cálculo integral

Método de integración por sustitución trigonométrica. Cálculo integral.

Introducción

Primer caso. Para el caso de la expresión \displaystyle \sqrt{a^2-u^2}, se realizará la sustitución siguiente utilizando como “u” una nueva variable

\displaystyle u = a \sin{\beta}

du = a \cos{\beta} d\beta

Diapositiva3
Figura 1. Representación ilustrativa del primer caso

Segundo caso. Para el caso de la expresión \displaystyle \sqrt{u^2 - a^2}, se realizará la sustitución siguiente utilizando como “u” una nueva variable

u = a \sec{\beta}

du = a \sec{\beta} \tan{\beta} d\beta

Diapositiva4
Figura 2.5.2 Representación ilustrativa del segundo caso.

Tercer caso. Para el caso de la expresión \displaystyle \sqrt{u^2+a^2}, se realizará la sustitución siguiente utilizando como u una nueva variable

 u = a \tan{\beta}

du = a {\sec}^{2}{\beta} d\beta

Diapositiva5
Figura 3. Representación ilustrativa del tercer caso

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver la integral: \displaystyle \int{\frac{dx}{{(9-x^2)}^{\frac{3}{2}}}}

Solución. Primero se cambian las variables, como se muestra a continuación

u^2=x^2a^2=9
u=xa=3
du=dx

Sustituyendo, resulta

\displaystyle \int{\frac{dx}{{(9-x^2 )}^{\frac{3}{2}}}} = \int{\frac{du}{{(a^2-u^2)}^{\frac{3}{2}}}} = \int{\frac{du}{{\left(\sqrt{a^2-u^2} \right)}^3}}

Analizando el término dentro del paréntesis, \displaystyle \sqrt{a^2-u^2}, se observa que es un cateto adyacente y que representa la raíz cuadrada de la diferencia de cuadrados entre la hipotenusa y el cateto opuesto. Construyendo el triángulo rectángulo y ubicando los parámetros, se tiene lo siguiente

Imagen1

Esto pertenece al primer caso de la sustitución trigonométrica. Así que, sea u = a \sin{\beta}, cuya diferencial es du = a \cos{\beta} \ d\beta. Aplicando la nueva sustitución a la integral anterior, resulta

\displaystyle \int{\frac{du}{{\left(\sqrt{a^2-u^2} \right)}^3}} = \int{\frac{a \cos{\beta} \ d\beta}{{\left(\sqrt{a^2-{(a \sin{\beta})}^2} \right)}^3}} = \int{\frac{a \cos{\beta} \ d\beta}{{\left(\sqrt{a^2-a^2 \sin^2{\beta}} \right)}^3}}

\displaystyle = \int{\frac{a \cos{\beta} \ d\beta}{{\left[\sqrt{a^2(1- \sin^2{\beta})} \right]}^3}} = \int{\frac{a \cos{\beta} \ d\beta}{{\left(\sqrt{a^2 \cos^2{\beta}} \right)}^3}} = \int{\frac{a \cos{\beta} \ d\beta}{ {\left(a \cos{\beta} \right)}^3}}

\displaystyle = \int{\frac{a \cos{\beta} \ d\beta}{a^3 {\cos}^{3}{\beta}}} = \frac{1}{a^2} \int{\frac{d\beta}{{\cos}^{2}{\beta}}} = \frac{1}{a^2} \int{{\sec}^{2}{\beta} \ d\beta} = \frac{1}{a^2} \tan{\beta} + C

Una vez terminado de integrar, es necesario regresar a las variables que fueron sustituidas, para determinar el resultado final definitivo. Del término \tan{\beta} obtenido en el último resultado, se analiza que términos o variables pertenece mediante el desarrollo de las funciones trigonométricas.

Imagen2

\displaystyle \sin{\beta} = \frac{u}{a}

\displaystyle \cos{\beta} = \frac{\sqrt{a^2-u^2}}{a}

\displaystyle \tan{\beta} = \frac{u}{\sqrt{a^2-u^2}}

Entonces

\displaystyle \frac{1}{a^2} \tan{\beta} + C = \frac{1}{a^2} \left(\frac{u}{\sqrt{a^2-u^2}} \right) + C

Recordando las variables reemplazadas en un principio

u^2=x^2a^2=9
 u=xa=3

Así

\displaystyle = \frac{1}{a^2} \left(\frac{u}{\sqrt{a^2-u^2}} \right) + C = \frac{1}{9} \left(\frac{x}{\sqrt{9-x^2}} \right) + C = \frac{x}{9\sqrt{9-x^2}} + C

Finalmente

 \displaystyle \therefore \int{\frac{dx}{{(9-x^2)}^{\frac{3}{2}}}} = \frac{x}{9\sqrt{9-x^2}} + C

Problema 2. Resolver la siguiente integral: \displaystyle \int{\frac{dz}{{(z^2+6)}^{\frac{3}{2}}}}

Solución. Primero se cambian las variables, como se muestra a continuación

u^2=z^2a^2=6
u=za=\sqrt{6}
du=dz

Sustituyendo, resulta

\displaystyle \int{\frac{dz}{{(z^2+6)}^{\frac{3}{2}}}} = \int{\frac{du}{{(u^2+a^2)}^{\frac{3}{2}}}} = \int{\frac{du}{{(\sqrt{u^2+a^2})}^3}}

Analizando el término dentro del paréntesis, \displaystyle \sqrt{u^2+a^2}, se observa que es una hipotenusa y que representa la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de los dos catetos. Construyendo el triángulo rectángulo y ubicando los parámetros, se tiene lo siguiente

Imagen3

Como pertenece al tercer caso, se tomará u = a \tan{\beta}, cuya diferencial es du = a \sec^{2}{\beta} \ d\beta. Llevando a cabo la nueva sustitución

\displaystyle \int{\frac{du}{{(\sqrt{u^2+a^2})}^3}} = \int{\frac{a \sec^2{\beta} \ d\beta}{ {\left[\sqrt{ {(a \tan{\beta})}^2 + a^2} \right]}^3 }}

Continuando

\displaystyle \int{\frac{a \sec^2{\beta} \ d\beta}{ {\left[\sqrt{ {(a \tan{\beta})}^2 + a^2} \right]}^3 }} = \int{\frac{a \sec^2{\beta} \ d\beta}{{\left(\sqrt{a^2 \tan^2{\beta} + a^2}\right)}^3}} = \int{\frac{a \sec^2{\beta} \ d\beta}{{\left[\sqrt{a^2 (\tan^2{\beta} + 1)} \right]}^3}}

\displaystyle = \int{\frac{a \sec^2{\beta} \ d\beta}{{\left(\sqrt{a^2 \sec^2{\beta}} \right)}^3}} = \int{\frac{a \sec^2{\beta} \ d\beta}{{\left(a \sec{\beta} \right)}^3}} = \int{\frac{a \sec^2{\beta} \ d\beta}{a^3 \sec^3{\beta}}}

\displaystyle = \frac{1}{a^2} \int{\frac{d\beta}{\sec{\beta}}} = \frac{1}{a^2} \int{\cos{\beta} \ d\beta} = \frac{1}{a^2} \sin{\beta} + C

Una vez terminado de integrar, es necesario regresar a las variables que fueron sustituidas, para determinar el resultado final definitivo. Del término \sin{\beta} obtenido en el último resultado, se desarrolla las funciones trigonométricas correspondientes para conocer que variables pertenece con el apoyo del triángulo rectángulo desarrollado en un principio

Imagen4

\displaystyle \sin{\beta} = \frac{u}{\sqrt{u^2+a^2}}

\displaystyle \cos{\beta} = \frac{a}{\sqrt{u^2+a^2}}

\displaystyle \tan{\beta} = \frac{u}{a}

Entonces

\displaystyle \frac{1}{a^2} \sin{\beta} + C = \frac{1}{a^2} \left( \frac{u}{\sqrt{u^2+a^2}} \right) + C = \frac{u}{a^2 \sqrt{u^2+a^2}} + C

Recordando las variables reemplazadas

u^2=z^2a^2=6
u=z\displaystyle a = \sqrt{6}

Así

\displaystyle \frac{u}{a^2 \sqrt{u^2+a^2}} + C = \frac{z}{6\sqrt{z^2+6}} + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{\frac{dz}{{(z^2+6)}^{\frac{3}{2}}}} = \frac{z}{6\sqrt{z^2+6}} + C

Problema 3. Resolver la siguiente integral \displaystyle \int{\frac{\sqrt{x^2-25}}{x} dx}

Solución. Primero se cambian las variables, como se muestra a continuación

u^2 = x^2a^2=25
u=xa=5
du=dx

Sustituyendo, resulta

\displaystyle \int{\frac{\sqrt{x^2-25}}{x} dx} = \int{\frac{\sqrt{u^2-a^2}}{u} du}

Analizando la expresión del numerador, \displaystyle \sqrt{u^2-a^2}, se observa que el cateto opuesto es representado como la raíz cuadrada de la diferencia de la hipotenusa y el cateto adyacente. Construyendo el triángulo rectángulo y ubicando los parámetros, se tiene lo siguiente

Imagen5

Como se ve en la figura, pertenece al segundo caso. Para ello, sea u = a \sec{\beta}, cuya diferencial es du = a \sec{\beta} \tan{\beta} \ d\beta. Llevando a cado la nueva sustitución, la integral toma la siguiente transformación

\displaystyle \int{\frac{\sqrt{u^2-a^2}}{u} \ du} = \int{\frac{\sqrt{a^2 {\sec}^{2}{\beta} - a^2}}{a \sec{\beta}} a \sec{\beta} \tan{\beta} \ d\beta}

\displaystyle = \int{\tan{\beta}\sqrt{a^2 ({\sec}^{2}{\beta} - 1)} \ d\beta} = \int{\tan{\beta} \sqrt{a^2 {\tan}^{2}{\beta}} \ d\beta}

\displaystyle = a\int{\tan{\beta} \tan{\beta} \ d\beta} = a\int{{\tan}^{2}{\beta} \ d\beta} = a\int{({\sec}^{2}{\beta} - 1) \ d\beta}

\displaystyle = a \int{{\sec}^{2}{\beta} \ d\beta} - a\int{d\beta} = a \tan{\beta} - a \beta + C

Una vez terminado de integrar, es necesario regresar a las variables que fueron sustituidas, para determinar el resultado final definitivo. Del término \tan{\beta} obtenido en el último resultado (primer término), se desarrolla las funciones trigonométricas correspondientes para conocer que variables pertenece con el apoyo del triángulo rectángulo desarrollado en un principio

Imagen6

\displaystyle \sin{\beta} = \frac{\sqrt{u^2-a^2}}{u}

\displaystyle \cos{\beta} = \frac{a}{u}

\displaystyle \tan{\beta} = \frac{\sqrt{u^2-a^2}}{a}

Entonces

\displaystyle a \tan{\beta} - a \beta + C = a \left(\frac{\sqrt{u^2-a^2}}{a} \right) - a \beta + C = \sqrt{u^2-a^2} - a \beta + C

Para el caso de “beta” (\beta), se despeja la función trigonométrica que se utilizó en la segunda sustitución. De u=a \sec{\beta}. al despejar \beta, se tiene

\displaystyle \beta = \text{arcsec} \left(\frac{u}{a} \right)

Sustituyendo

\displaystyle \sqrt{u^2-a^2} - a \beta + C = \sqrt{u^2-a^2} - a \cdot \text{arcsec} \left(\frac{u}{a} \right) + C

Recordando las variables utilizadas en la primera sustitución

a^2=25u^2=x^2
u=xa=5

Se vuelven a colocar en el último resultado obtenido

\displaystyle \sqrt{u^2-a^2} - a \cdot \text{arcsec} \left(\frac{u}{a} \right) + C = \sqrt{x^2-25} - 5 \ \text{arcsec} \left(\frac{x}{5} \right) + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{\frac{\sqrt{x^2-25}}{x} dx} = \sqrt{x^2-25} - 5 \ \text{arcsec} \left(\frac{x}{5} \right) + C


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