Método de integración por sustitución trigonométrica. Cálculo integral.

Introducción

Primer caso. Para el caso de la expresión $\displaystyle \sqrt{a^2-u^2}$ , se realizará la sustitución siguiente utilizando como “u” una nueva variable

$\displaystyle u = a \sin{\beta}$

$du = a \cos{\beta} d\beta$

Diapositiva3 — *Figura 1. Representación ilustrativa del primer caso*

Segundo caso. Para el caso de la expresión $\displaystyle \sqrt{u^2 - a^2}$ , se realizará la sustitución siguiente utilizando como “u” una nueva variable

$u = a \sec{\beta}$

$du = a \sec{\beta} \tan{\beta} d\beta$

Diapositiva4 — *Figura 2.5.2 Representación ilustrativa del segundo caso.*

Tercer caso. Para el caso de la expresión $\displaystyle \sqrt{u^2+a^2}$ , se realizará la sustitución siguiente utilizando como $u$ una nueva variable

$u = a \tan{\beta}$

$du = a {\sec}^{2}{\beta} d\beta$

Diapositiva5 — *Figura 3. Representación ilustrativa del tercer caso*

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver la integral: $\displaystyle \int{\frac{dx}{{(9-x^2)}^{\frac{3}{2}}}}$

Solución. Primero se cambian las variables, como se muestra a continuación

Sustituyendo, resulta

$\displaystyle \int{\frac{dx}{{(9-x^2 )}^{\frac{3}{2}}}} = \int{\frac{du}{{(a^2-u^2)}^{\frac{3}{2}}}} = \int{\frac{du}{{\left(\sqrt{a^2-u^2} \right)}^3}}$

Analizando el término dentro del paréntesis, $\displaystyle \sqrt{a^2-u^2}$ , se observa que es un cateto adyacente y que representa la raíz cuadrada de la diferencia de cuadrados entre la hipotenusa y el cateto opuesto. Construyendo el triángulo rectángulo y ubicando los parámetros, se tiene lo siguiente

Esto pertenece al primer caso de la sustitución trigonométrica. Así que, sea $u = a \sin{\beta}$ , cuya diferencial es $du = a \cos{\beta} \ d\beta$ . Aplicando la nueva sustitución a la integral anterior, resulta

$\displaystyle \int{\frac{du}{{\left(\sqrt{a^2-u^2} \right)}^3}} = \int{\frac{a \cos{\beta} \ d\beta}{{\left(\sqrt{a^2-{(a \sin{\beta})}^2} \right)}^3}} = \int{\frac{a \cos{\beta} \ d\beta}{{\left(\sqrt{a^2-a^2 \sin^2{\beta}} \right)}^3}}$

$\displaystyle = \int{\frac{a \cos{\beta} \ d\beta}{{\left[\sqrt{a^2(1- \sin^2{\beta})} \right]}^3}} = \int{\frac{a \cos{\beta} \ d\beta}{{\left(\sqrt{a^2 \cos^2{\beta}} \right)}^3}} = \int{\frac{a \cos{\beta} \ d\beta}{ {\left(a \cos{\beta} \right)}^3}}$

$\displaystyle = \int{\frac{a \cos{\beta} \ d\beta}{a^3 {\cos}^{3}{\beta}}} = \frac{1}{a^2} \int{\frac{d\beta}{{\cos}^{2}{\beta}}} = \frac{1}{a^2} \int{{\sec}^{2}{\beta} \ d\beta} = \frac{1}{a^2} \tan{\beta} + C$

Una vez terminado de integrar, es necesario regresar a las variables que fueron sustituidas, para determinar el resultado final definitivo. Del término $\tan{\beta}$ obtenido en el último resultado, se analiza que términos o variables pertenece mediante el desarrollo de las funciones trigonométricas.

$\displaystyle \sin{\beta} = \frac{u}{a}$

$\displaystyle \cos{\beta} = \frac{\sqrt{a^2-u^2}}{a}$

$\displaystyle \tan{\beta} = \frac{u}{\sqrt{a^2-u^2}}$

Entonces

$\displaystyle \frac{1}{a^2} \tan{\beta} + C = \frac{1}{a^2} \left(\frac{u}{\sqrt{a^2-u^2}} \right) + C$

Recordando las variables reemplazadas en un principio

Así

$\displaystyle = \frac{1}{a^2} \left(\frac{u}{\sqrt{a^2-u^2}} \right) + C = \frac{1}{9} \left(\frac{x}{\sqrt{9-x^2}} \right) + C = \frac{x}{9\sqrt{9-x^2}} + C$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int{\frac{dx}{{(9-x^2)}^{\frac{3}{2}}}} = \frac{x}{9\sqrt{9-x^2}} + C$

Problema 2. Resolver la siguiente integral: $\displaystyle \int{\frac{dz}{{(z^2+6)}^{\frac{3}{2}}}}$

Solución. Primero se cambian las variables, como se muestra a continuación

Sustituyendo, resulta

$\displaystyle \int{\frac{dz}{{(z^2+6)}^{\frac{3}{2}}}} = \int{\frac{du}{{(u^2+a^2)}^{\frac{3}{2}}}} = \int{\frac{du}{{(\sqrt{u^2+a^2})}^3}}$

Analizando el término dentro del paréntesis, $\displaystyle \sqrt{u^2+a^2}$ , se observa que es una hipotenusa y que representa la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de los dos catetos. Construyendo el triángulo rectángulo y ubicando los parámetros, se tiene lo siguiente

Como pertenece al tercer caso, se tomará $u = a \tan{\beta}$ , cuya diferencial es $du = a \sec^{2}{\beta} \ d\beta$ . Llevando a cabo la nueva sustitución

$\displaystyle \int{\frac{du}{{(\sqrt{u^2+a^2})}^3}} = \int{\frac{a \sec^2{\beta} \ d\beta}{ {\left[\sqrt{ {(a \tan{\beta})}^2 + a^2} \right]}^3 }}$

Continuando

$\displaystyle \int{\frac{a \sec^2{\beta} \ d\beta}{ {\left[\sqrt{ {(a \tan{\beta})}^2 + a^2} \right]}^3 }} = \int{\frac{a \sec^2{\beta} \ d\beta}{{\left(\sqrt{a^2 \tan^2{\beta} + a^2}\right)}^3}} = \int{\frac{a \sec^2{\beta} \ d\beta}{{\left[\sqrt{a^2 (\tan^2{\beta} + 1)} \right]}^3}}$

$\displaystyle = \int{\frac{a \sec^2{\beta} \ d\beta}{{\left(\sqrt{a^2 \sec^2{\beta}} \right)}^3}} = \int{\frac{a \sec^2{\beta} \ d\beta}{{\left(a \sec{\beta} \right)}^3}} = \int{\frac{a \sec^2{\beta} \ d\beta}{a^3 \sec^3{\beta}}}$

$\displaystyle = \frac{1}{a^2} \int{\frac{d\beta}{\sec{\beta}}} = \frac{1}{a^2} \int{\cos{\beta} \ d\beta} = \frac{1}{a^2} \sin{\beta} + C$

Una vez terminado de integrar, es necesario regresar a las variables que fueron sustituidas, para determinar el resultado final definitivo. Del término $\sin{\beta}$ obtenido en el último resultado, se desarrolla las funciones trigonométricas correspondientes para conocer que variables pertenece con el apoyo del triángulo rectángulo desarrollado en un principio

$\displaystyle \sin{\beta} = \frac{u}{\sqrt{u^2+a^2}}$

$\displaystyle \cos{\beta} = \frac{a}{\sqrt{u^2+a^2}}$

$\displaystyle \tan{\beta} = \frac{u}{a}$

Entonces

$\displaystyle \frac{1}{a^2} \sin{\beta} + C = \frac{1}{a^2} \left( \frac{u}{\sqrt{u^2+a^2}} \right) + C = \frac{u}{a^2 \sqrt{u^2+a^2}} + C$

Recordando las variables reemplazadas

Así

$\displaystyle \frac{u}{a^2 \sqrt{u^2+a^2}} + C = \frac{z}{6\sqrt{z^2+6}} + C$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int{\frac{dz}{{(z^2+6)}^{\frac{3}{2}}}} = \frac{z}{6\sqrt{z^2+6}} + C$

Problema 3. Resolver la siguiente integral $\displaystyle \int{\frac{\sqrt{x^2-25}}{x} dx}$

Solución. Primero se cambian las variables, como se muestra a continuación

Sustituyendo, resulta

$\displaystyle \int{\frac{\sqrt{x^2-25}}{x} dx} = \int{\frac{\sqrt{u^2-a^2}}{u} du}$

Analizando la expresión del numerador, $\displaystyle \sqrt{u^2-a^2}$ , se observa que el cateto opuesto es representado como la raíz cuadrada de la diferencia de la hipotenusa y el cateto adyacente. Construyendo el triángulo rectángulo y ubicando los parámetros, se tiene lo siguiente

Como se ve en la figura, pertenece al segundo caso. Para ello, sea $u = a \sec{\beta}$ , cuya diferencial es $du = a \sec{\beta} \tan{\beta} \ d\beta$ . Llevando a cado la nueva sustitución, la integral toma la siguiente transformación

$\displaystyle \int{\frac{\sqrt{u^2-a^2}}{u} \ du} = \int{\frac{\sqrt{a^2 {\sec}^{2}{\beta} - a^2}}{a \sec{\beta}} a \sec{\beta} \tan{\beta} \ d\beta}$

$\displaystyle = \int{\tan{\beta}\sqrt{a^2 ({\sec}^{2}{\beta} - 1)} \ d\beta} = \int{\tan{\beta} \sqrt{a^2 {\tan}^{2}{\beta}} \ d\beta}$

$\displaystyle = a\int{\tan{\beta} \tan{\beta} \ d\beta} = a\int{{\tan}^{2}{\beta} \ d\beta} = a\int{({\sec}^{2}{\beta} - 1) \ d\beta}$

$\displaystyle = a \int{{\sec}^{2}{\beta} \ d\beta} - a\int{d\beta} = a \tan{\beta} - a \beta + C$

Una vez terminado de integrar, es necesario regresar a las variables que fueron sustituidas, para determinar el resultado final definitivo. Del término $\tan{\beta}$ obtenido en el último resultado (primer término), se desarrolla las funciones trigonométricas correspondientes para conocer que variables pertenece con el apoyo del triángulo rectángulo desarrollado en un principio

$\displaystyle \sin{\beta} = \frac{\sqrt{u^2-a^2}}{u}$

$\displaystyle \cos{\beta} = \frac{a}{u}$

$\displaystyle \tan{\beta} = \frac{\sqrt{u^2-a^2}}{a}$

Entonces

$\displaystyle a \tan{\beta} - a \beta + C = a \left(\frac{\sqrt{u^2-a^2}}{a} \right) - a \beta + C = \sqrt{u^2-a^2} - a \beta + C$

Para el caso de “beta” ( $\beta$ ), se despeja la función trigonométrica que se utilizó en la segunda sustitución. De $u=a \sec{\beta}$ . al despejar $\beta$ , se tiene

$\displaystyle \beta = \text{arcsec} \left(\frac{u}{a} \right)$

Sustituyendo

$\displaystyle \sqrt{u^2-a^2} - a \beta + C = \sqrt{u^2-a^2} - a \cdot \text{arcsec} \left(\frac{u}{a} \right) + C$

Recordando las variables utilizadas en la primera sustitución

Se vuelven a colocar en el último resultado obtenido

$\displaystyle \sqrt{u^2-a^2} - a \cdot \text{arcsec} \left(\frac{u}{a} \right) + C = \sqrt{x^2-25} - 5 \ \text{arcsec} \left(\frac{x}{5} \right) + C$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int{\frac{\sqrt{x^2-25}}{x} dx} = \sqrt{x^2-25} - 5 \ \text{arcsec} \left(\frac{x}{5} \right) + C$

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$u^2=x^2$	$a^2=9$
$u=x$	$a=3$
$du=dx$

$u^2=x^2$	$a^2=9$
$u=x$	$a=3$

$u^2=z^2$	$a^2=6$
$u=z$	$a=\sqrt{6}$
$du=dz$

$u^2=z^2$	$a^2=6$
$u=z$	$\displaystyle a = \sqrt{6}$

$u^2 = x^2$	$a^2=25$
$u=x$	$a=5$
$du=dx$

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Publicado por Cesar Reyes

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