Diferenciales. Cálculo integral.

Problemas resueltos

Hallando la diferencial de una función

Problema 1. Hallar la diferencial para la función $y = a{x}^{3}$ .

Solución. Derivando la función

$y = a{x}^{3}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = 3a{x}^{2}$

Despejando las diferenciales

$\therefore dy = 3a{x}^{2} \ dx$

Problema 2. Hallar la diferencial de la siguiente función $y = x{e}^{x}$ .

Solución. Derivando la función

$y = x{e}^{x}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = {e}^{x} + x{e}^{x}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = {e}^{x}(1 + x)$

Despejando las diferenciales

$\therefore dy = {e}^{x}(1 + x) \ dx$

Cuando existen valores definidos.

Problema 3. Calcular la diferencial $dy$ de la función $\displaystyle y = \frac{{x}^{2}}{2}$ para $x = 2$ y $dx = 34$ .

Solución. Se empieza a encontrar la diferencial de la función

$\displaystyle y = \frac{{x}^{2}}{2}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = x$

Despejando las diferenciales

$dy = x \ dx$

Ahora, sustituyendo en los valores de $x$ y $dx$ :

$dy = x \ dx$

$dy = 2(34)$

$dy = 68$

Por lo tanto

$\therefore dy = 68$

Problema 4. Calcular la diferencial $dy$ de la siguiente función $y = \sin{x}$ para $x = 45 \textdegree$ y $dx = 4.0987$ .

Solución. Iniciando con el hallazgo de la diferencial $dy$

$y = \sin{x}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos{x}$

$dy = \cos{x} \ dx$

Finalmente, sustituyendo los valores correspondientes

$dy = (\cos{45 \textdegree})(4.0987)$

$dy = (0.7071)(4.0987)$

$dy = 2.8982$

Por lo tanto

$\therefore dy = 2.8982$

Cuando se necesita calcular la aproximación de un número irracional.

Problema 5. Calcular el valor aproximado de $\sqrt{51}$ .

Solución. Se declara lo siguiente

$\displaystyle \sqrt{51}$

Continuando, se utiliza el valor próximo de $x$ para obtener $y$ .

$\displaystyle y = \sqrt{49}$

$y = 7$

Después, se encuentra la diferencial $dy$ de esa función

$\displaystyle y = \sqrt{x}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\displaystyle dy = \frac{1}{2\sqrt{x}} \ dx$

Luego, sustituyendo los valores dados

$\displaystyle dy = \frac{1}{2\sqrt{49}}(2)$

$\displaystyle dy = \frac{1}{2(7)}(2)$

$\displaystyle dy = \frac{1}{7}$

Y para finalizar, se realizará una suma con respecto al valor de $y$ y $dy$ siguiente

$\displaystyle \sqrt{51} = y + dy$

$\displaystyle \sqrt{51} = 7 + \frac{1}{7} = \frac{50}{7} \approx 7.1429$

Por lo tanto

$\displaystyle \therefore \sqrt{51} \approx 7.1429$

Problema 6. Calcular el valor aproximado de $\ln{45}$ .

Solución. Se declara lo siguiente

Continuando, se utiliza el valor próximo de $x$ para obtener $y$

$y = \ln{x}$

$y = \ln{40}$

$y = 3.689$

Después, se obtiene la diferencial de esa función

$y = \ln{x}$

$\displaystyle dy = \frac{1}{x} \ dx$

Luego, sustituyendo los valores dados

$\displaystyle dy = \frac{1}{40} (5)$

$\displaystyle dy = \frac{5}{40}$

$dy =0.125$

Y para finalizar, se realizará una suma con respecto a los valores de $y$ y $dy$ obtenidos anteriormente

$\displaystyle \ln{45} = y + \Delta y$

$\ln{45} = 3.689 + 0.125$

$\ln{45} = 3.814$

Por lo tanto

$\therefore \ln{45} = 3.814$

Aplicaciones de las diferenciales.

Problema 7. Calcular el incremento del área de un cuadrado de 45 pulgadas de lado con un grosor de 0.983 pulgadas.

Solución. Se declara lo siguiente

Después, se busca la diferencial de esa función

$A ={x}^{2}$

$\displaystyle \frac{dA}{dx} = 2x$

$dA = 2x \ dx$

Finalmente, sustituyendo los valores obtenidos en la tabla

$dA = 2(45 \ \text{pulg})(0.983 \ \text{pulg})$

$dA = 88.47 \ ({\text{pulg}}^{2})$

Por lo tanto, el área aproximada del cuadrado es de 88.47 pulg².

Problema 8. Determinar el volumen aproximado de una cocha esférica cuyo radio interior es de 76 cm y cuyo grosor es de 0.876 cm.

Solución. Se declara lo siguiente

Después, se determina la diferencial del volumen

$\displaystyle V = \frac{4}{3} \pi {r}^{3}$

$\displaystyle \frac{dV}{dr} = 3 \left(\frac{4}{3} \pi {r}^{2} \right)$

$\displaystyle \frac{dV}{dr} = 4\pi {r}^{2}$

$dV = 4\pi {r}^{2} \ dr$

Finalmente, sustituyendo los valores obtenidos en la tabla

$dV = 4\pi {(76 \ \text{cm})}^{2}(0.876 \ \text{cm})$

$dV = 20239.104 \pi \ ({\text{cm}}^{3})$

$\therefore dV = 63583.1691264 \ ({\text{cm}}^{3})$

Por lo tanto, el volumen aproximado de la concha esférica es de 63583.1691264 cm³.

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Introduce aquí tu comentario...

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Correo electrónico (obligatorio) (La dirección no se hará pública)

Nombre (obligatorio)

Web

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. ( Salir / Cambiar )

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. ( Salir / Cambiar )

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. ( Salir / Cambiar )

Cancelar

Conectando a %s

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.

Problemas resueltos

Hallando la diferencial de una función

Cuando existen valores definidos.

Cuando se necesita calcular la aproximación de un número irracional.

Aplicaciones de las diferenciales.

Comparte esto:

Me gusta esto:

Relacionado

Publicado por Cesar Reyes

Deja una respuesta Cancelar la respuesta