Integrales indefinidas triples. Cálculo vectorial.

Introducción.

Si f es continua sobre una región sólida acotada Q, su integral triple de f sobre Q esta definida de la siguiente manera

$\displaystyle \iiint_{Q}{f(x, y, z) dV} = \lim_{||\Delta|| \rightarrow 0}{\sum_{i=1}^{n}{f(x_i, y_i, z_i) \Delta V_i }}$

Siempre y cuando el límite exista.

Propiedades de las integrales triples.

$\displaystyle \iiint_{Q}{cf(x, y, z) dV} = c \iiint_{Q}{f(x, y, z) dV}$
$\displaystyle \iiint_{Q}{[f(x, y, z) \pm g(x, y, z)]dV} = \iiint_{Q}{f(x, y, z) dV} \pm \iiint_{Q}{g(x, y, z) dV}$
$\iiint_{Q}{f(x, y, z) dV} = \iiint_{Q_1}{f(x, y, z) dV} + \iiint_{Q_2}{f(x, y, z) dV}$

Problemas resueltos.

Problema 1. Resolver la siguiente integral

$\displaystyle \iiint{xyz^2 dx dy dz}$

Solución. Para resolver esta integral se empieza desde su centro y se integra con respecto a la variable “x”

$\displaystyle \iiint{xyz^2 dx dy dz} = \iint{ \left[\int{xyz^2 dx} \right] dy dz} = \iint{(\frac{1}{2} x^2 yz^2 + C_1)dy dz}$

Después se integra con respecto a la variable “y”

$\displaystyle \int{ \left[\int{(\frac{1}{2} x^2 yz^2+C_1) dy} \right] dz} = \int{ \left[\frac{1}{2} x^2 z^2 \int{y dy} + C_1 \int{dy} \right] dz}$

$\displaystyle = \int{[\frac{1}{2} x^2 z^2 (\frac{1}{2} y^2) + C_1 y + C_2]dz} = \int{(\frac{1}{4} x^2 y^2 z^2 + C_1 y + C_2 )dz}$

Finalmente, se integra con respecto a la variable “z”

$\displaystyle \int{(\frac{1}{4} x^2 y^2 z^2 + C_1 y + C_2)dz} = \int{\frac{1}{4} x^2 y^2 z^2 dz} + \int{C_1 y dz} + \int{C_2 dz}$

$\displaystyle = \frac{1}{4} x^2 y^2 \int{z^2 dz} + C_1 y \int{dz} + C_2 \int{dz}$

$\displaystyle = \frac{1}{4} x^2 y^2 (\frac{1}{3} z^3) + C_1 yz + C_2 z$

Por lo tanto

$\displaystyle \therefore \iiint{xyz^2 dx dy dz} = \frac{1}{12} x^2 y^2 z^3 + C_1 yz + C_2 z$

Problema 2. Resolver la siguiente integral

$\displaystyle \iiint{\frac{2}{x} (z^4-3x) dy dx dz}$

Solución. Para resolver esta integral se empieza desde su centro y se integra con respecto a la variable “y”

$\displaystyle \iiint{\frac{2}{x} (z^4-3x) dy dx dz} = \iint{ \left[\int{\frac{2}{x} (z^4-3x) dy} \right] dx dz}$

$\displaystyle = \iint{ \left[ \frac{2}{x} (z^4-3x) \int{dy} \right] dx dz} = \iint{\frac{2}{x} (z^4-3x)(y + C_1) dx dz}$

Después se integra con respecto a la variable “x”

$\displaystyle \iint{\frac{2}{x} (z^4-3x)(y+C_1) dx dz} = \iint{2(y+C_1) (\frac{z^4-3x}{x})dx dz}$

$\displaystyle = \int{ \left[2(y+C_1) \int{(\frac{z^4}{x} - 3)dx} \right] dz} = \int{2(y+C_1)(z^4 \ln{x} - 3x + C_2) dz}$

Finalmente, se integra con respecto a la variable “z”

$\displaystyle = \int{2(y+C_1)(z^4 \ln{x} - 3x + C_2) dz} = 2(y+C_1 ) \int{(z^4 \ln{x} - 3x + C_2) dz}$

$\displaystyle = 2(y+C_1)[\ln{x} \int{z^4 dz} - 3x\int{dz} + C_2 \int{dz}]$

$\displaystyle = 2(y+C_1 )(\frac{1}{5} z^5 \ln{x} - 3xz + C_2 z + C_3)$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \iiint{\frac{2}{x} (z^4-3x) dy dx dz} = 2(y+C_1 )(\frac{1}{5} z^5 \ln{x} - 3xz + C_2 z + C_3)$

Problema 3. Resolver la siguiente integral

$\displaystyle \iiint{(3zx-3yx)dz dy dx}$

Solución. Para resolver esta integral se empieza desde su centro y se integra con respecto a la variable “z”

$\displaystyle \iiint{(3zx-3yx)dz dy dx} = \iint{ \left[ \int{(3zx-3yx)dz} \right] dy dx}$

$\displaystyle = \iint{ \left[ \int{3zx dz} - \int{3xy dz} \right] dy dx}$

$\displaystyle = \iint{ \left[ 3x \int{z dz} - 3xy \int{dz} \right] dy dx} = \iint{(\frac{3}{2} xz^2 - 3xyz + C_1) dy dx}$

Después se integra con respecto a la variable “y”

$\displaystyle \int{ \left[ \int{(\frac{3}{2} xz^2 - 3xyz + C_1 )dy} \right] dx} = \int{ \left[ \int{ \frac{3}{2} xz^2 dy} + \int{(-3xyz)dy} + \int{C_1 dy} \right]dx}$

$\displaystyle = \int{ \left[\frac{3}{2} xz^2 \int{dy} - 3xz \int{y dy} + C_1 \int{dy} \right]dx} = \int{( \frac{3}{2} xyz^2 - \frac{3}{2} xy^2 z + C_1 y + C_2) dx}$

Finalmente, se integra con respecto a la variable “x”

$\displaystyle \int{(\frac{3}{2} xyz^2 - \frac{3}{2} xy^2 z + C_1 y + C_2)dx}$

$\displaystyle = \int{(\frac{3}{2} xyz^2)dx} + \int{(-\frac{3}{2} xy^2 z)dx} + \int{C_1 y dx} + \int{C_2 dx}$

$\displaystyle = \frac{3}{2} yz^2 \int{x dx} - \frac{3}{2} y^2 z \int{x dx} + C_1 y \int{dx} + C_2 \int{dx}$

$\displaystyle = \frac{3}{2} yz^2 (\frac{1}{2} x^2) - \frac{3}{2} y^2 z(\frac{1}{2} x^2) + C_1 xy + C_2 x + C_3$

$\displaystyle = \frac{3}{4} x^2 y z^2 - \frac{3}{4} x^2 y^2 z + C_1 xy + C_2 x + C_3$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \iiint{(3zx-3yx)dzdydx} = \frac{3}{4} x^2 y z^2 - \frac{3}{4} x^2 y^2 z + C_1 xy + C_2 x + C_3$

Referencias bibliográficas.

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.