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Método de integración por partes. Cálculo integral.

Introducción

La siguiente integral

\displaystyle \int{u \ dv} = u \cdot v - \int{v \ du}

es una expresión que representa la fórmula de integración por partes.

Cuando no se puede integrar directamente u \ dv, la fórmula de integración por partes hace que su integración dependa de dv y u \ dv, que suelen ser formas fáciles y posibles de integración.

Para aplicar esta fórmula, es necesario descomponer la diferencial dada en dos factores, es decir, en u y dv. Aunque no existen instrucciones generales que faciliten la elección de dichos factores, se recomienda los siguientes  pasos para escoger los factores u \ dv.

  1. dx es siempre una parte de dv
  2. Debe ser posible integrar dv
  3. Cuando la expresión para integrar es el producto de dos funciones, lo mejor es seleccionar la de apariencia más compleja, con tal que pueda integrarse, como parte de dv. Una manera más confiable de realizar este paso, se toma en cuenta las siguientes siglas:

I   L   A   T   E

  • Inversa trigonométrica
  • Logarítmica
  • Algebraica
  • Trigonométrica
  • Exponencial

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver la integral \displaystyle \int{x \cos{x} \ dx}

Solución. La expresión del integrando x \ cos{x} tiene dos funciones, por un lado, x es una función aritmética (toma cualquier valor) mientras que \cos{x} es una función trigonométrica. Por las siglas ILATE se observa que A va antes de la T. Así que, se considera la función x como u y el resto del integrando, \cos{x} \ dx, como dv. Entonces

u=xdv=\cos{x} \ dx
\displaystyle \frac{du}{dx} = 1\displaystyle \int{dv} = \int{\cos{x} \ dx}
du=dxv = \sin{x}

Partiendo de la fórmula de integración por partes

\displaystyle \int{u \ dv} = u \cdot v - \int{v \ du}

Sustituyendo las variables correspondientes en la fórmula

\displaystyle \int{x \cos{x} \ dx} = x \cdot \sin{x} - \int{\sin{x} \ dx}

\displaystyle \int{x \cos{x} \ dx} = x \sin{x} - \int{\sin{x} \ dx}

Para esta última integral tiene el siguiente resultado

\displaystyle \int{\sin{x} \ dx} = -\cos{x}

entonces

\displaystyle \int{x \cos{x} \ dx} = x \sin{x} - (-\cos{x}) + C

\displaystyle \int{x \cos{x} \ dx} = x \sin{x} + \cos{x} + C

Y el resultado final es

\displaystyle \therefore \int{x \cos{x} \ dx} = x \sin{x} + \cos{x} + C

Problema 2. Resolver la integral \displaystyle \int{z^n \ln{z} \ dz}

Solución. La expresión del integrando z^n \ln{z} tiene dos funciones, por un lado, z^n es una función aritmética (producto o valor elevado a una potencia) mientras que \ln{z} es una función logarítmica. Por las siglas ILATE se observa que L (función logarítmica) va antes que A (función aritmética). Así que, se considera la función \ln{z} como u y el resto del integrando, \ln{z} \ dz, como dv. Entonces

u=\ln{z}dv = z^n \ dz
\displaystyle \frac{du}{dz} = \frac{1}{z}\displaystyle \int{dv} = \int{z^n \ dz}
\displaystyle du = \frac{dz}{z}\displaystyle v = \frac{z^{n+1}}{n+1}

Partiendo de la fórmula de integración por partes

\displaystyle \int{u \ dv} = u \cdot v - \int{v \ du}

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes

\displaystyle \int{z^n \ln{z} \ dz} = \ln{z} \cdot \left(\frac{z^{n+1}}{n+1} \right) - \int{\frac{z^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{dz}{z}}

\displaystyle \int{z^n \ln{z} \ dz} = \frac{z^{n+1} \ln{z}}{n+1} - \frac{1}{n+1} \int{\frac{z^{n+1}}{z} \ dz} = \frac{z^{n+1} \ln{z}}{n+1} - \frac{1}{n+1} \int{\frac{z^{n+1}}{z^1} \ dz}

\displaystyle \int{z^n \ln{z} \ dz} = \frac{z^{n+1} \ln{z}}{n+1} - \frac{1}{n+1} \int{z^{n+1-1} \ dz} = \frac{z^{n+1} \ln{z}}{n+1} - \frac{1}{n+1} \int{z^n \ dz}

\displaystyle \int{z^n \ln{z} \ dz} = \frac{z^{n+1} \ln{z}}{n+1} - \frac{1}{n+1} \left(\frac{z^{n+1}}{n+1} \right) + C = \frac{z^{n+1} \ln{z}}{n+1} - \frac{z^{n+1}}{{(n+1)}^{2}} + C

\displaystyle \int{z^n \ln{z} \ dz} = \frac{z^{n+1}}{n+1} \cdot \ln{z} - \frac{z^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{n+1} + C = \left(\frac{z^{n+1}}{n+1} \right) \left(\ln{z} - \frac{1}{n+1} \right) + C

Finalmente, el resultado esperado es

\displaystyle \therefore \int{z^n \ln{z} \ dz} = \left(\frac{z^{n+1}}{n+1} \right) \left(\ln{z} - \frac{1}{n+1} \right) + C

Problema 3. Resolver la siguiente integral \displaystyle \int{\arctan{x} \ dx}

Solución. En este caso, el producto esta expresado mediante una constante unitaria y una inversa trigonométrica.

\displaystyle \int{\arctan{x} \ dx} = \int{(1)(\arctan{x}) \ dx}

La expresión del integrando (1)(\arctan{x}) tiene dos funciones, por un lado, 1 es una función aritmética (valor constante) mientras que \arctan{x} es una función trigonométrica inversa. Por las siglas ILATE se observa que primero es I (función inversa trigonométrica) va antes que A (función aritmética). Así que, u representará a \arctan{x} y dv a 1 \ dx.

u= \arctan{x}dv = 1 \ dx
\displaystyle \frac{du}{dx} = \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{x^2+1}\displaystyle \int{dv} = \int{1 \ dx} = \int{dx}
\displaystyle du = \frac{dx}{x^2+1}v=x

Tomando la fórmula de integración por partes

\displaystyle \int{u \ dv} = u \cdot v - \int{v \ du}

\displaystyle \int{\arctan{x} \ dx} = (\arctan{x}) \cdot (x) - \int{x \cdot \frac{dx}{x^2+1}}

\displaystyle \int{\arctan{x} \ dx} = x \arctan{x} - \int{\frac{x}{x^2+1} \ dx}

La última integral puede resolver utilizando el método de sustitución básica.

\displaystyle \int{\frac{x}{x^2+1} \ dx}

Donde

\displaystyle u = 1+x^2
\displaystyle \frac{du}{dx} = 2x
\displaystyle \frac{du}{2} = x \ dx

Aplicando el método

\displaystyle \int{\frac{x}{x^2+1} \ dx} = \int{\frac{x \ dx}{1+x^2}}

\displaystyle \int{\frac{x}{x^2+1} \ dx} = \int{\frac{\frac{du}{2}}{u}} = \frac{1}{2} \int{\frac{du}{u}}

\displaystyle \int{\frac{x}{x^2+1} \ dx} = \frac{1}{2} \ln{u} = \frac{1}{2} \ln{(x^2+1)} + C

\displaystyle \int{\frac{x}{x^2+1} \ dx} = \ln{\sqrt{x^2+1}} + C

Regresando al procedimiento anterior

\displaystyle \int{\arctan{x} \ dx} = x \arctan{x} - \int{\frac {x}{x^2+1} \ dx} = x \arctan{x} - \ln{\sqrt{x^2+1}} + C

Por lo que, el resultado final es

\displaystyle \therefore \int{\arctan{x} \ dx} = x \arctan{x} - \ln{\sqrt{1+x^2}} + C


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