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La notación sigma. Cálculo integral.

Introducción

Para facilitar la escritura de un conjunto expresado en varias sumas en muchos términos, se utiliza la notación sigma. La letra griega mayúscula \Sigma, que se llama sigma, es el símbolo matemático de la sumatoria.

Una forma general, se tiene que

\displaystyle \sum_{k = m}^{n}{f(k)} = f(m) + f(m+1) + f(m+2) + ... + f(n)

1-2LA NOTACION SIGMA
Figura 1. Representación matemática del sigma.

En la suma, el número “m” se denomina límite inferior y a n se le llama límite superior, el símbolo k (que también puede ser la letra i, j u otra) se denomina índice de la suma.

Algunas propiedades de las sumatorias

1.- \displaystyle \sum_{k=1}^{n}{C}=C \cdot n

donde C es una constante cualquiera.

2.- \displaystyle \sum_{k=1}^{n}{Cf(k)} = C \sum_{k=1}^{n}{f(k)}

donde C es una constante cualquiera.

3.- \displaystyle \sum_{k=1}^{n}{f(k) + g(k)}=\sum_{k=1}^{n}{f(k)}+\sum_{k=1}^{n}{g(k)}

esta propiedad se puede extender a la suma de cualquier número de funciones.

4.- \displaystyle \sum_{k=1}^{n}{f(k)-f(k-1)}=f(n) - f(0)

Algunas fórmulas para la suma

1.- \displaystyle \sum_{k=1}^{n}{k} = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{{n}^{2}+n}{2}

2.- \displaystyle \sum_{k=1}^{n}{{k}^{2}} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2{n}^{3}+3{n}^{2}+n}{6}

3.- \displaystyle \sum_{k=1}^{n}{{k}^{3}} = \frac{{n}^{2}{(n+1)}^{2}}{4} = \frac{{n}^{4}+2{n}^{3}+{n}^{2}}{4}

4.- \displaystyle \sum_{k=1}^{n}{{k}^{4}} = \frac{n(n+1)(6{n}^{3}+9{n}^{2}+n+1)}{30} = \frac{6{n}^{5}+15{n}^{4}+10{n}^{3}+n}{30}

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver la siguiente suma

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{k(5k-4)}

Solución. Realizando la multiplicación algebraica

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{k(5k-4)} = \sum_{k=1}^{n}{5{k}^{2}-4k}

Por la tercera propiedad

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{(5{k}^{2}-4k)} = \sum_{k=1}^{n}{5{k}^{2}} - \sum_{k=1}^{n}{4k}

Se utiliza la propiedad 2

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{5{k}^{2}} - \sum_{k=1}^{n}{4k} = 5\sum_{k=1}^{n}{{k}^{2}} - 4\sum_{k=1}^{n}{k}

En la primera suma se utilizará la fórmula 2

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{{k}^{2}} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Y en la segunda suma, se usará la fórmula 1

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{k} = \frac{n(n+1)}{2}

Sustituyendo

\displaystyle 5\sum_{k=1}^{n}{{k}^{2}} - 4\sum_{k=1}^{n}{k} = 5\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right] - 4\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]

Por último, se reacomodarán los términos

\displaystyle 5\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right] - 4\left[\frac{n(n+1)}{2}\right] = 5\left(\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\right) - 4\left(\frac{n^2+n}{2}\right)

\displaystyle = \frac{10n^3+15n^2+5n}{6}-2n^2-2n = \frac{10}{6} {n}^{3} + \frac{15}{6} {n}^{2} + \frac{5}{6}n - 2{n}^{2} - 2n

\displaystyle = \frac{10}{6}{n}^{3} + \frac{3}{6}{n}^{2} - \frac{7}{6}n = \frac{5}{3}{n}^{3} + \frac{1}{2}{n}^{2} - \frac{7}{6}n

Por lo tanto

\displaystyle \therefore \sum_{k=1}^{n}{k(5k-4)} = \frac{5}{3}{n}^{3} + \frac{1}{2}{n}^{2} - \frac{7}{6}n

Problema 2. Obtener la suma siguiente

\displaystyle \sum_{j=1}^{100}{3j}

Solución. Aplicando la propiedad 2

\displaystyle \sum_{j=1}^{100}{3j} = 3\sum_{j=1}^{100}{j}

Por la fórmula 1

\displaystyle \sum_{j=1}^{n}{j} = \frac{n(n+1)}{2}

Sustituyendo

\displaystyle 3 \sum_{j=1}^{n}{j} = 3\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]

Como n = 100

\displaystyle 3\ \sum_{j=1}^{100}{j} = 3\left[\frac{100(100+1)}{2}\right] = 3\left[\frac{100(101)}{2} \right] = 15150

Por lo tanto

\displaystyle \therefore \sum_{j=1}^{100}{3j} = 15150

Problema 3. Resolver la siguiente suma

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{2^i - 2^{i-1}}

Solución. Usando la propiedad 4

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{[f(i) - f(i-1)]} = f(n) - f(0)

Sustituyendo

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{2^i - 2^{i-1}} = {2}^{n} - {2}^{0} = {2}^{n} - 1

Por lo tanto

\displaystyle \therefore  \sum_{i=1}^{n}{2^i - 2^{i-1}} = {2}^{n} - 1


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