blog, cálculo integral

Diferenciales. Cálculo integral.

Problemas resueltos

Hallando la diferencial de una función

Problema 1. Hallar la diferencial para la función y = a{x}^{3}.

Solución. Derivando la función

y = a{x}^{3}

\displaystyle \frac{dy}{dx} = 3a{x}^{2}

Despejando las diferenciales

\therefore dy = 3a{x}^{2} \ dx

Problema 2. Hallar la diferencial de la siguiente función y = x{e}^{x}.

Solución. Derivando la función

y = x{e}^{x}

\displaystyle \frac{dy}{dx} = {e}^{x} + x{e}^{x}

\displaystyle \frac{dy}{dx} = {e}^{x}(1 + x)

Despejando las diferenciales

\therefore dy = {e}^{x}(1 + x) \ dx

Cuando existen valores definidos.

Problema 3. Calcular la diferencial dy de la función \displaystyle y = \frac{{x}^{2}}{2} para x = 2 y dx = 34.

Solución. Se empieza a encontrar la diferencial de la función

\displaystyle y = \frac{{x}^{2}}{2}

\displaystyle \frac{dy}{dx} = x

Despejando las diferenciales

dy = x \ dx

Ahora, sustituyendo en los valores de x y dx:

dy = x \ dx

dy = 2(34)

dy = 68

Por lo tanto

\therefore dy = 68

Problema 4. Calcular la diferencial dy de la siguiente función y = \sin{x} para x = 45 \textdegree y dx = 4.0987.

Solución. Iniciando con el hallazgo de la diferencial dy

y = \sin{x}

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos{x}

dy = \cos{x} \ dx

Finalmente, sustituyendo los valores correspondientes

dy = (\cos{45 \textdegree})(4.0987)

dy = (0.7071)(4.0987)

dy = 2.8982

Por lo tanto

\therefore dy = 2.8982

Cuando se necesita calcular la aproximación de un número irracional.

Problema 5. Calcular el valor aproximado de \sqrt{51}.

Solución. Se declara lo siguiente

\displaystyle \sqrt{51}

Imagen1

Continuando, se utiliza el valor próximo de x para obtener y.

\displaystyle y = \sqrt{49}

y = 7

Después, se encuentra la diferencial dy de esa función

\displaystyle y = \sqrt{x}

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

\displaystyle dy = \frac{1}{2\sqrt{x}} \ dx

Luego, sustituyendo los valores dados

\displaystyle dy = \frac{1}{2\sqrt{49}}(2)

\displaystyle dy = \frac{1}{2(7)}(2)

\displaystyle dy = \frac{1}{7}

Y para finalizar, se realizará una suma con respecto al valor de y y dy siguiente

\displaystyle \sqrt{51} = y + dy

\displaystyle \sqrt{51} = 7 + \frac{1}{7} = \frac{50}{7} \approx 7.1429

Por lo tanto

\displaystyle \therefore \sqrt{51} \approx 7.1429

Problema 6. Calcular el valor aproximado de \ln{45}.

Solución. Se declara lo siguiente

Imagen2

Continuando, se utiliza el valor próximo de x para obtener y

y = \ln{x}

y = \ln{40}

y = 3.689

Después, se obtiene la diferencial de esa función

y = \ln{x}

\displaystyle dy = \frac{1}{x} \ dx

Luego, sustituyendo los valores dados

\displaystyle dy = \frac{1}{40} (5)

\displaystyle dy = \frac{5}{40}

dy =0.125

Y para finalizar, se realizará una suma con respecto a los valores de y y dy obtenidos anteriormente

\displaystyle \ln{45} = y + \Delta y

\ln{45} = 3.689 + 0.125

\ln{45} = 3.814

Por lo tanto

\therefore \ln{45} = 3.814

Aplicaciones de las diferenciales.

Problema 7. Calcular el incremento del área de un cuadrado de 45 pulgadas de lado con un grosor de 0.983 pulgadas.

Solución. Se declara lo siguiente

Imagen3

Después, se busca la diferencial de esa función

A ={x}^{2}

\displaystyle \frac{dA}{dx} = 2x

dA = 2x \ dx

Finalmente, sustituyendo los valores obtenidos en la tabla

dA = 2(45 \ \text{pulg})(0.983 \ \text{pulg})

dA = 88.47 \ ({\text{pulg}}^{2})

Por lo tanto, el área aproximada del cuadrado es de 88.47 pulg².

Problema 8. Determinar el volumen aproximado de una cocha esférica cuyo radio interior es de 76 cm y cuyo grosor es de 0.876 cm.

Solución. Se declara lo siguiente

Imagen4

Después, se determina la diferencial del volumen

\displaystyle V = \frac{4}{3} \pi {r}^{3}

\displaystyle \frac{dV}{dr} = 3 \left(\frac{4}{3} \pi {r}^{2} \right)

\displaystyle \frac{dV}{dr} = 4\pi {r}^{2}

dV = 4\pi {r}^{2} \ dr

Finalmente, sustituyendo los valores obtenidos en la tabla

dV = 4\pi {(76 \ \text{cm})}^{2}(0.876 \ \text{cm})

dV = 20239.104 \pi \ ({\text{cm}}^{3})

\therefore dV = 63583.1691264 \ ({\text{cm}}^{3})

Por lo tanto, el volumen aproximado de la concha esférica es de 63583.1691264 cm³.


Deja una respuesta

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Salir /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Salir /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Salir /  Cambiar )

Conectando a %s

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.