blog, cálculo vectorial

Integrales iteradas dobles. Cálculo vectorial.

Teorema de Fubini.

Sea f continua en una región plana R.

  1. Si R está definida por a \le x \le b y g_1 (x) \le y \le g_2 (x), donde g_1 y g_2 son funciones continuas en [a, b], por lo que

\displaystyle \iint_{R}{f(x, y)dA} = \int_{a}^{b}{\int_{g_1 (x)}^{g_2 (x)}{f(x, y)dy dx}}

  1. Si R está definida por c \le y \le d y h_1 (y) \le x \le h_2 (y), donde h_1 y h_2 son funciones continuas en [c, d], por lo que

\displaystyle \iint_{R}{f(x, y)dA} = \int_{c}^{d}{\int_{h_1 (y)}^{h_2 (y)}{f(x, y)dx dy}}

Problemas resueltos.

Problema 1. Resolver la siguiente integral iterada

\displaystyle \int_{0}^{1}{\int_{0}^{2}{(x+y)dydx}}

Solución. La primera integral (tomando de adentro hacia afuera) la diferencial “dy”  presenta variables de “y”.

\displaystyle \int_{0}^{1}{\int_{0}^{2}{(x+y)dy dx}}

Entonces

\displaystyle \int_{0}^{2}{(x+y)dy} = \left[xy + \frac{1}{2} y^2\right]_{0}^{2} = [2x + \frac{1}{2} {(2)}^{2}] - [0y - \frac{1}{2} {(0)}^{2}] = 2x + 2

 Después

\displaystyle \int_{0}^{1}{\int_{0}^{2}{(x+y)dy dx}} = \int_{0}^{1}{(2x+2)dx}

\displaystyle = \left[2(\frac{1}{2} x^2) + 2x \right]_{0}^{1} = \left[x^2+2x\right]_{0}^{1}

= [{(1)}^{2} + 2(1)] - [{0}^{2} + 2(0)] = 3

Finalmente

\displaystyle \therefore \int_{0}^{1}{\int_{0}^{2}{(x+y)dydx}} = 3

Problema 2. Resolver la siguiente integral iterada

\displaystyle \int_{0}^{\pi}{\int_{0}^{\sin{x}}{(1+\cos{x})dydx}}

Solución. La primera integral (tomando de adentro hacia afuera) la diferencial “dy”  presenta variables de “y”.

\displaystyle \int_{0}^{\pi}{\int_{0}^{\sin{x}}{(1+\cos{x})dy dx}}

Entonces

\displaystyle \int_{0}^{\sin{x}}{(1+\cos{x})dy} = (1+\cos{x}) \int_{0}^{\sin{x}}{dy}

\displaystyle = (1+\cos{x}) \left[y\right]_{0}^{\sin{x}} = (1+\cos{x})(\sin{x} - 0) = (1 + \cos{x})\sin{x}

Continuando

\displaystyle \int_{0}^{\pi}{\int_{0}^{\sin{x}}{(1+\cos{x})dy dx}} = \int_{0}^{\pi}{(1+\cos{x})\sin{x} dx}

\displaystyle = \int_{0}^{\pi}{(\sin{x} + \sin{x}\cos{x})dx} = \int_{0}^{\pi}{\sin{x} dx} + \int_{0}^{\pi}{\sin{x} \cos{x} dx}

\displaystyle = \left[ - \cos{x} + \frac{1}{2} {\sin}^{2}{x}\right]_{0}^{\pi} = (-\cos{\pi} + \frac{1}{2} {\sin}^{2}{\pi}) - (-\cos{0} + \frac{1}{2} {\sin}^{2}{0})

=[-(-1)+0]-(-1+0)=1+1=2

Finalmente

\displaystyle \therefore \int_{0}^{\pi}{\int_{0}^{\sin{x}}{(1+\cos{x})dydx}} = 2

Problema 3. Resolver la siguiente integral iterada

\displaystyle \int_{-4}^{4}{\int_{0}^{x^2}{\sqrt{64-x^3} dydx}}

Solución. La primera integral (tomando de adentro hacia afuera) la diferencial “dy”  presenta variables de “y”

\displaystyle \int_{-4}^{4}{\int_{0}^{x^2}{\sqrt{64-x^3} dy} dx}

Entonces

\displaystyle \int_{0}^{x^2}{\sqrt{64-x^3} dy} = \sqrt{64-x^3} \int_{0}^{x^2}{dy}

\displaystyle = \sqrt{64-x^3} \left[y\right]_{0}^{x^2} = \sqrt{64-x^3} (x^2-0) = x^2 \sqrt{64-x^3}

 Luego

\displaystyle \int_{-4}^{4}{\int_{0}^{x^2}{\sqrt{64-x^3} dy}dx} = \int_{-4}^{4}{x^2 \sqrt{64-x^3} dx}

Aplicando el método de sustitución

\displaystyle \int{x^2 \sqrt{64 - x^3} dx}

Ya que la variable es

h = 64 - x^3

Y su diferencial es

\displaystyle \frac{dh}{dx} = -3x^2

\displaystyle \frac{dh}{-3} = x^2 dx

Sustituyendo

\displaystyle \int{x^2 \sqrt{64-x^3} dx} = \int{\sqrt{h} \frac{dh}{(-3)}} = -\frac{1}{3} \int{{h}^{\frac{1}{2}} dh}

\displaystyle = -\frac{1}{3} (\frac{h^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}) = -\frac{2}{9} {h}^{\frac{3}{2}} = -\frac{2}{9} {(64-x^3)}^{\frac{3}{2}}

Regresando

\displaystyle \int_{-4}^{4}{\int_{0}^{x^2}{\sqrt{64-x^3} dy} dx} = \int_{-4}^{4}{x^2 \sqrt{64-x^3} dx} = \left[-\frac{2}{9} {(64-x^3)}^{\frac{3}{2}} \right]_{-4}^{4}

\displaystyle = -\frac{2}{9} [{(64-4^3)}^{\frac{3}{2}} - {(64-(-4)^3)}^{\frac{3}{2}}] = -\frac{2}{9} [0 - {(128)}^{\frac{3}{2}}]

\displaystyle = \frac{2}{9} {(128)}^{\frac{3}{2}}

Finalmente

\displaystyle \therefore \int_{-4}^{4}{\int_{0}^{x^2}{\sqrt{64-x^3} dydx}} = \frac{2}{9} {(128)}^{\frac{3}{2}}

Problema 4. Resolver la siguiente integral iterada

\displaystyle \int_{0}^{2}{\int_{0}^{\sqrt{4-y^2}}{\frac{2}{\sqrt{4-y^2}} dxdy}}

Solución. La primera integral (tomando de adentro hacia afuera) la diferencial “dx” no presenta variables “x”

\displaystyle \int_{0}^{2}{\int_{0}^{\sqrt{4-y^2}}{\frac{2}{\sqrt{4-y^2}} dxdy}}

Entonces

\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{4-y^2}}{\frac{2}{\sqrt{4-y^2}} dx} = \left[ \left(\frac{2}{\sqrt{4-y^2}} \right) x \right]_{0}^{\sqrt{4-y^2}} = \left( \frac{2}{\sqrt{4-y^2}} \right) \sqrt{4-y^2} = 2

Luego

\displaystyle \int_{0}^{2}{\int_{0}^{\sqrt{4-y^2}}{\frac{2}{\sqrt{4-y^2}} dx} dy} = \int_{0}^{2}{2 dy} = 2\int_{0}^{2}{dy}

\displaystyle = 2 \left[y \right]_{0}^{2} = 2(2-0) = 2(2) = 4

Por lo tanto

\displaystyle \therefore \int_{0}^{2}{\int_{0}^{\sqrt{4-y^2}}{\frac{2}{\sqrt{4-y^2}} dxdy}} = 4

Referencias bibliográficas.

  • Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
  • Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
  • R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

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