cálculo integral

Solución de integrales indefinidas. Tercera parte. Cálculo integral.

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver la siguiente integral: \displaystyle \int{3x \sqrt{1-2x^2} \ dx}

Solución. Usando el método de sustitución, sea z = 1 - 2x^2. Derivando con respecto a x

\displaystyle \frac{dz}{dx} = -4x

Determinando la diferencial

\displaystyle \frac{dz}{(-4)} = x \ dx

Realizando un acomodo en los términos de la integral y aplicando la sustitución

\displaystyle \int{3x\sqrt{1-2x^3} \ dx} = 3\int{\sqrt{1-2x^3} x \ dx}

\displaystyle = 3 \int{\sqrt{z} \frac{dz}{(-4)}} = \frac{3}{(-4)} \int{\sqrt{z} \ dz} = -\frac{3}{4} \int{z^{\frac{1}{2}} \ dz}

Esta integral es idéntica a la fórmula siguiente

\displaystyle \int{u^n \ du} = \frac{1}{n+1} u^{n+1} + C

Entonces

\displaystyle -\frac{3}{4} \int{z^{\frac{1}{2}} \ dz} = -\frac{3}{4} \left(\frac{1}{\frac{1}{2}+1} \right) z^{\frac{1}{2} + 1} + C

\displaystyle = -\frac{3}{4} \left(\frac{1}{\frac{3}{2}} \right) z^{\frac{3}{2}} + C = -\frac{3}{4} \left(\frac{2}{3} \right) z^{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{2} z^{\frac{3}{2}} + C

Recordando que z = 1-2x^2

\displaystyle -\frac{1}{2} z^{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{2} {(1-2x^2)}^{\frac{3}{2}} + C

Finalmente

\displaystyle \int{3x \sqrt{1-2x^2} \ dx} = -\frac{1}{2} {(1-2x^2)}^{\frac{3}{2}} + C

Problema 2. Resolver la siguiente integral: \displaystyle \int{\frac{x^2}{\sqrt[4]{x^3+2}} \ dx}

Solución. Usando el método de sustitución, se va a reemplazar la función interna de la raíz cuarta del denominador:

z=x^3+2

\displaystyle \frac{dz}{dx} = 3x^2

\displaystyle \frac{dz}{3} = x^2 \ dx

Entonces

\displaystyle \int{\frac{x^2}{\sqrt[4]{x^3+2}} \ dx} = \int{\frac{x^2 dx}{\sqrt[4]{x^3+2}}} = \int{\frac{\frac{dz}{3}}{\sqrt[4]{z}}} = \frac{1}{3} \int{\frac{dz}{z^{\frac{1}{4}}}} = \frac{1}{3} \int{z^{-\frac{1}{4}} \ dz}

Esta integral es idéntica a la fórmula siguiente

\displaystyle \int{u^n  dv} = \frac{1}{n+1} u^{n+1} + C

Así que

\displaystyle \frac{1}{3} \int{z^{-\frac{1}{4}} \ dz} = \left(\frac{1}{-\frac{1}{4}+1} \right) z^{-\frac{1}{4}+1} + C = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{\frac{3}{4}} \right) z^{\frac{3}{4}} + C = \frac{1}{3} \left(\frac{4}{3} \right) z^{\frac{3}{4}} + C

Recordando que z = x^3 + 2

\displaystyle \frac{1}{3} \left(\frac{4}{3} \right) z^{\frac{3}{4}} + C = \frac{4}{9} {(x^3+2)}^{\frac{3}{4}} + C

Por lo tanto

\displaystyle \therefore \int{\frac{x^2}{\sqrt[4]{x^3+2}} \ dx} = \frac{4}{9} {(x^3+2)}^{\frac{3}{4}} + C

Problema 3. Resolver la siguiente integral: \displaystyle \int{3x^{n-1} {(5+2x^n)}^{\frac{1}{2}} \ dx}

Solución. Aplicando el método de sustitución, se toma el segundo término en paréntesis 5+2x^n, determinando su derivada y su diferencial resulta que

z=5+2x^n

\displaystyle \frac{dz}{dx} = 2nx^{n-1}

\displaystyle \frac{dz}{2n} = x^{n-1} dx

Entonces

\displaystyle \int{3x^{n-1} {(5+2x^n)}^{\frac{1}{2}} \ dx} = 3 \int{{(5+2x^n )}^{\frac{1}{2}} x^{n-1} \ dx} = 3 \int{z^{\frac{1}{2}} \left(\frac{dz}{2n} \right)} = \frac{3}{2n} \int{z^{\frac{1}{2}} dz}

Esta integral es idéntica a la fórmula siguiente

\displaystyle \int{u^n \ du} = \frac{1}{n+1} u^{n+1} + C

Así que

\displaystyle \frac{3}{2n} \int{z^{\frac{1}{2}} \ dz} = \frac{3}{2n} \left(\frac{1}{\frac{1}{2}+1} \right) z^{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{3}{2n} \left(\frac{1}{\frac{3}{2}} \right) z^{\frac{3}{2}} + C

\displaystyle = \frac{3}{2n} \left(\frac{2}{3} \right) z^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{n} z^{\frac{3}{2}} + C

Recordando que z=5+2(x^n)

\displaystyle \frac{1}{n} z^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{n} {(5+2x^n)}^{\frac{3}{2}} + C

Por lo tanto

\displaystyle \therefore \int{3x^{n-1} {5+2x^n}^{\frac{1}{2}} \ dx} = \frac{1}{n} {(5+2x^n)}^{\frac{3}{2}} + C


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