystyle \int{u \ dv} = u \cdot v - \int{v \ du}$

es una expresión que representa la fórmula de integración por partes.

Cuando no se puede integrar directamente $u \ dv$ , la fórmula de integración por partes hace que su integración dependa de $dv$ y $u \ dv$ , que suelen ser formas fáciles y posibles de integración.

Para aplicar esta fórmula, es necesario descomponer la diferencial dada en dos factores, es decir, en $u$ y $dv$ . Aunque no existen instrucciones generales que faciliten la elección de dichos factores, se recomienda los siguientes pasos para escoger los factores $u \ dv$ .

$dx$ es siempre una parte de $dv$
Debe ser posible integrar $dv$
Cuando la expresión para integrar es el producto de dos funciones, lo mejor es seleccionar la de apariencia más compleja, con tal que pueda integrarse, como parte de $dv$ . Una manera más confiable de realizar este paso, se toma en cuenta las siguientes siglas:

I L A T E

Inversa trigonométrica
Logarítmica
Algebraica
Trigonométrica
Exponencial

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver la integral $\displaystyle \int{x \cos{x} \ dx}$

Solución. La expresión del integrando $x \ cos{x}$ tiene dos funciones, por un lado, $x$ es una función aritmética (toma cualquier valor) mientras que $\cos{x}$ es una función trigonométrica. Por las siglas ILATE se observa que A va antes de la T. Así que, se considera la función $x$ como $u$ y el resto del integrando, $\cos{x} \ dx$ , como $dv$ . Entonces

Partiendo de la fórmula de integración por partes

$\displaystyle \int{u \ dv} = u \cdot v - \int{v \ du}$

Sustituyendo las variables correspondientes en la fórmula

$\displaystyle \int{x \cos{x} \ dx} = x \cdot \sin{x} - \int{\sin{x} \ dx}$

$\displaystyle \int{x \cos{x} \ dx} = x \sin{x} - \int{\sin{x} \ dx}$

Para esta última integral tiene el siguiente resultado

$\displaystyle \int{\sin{x} \ dx} = -\cos{x}$

entonces

$\displaystyle \int{x \cos{x} \ dx} = x \sin{x} - (-\cos{x}) + C$

$\displaystyle \int{x \cos{x} \ dx} = x \sin{x} + \cos{x} + C$

Y el resultado final es

$\displaystyle \therefore \int{x \cos{x} \ dx} = x \sin{x} + \cos{x} + C$

Problema 2. Resolver la integral $\displaystyle \int{z^n \ln{z} \ dz}$

Solución. La expresión del integrando $z^n \ln{z}$ tiene dos funciones, por un lado, $z^n$ es una función aritmética (producto o valor elevado a una potencia) mientras que $\ln{z}$ es una función logarítmica. Por las siglas ILATE se observa que L (función logarítmica) va antes que A (función aritmética). Así que, se considera la función $\ln{z}$ como $u$ y el resto del integrando, $\ln{z} \ dz$ , como $dv$ . Entonces

Partiendo de la fórmula de integración por partes

$\displaystyle \int{u \ dv} = u \cdot v - \int{v \ du}$

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes

$\displaystyle \int{z^n \ln{z} \ dz} = \ln{z} \cdot \left(\frac{z^{n+1}}{n+1} \right) - \int{\frac{z^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{dz}{z}}$

$\displaystyle \int{z^n \ln{z} \ dz} = \frac{z^{n+1} \ln{z}}{n+1} - \frac{1}{n+1} \int{\frac{z^{n+1}}{z} \ dz} = \frac{z^{n+1} \ln{z}}{n+1} - \frac{1}{n+1} \int{\frac{z^{n+1}}{z^1} \ dz}$

$\displaystyle \int{z^n \ln{z} \ dz} = \frac{z^{n+1} \ln{z}}{n+1} - \frac{1}{n+1} \int{z^{n+1-1} \ dz} = \frac{z^{n+1} \ln{z}}{n+1} - \frac{1}{n+1} \int{z^n \ dz}$

$\displaystyle \int{z^n \ln{z} \ dz} = \frac{z^{n+1} \ln{z}}{n+1} - \frac{1}{n+1} \left(\frac{z^{n+1}}{n+1} \right) + C = \frac{z^{n+1} \ln{z}}{n+1} - \frac{z^{n+1}}{{(n+1)}^{2}} + C$

$\displaystyle \int{z^n \ln{z} \ dz} = \frac{z^{n+1}}{n+1} \cdot \ln{z} - \frac{z^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{n+1} + C = \left(\frac{z^{n+1}}{n+1} \right) \left(\ln{z} - \frac{1}{n+1} \right) + C$

Finalmente, el resultado esperado es

$\displaystyle \therefore \int{z^n \ln{z} \ dz} = \left(\frac{z^{n+1}}{n+1} \right) \left(\ln{z} - \frac{1}{n+1} \right) + C$

Problema 3. Resolver la siguiente integral $\displaystyle \int{\arctan{x} \ dx}$

Solución. En este caso, el producto esta expresado mediante una constante unitaria y una inversa trigonométrica.

$\displaystyle \int{\arctan{x} \ dx} = \int{(1)(\arctan{x}) \ dx}$

La expresión del integrando $(1)(\arctan{x})$ tiene dos funciones, por un lado, $1$ es una función aritmética (valor constante) mientras que $\arctan{x}$ es una función trigonométrica inversa. Por las siglas ILATE se observa que primero es I (función inversa trigonométrica) va antes que A (función aritmética). Así que, $u$ representará a $\arctan{x}$ y $dv$ a $1 \ dx$ .

Tomando la fórmula de integración por partes

$\displaystyle \int{u \ dv} = u \cdot v - \int{v \ du}$

$\displaystyle \int{\arctan{x} \ dx} = (\arctan{x}) \cdot (x) - \int{x \cdot \frac{dx}{x^2+1}}$

$\displaystyle \int{\arctan{x} \ dx} = x \arctan{x} - \int{\frac{x}{x^2+1} \ dx}$

La última integral puede resolver utilizando el método de sustitución básica.

$\displaystyle \int{\frac{x}{x^2+1} \ dx}$

Donde

Aplicando el método

$\displaystyle \int{\frac{x}{x^2+1} \ dx} = \int{\frac{x \ dx}{1+x^2}}$

$\displaystyle \int{\frac{x}{x^2+1} \ dx} = \int{\frac{\frac{du}{2}}{u}} = \frac{1}{2} \int{\frac{du}{u}}$

$\displaystyle \int{\frac{x}{x^2+1} \ dx} = \frac{1}{2} \ln{u} = \frac{1}{2} \ln{(x^2+1)} + C$

$\displaystyle \int{\frac{x}{x^2+1} \ dx} = \ln{\sqrt{x^2+1}} + C$

Regresando al procedimiento anterior

$\displaystyle \int{\arctan{x} \ dx} = x \arctan{x} - \int{\frac {x}{x^2+1} \ dx} = x \arctan{x} - \ln{\sqrt{x^2+1}} + C$

Por lo que, el resultado final es

$\displaystyle \therefore \int{\arctan{x} \ dx} = x \arctan{x} - \ln{\sqrt{1+x^2}} + C$

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$u=x$	$dv=\cos{x} \ dx$
$\displaystyle \frac{du}{dx} = 1$	$\displaystyle \int{dv} = \int{\cos{x} \ dx}$
$du=dx$	$v = \sin{x}$

$u=\ln{z}$	$dv = z^n \ dz$
$\displaystyle \frac{du}{dz} = \frac{1}{z}$	$\displaystyle \int{dv} = \int{z^n \ dz}$
$\displaystyle du = \frac{dz}{z}$	$\displaystyle v = \frac{z^{n+1}}{n+1}$

$u= \arctan{x}$	$dv = 1 \ dx$
$\displaystyle \frac{du}{dx} = \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{x^2+1}$	$\displaystyle \int{dv} = \int{1 \ dx} = \int{dx}$
$\displaystyle du = \frac{dx}{x^2+1}$	$v=x$

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Publicado por Cesar Reyes

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